Egzamin poprawkowy z równań różniczkowych cząstkowych .
Łódź, dn. 18.02.2008.
1. Podać przykład zewnętrznego zagadnienia Neumanna dla równania hiperbolicznego w przypadku n=2.
Opisać interpretację (fizyczną, chemiczną, lub dowolną inną) dla podanego przykładu.
2. Posługując się ogólną metodą wyprowadzania równań charakterystyk, wyprowadzić równania charaktery- styk dla równania krzywych geodezyjnych postaci:
u2x+ u2y+ u2z= n2, gdzie n jest pewną stałą.
3. Posługując się wzorem Poissona dla koła, napisać rozwiązanie u(x, y) zagadnienia Dirichleta we wnętrzu elipsy
x2 a2 +y2
b2 < 1 dla równania typu eliptycznego
a2uxx+ b2uyy= 0,
gdzie a, b są stałymi, z warunkiem brzegowym u(x) = g(x) dla x z brzegu elipsy.
4. Wykazać (uzasadnić), że w rozwinięciu w szereg Fouriera funkcji f : [−π, π] → R nieparzystej nie występują składniki zawierające cosinus.
5. Niech φ będzie rozwiązaniem podstawowym równania Laplace’a. Pokazać, że
B(0,ε)|φ(y)| dy Cε2ln ε dla n = 2, gdzie C jest pewną stałą.
6. Niech funkcja u = u(x1, x2, . . . , xn) będzie harmoniczna. Czy funkcja w = ∂x∂u
1 · ∂x∂u2 dla n = 2 jest harmoniczna? Odpowiedź uzasadnić.
7. Określić typ równania
∆∆u−∂u
∂t = 0 dla zmiennej x∈ R2i wykazać, że funkcja
u(x, t) =
∞ k=0
tk
k!∆2kf (x),
gdzie f jest funkcją nieskończenie wiele razy różniczkowalną, przy założeniu, że szereg można różniczkować wyraz po wyrazie potrzebną liczbę razy, przedstawia rozwiązanie tego równania.
8. Jak można znaleźć wektor normalny zewnętrzny do kuli B(Θ, 1)⊂ Rn o środku w punkcie zero i promieniu 1 w dowolnym punkcie x0∈ ∂B(Θ, 1).
1
