Egzamin z równań różniczkowych cząstkowych .
Łódź, dn. 04.01.2008.
1. Niechu : R3→ R będzie funkcją posiadającą odpowiednie pochodne cząstkowe. Podać postać wszystkich Dαu(x) dla x ∈ R3 i dlaα będącego multiindeksem rzędu 3.
2. Wykazać (uzasadnić), że w rozwinięciu w szereg Fouriera funkcji f : [−π, π] → R parzystej nie występują składniki zawierające sinus.
3. Jak można znaleźć wektor normalny zewnętrzny do kuliB(Θ, 1) ⊂ Rn o środku w punkcie zero i promieniu 1 w dowolnym punkciex0∈ ∂B(Θ, 1). Rozważyć przypadek wektora o dowolnej długości i o długości 1.
4. Dla podanych poniżej równań określić ich typ i rząd (czy są liniowe, quasiliniowe, nieliniowe, jednorodne, niejednorodne, itp.):
(i)uxy+ 2∂x∂ (u2x+u) − x sin y = 0, (ii)xuxx+yuyy− u = 0,
(iii) ∆∆u = 0 (tu nie ma pomyłki, jest wstawiona dwa razy ∆).
5. Dla równania pierwszego rzędu−yux+xuy = 0 dobrać tak warunki, aby rozwiązanie było:
(i) jednoznaczne,
(ii) istniało, ale nie nie było jednoznaczne, (iii) nie istniało.
Dobór warunków uzasadnić.
6. Pokazać, że dla funkcji Φ będącej rozwiązaniem podstawowym równania Laplace’a zachodzi oszacowanie
|DΦ(x)| C
||x||n−1 dlax ∈ Rn ix = 0, w przypadku n = 2 i w przypadku n = 3.
7. Niech Ω będzie otwartym podzbioremRn. Czy zbiórSuperhar(Ω) z naturalnymi działaniami tworzy prze- strzeń liniową? Odpowiedź uzasadnić.
8. Niech funkcjau = u(x1, x2, . . . , xn) będzie harmoniczna. Czy funkcjaw = ∂x∂u1∂x∂u2 dla n > 2 jest harmo- niczna? Odpowiedź uzasadnić.
9. Pokazać, że jeśliu(x, t) jest rozwiązaniem równania falowego utt=c2uxx, to dla dowolnych stałychx0, t0∈ R, funkcja v(x, t) = u(x+x0, t+t0) jest również rozwiązaniem tego samego równania. Następnie, zakładając, że u(x, t) jest rozwiązaniem problemu
utt=c2uxx, u(x, 0) = φ(x), ut(x, 0) = ψ(x),
wyrazić rozwiązanie problemu
vtt=c2vxx, v(x, −2) = φ(x + 1), vt(x, −2) = ψ(x + 1)
za pomocą funkcjiu.
10. Czy zagadnienie Dirichleta dla równania Laplace’a jest dobrze postawione w obszarach nieograniczonych?
Odpowiedź uzasasdnić.
1
