Analiza Matematyczna Lista zadań 5
Zadanie 1
Prosz¸e wykazać, że jeśli funkcja f (x) = x 3 +3x dla x ∈ (−∞, +∞), to funkcja f określona na wskazanym przedziale ma funkcj¸e odwrotn¸ a f −1 .
Prosz¸e znaleźć dziedzin¸e funkcji f −1 oraz (f −1 ) 0 (1).
Zadanie 2
Prosz¸e wykazać, że jeśli funkcja f (x) = x + e x dla x ∈ (−∞, +∞), to funkcja f określona na wskazanym przedziale ma funkcj¸e odwrotn¸ a f −1 .
Prosz¸e znaleźć dziedzin¸e funkcji f −1 oraz (f −1 ) 0 (1).
Zadanie 3
Prosz¸e wykazać, że jeśli funkcja f (x) = x + lnx dla x ∈ (0, +∞), to funkcja f okre- ślona na wskazanym przedziale ma funkcj¸e odwrotn¸ a f −1 .
Prosz¸e znaleźć dziedzin¸e funkcji f −1 oraz (f −1 ) 0 (1).
Zadanie 4
Jaki jest minimalny czas dojścia do domu stoj¸ acego przy prostoliniowej szosie w od- ległości 13 km od miejsca w którym si¸e znajdujemy, jeśli odległość od szosy wynosi 5 km, w terenie poruszmy si¸e z pr¸edkości¸ a 3 km\h, zaś po szosie 5 km\h?
Zadanie 5
Prosz¸e znaleźć maksimum obj¸etości brył powstałych w wyniku obrotu trójk¸ ata pro- stok¸ atnego o obwodzie 1 wokół przeciwprostok¸ atnej.
Zadanie 6
Prosz¸e znaleźć maksimum obj¸etości stożka wpisanego w kul¸e o promieniu 1.
Zadanie 7
Prosz¸e znaleźć maksimum obwodu trójk¸ ata wpisanego w okr¸ ag o promieniu 1.
Zadanie 8
Prosz¸e znaleźć maksimum długości statku, który może wpłyn¸ ać z kanału o szerokości
1
a > 0 do prostopadłego kanału, którego szerokość jest równa b > 0.
Zadanie 9
Prosz¸e znaleźć maksimum pola trójk¸ ata o obwodzie 3.
Prosz¸e skorzystać ze wzoru Herona.
Zadanie 10
Prosz¸e znaleźć najwi¸ekszy wyraz ci¸ agu (a n ), jeśli a n = n 5 2 −n dla n = 1, 2, 3, . . . Zadanie 11
Prosz¸e znaleźć najwi¸ekszy wyraz ci¸ agu (a n ), jeśli a n = n 5 3 −n dla n = 1, 2, 3, . . . Zadanie 12
Ci¸eżarówka porusza si¸e po autostradzie ze stał¸ a pr¸edkości¸ a v km\h. Minimalna pr¸edkość ci¸eżarówek po autostradzie wynosi 50km\h, maksymalna 100km\h. Jeden litr benzyny kosztuje 2 zł , kierowca otrzymuje 10 zł za godzin¸e swej pracy. Ci¸eżarówka zużywa 11+ 400 v2
litrów paliwa w ci¸ agu godziny jazdy z pr¸edkości¸ a v. Przy jakiej pr¸edkości koszt przejazdu ustalonego odcinka trasy jest najmniejszy?
Zadanie 13
Statek pływa z portu A do portu B. Koszt ruchu statku składa si¸e z dwóch cz¸eści:
niezależnej od pr¸edkości i równej 25600 zł dziennie oraz zależnej od pr¸edkości i rów- nej (liczbowo) podwojonemu sześcianowi pr¸edkości dziennie. Przy jakiej pr¸edkości koszt przepłyni¸ecia trasy jest najmniejszy?
Zadanie 14
Zbadano że w pewnej fabryce robotnik rozpoczynaj¸ acy prac¸e o godzinie 8.00 wykonuje w ci¸ agu x godzin −x 3 + 6x 2 + 15x odbiorników. Po 15 minutowej przerwie wykonuje w ci¸ agu x godzin − 1 3 x 3 + x 2 + 23x radioodbiorników. O której godzinie powinna rozpocz¸ ać si¸e 15 minutowa przerwa, aby do 12.15 wykonał najwi¸ecej odbiorników, a o której by wykonał ich najmniej?
Zadanie 15
Prosz¸e znaleźć najmniejsz¸ a i najwi¸eksz¸ a wartość funkcji f , jeśli f (x) = |x 2 + 2x − 3| + 3 2 ln(x) na przedziale [ 1 2 2].
2
Zadanie 16
Prosz¸e znaleźć najmniejsz¸ a i najwi¸eksz¸ a wartość funkcjif , jeśli f (x) = e
√
x
2·|x+1|
na prze- dziale [−2 1].
Zadanie 17
Prosz¸e znaleźć najmniejsz¸ a i najwi¸eksz¸ a wartość funkcji f , jeśli f (x) = 4x + 9π x2 + sin(x) na przedziale [π 2π].
Zadanie 18
Prosz¸e znaleźć najmnniejsz¸ a i najwi¸eksz¸ a wartość funkcji f , jeśli f (x) = −1791x 2 dla
−1 ≤ x ≤ 0.
Zadanie 19
Prosz¸e znaleźć najmniejsz¸ a i najwi¸eksz¸ a wartość funkcji f , jeśli f (x) = 2exln(x) dla 0 < x ≤ 2.
Zadanie 20
Ile pierwiastków ma równanie x 3 − 6x 2 + 12x − 20 = 0?
Zadanie 21
Ile piewiastków ma równanie 3x 4 − 4x 3 − 6x 2 + 12x − 20 = 0?
Zadanie 22
Ile pierwiastków ma równanie e x = ax 2 w zależności od a?
Zadanie 23
Ile pierwiastków ma równanie x 5 − 5x = a w zależności od a?
Zadanie 25
Prosz¸e obliczyć granic¸e lim x→0 sin(x)−x x3 . Zadanie 26
Prosz¸e obliczyć granic¸e lim x→0 x x .
3
Zadanie 27
Prosz¸e obliczyć granic¸e lim x→π
2
