Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

Przekształcenia całkowe

Wykład 2

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

1. Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej Definicja:

Jeżeli każdej liczbie rzeczywistej

t

pewnego przedziału przyporządkowano liczbę zespoloną :

a ≤ ≤ t b

( ) ( ) ( )

z = z t = x t + iy t

to mówimy, że została określona funkcja zespolona

zmiennej rzeczywistej

t

^{z t} ( )

Uwaga:

Równanie powyższe jest równoważne parze równań rzeczywistych tzn.:

( ) ( ) ^,

x x t

a t b y y t

⎧ =

⎨ ≤ ≤

⎩ =

Twierdzenie:

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

t

1. ma w punkcie

granicę

2. jest ciągła w punkcie ,

3. ma w punkcie pochodną : ,

( ) z t t

0 0 0

( ) ( ) ( ) z t = x t + iy t t

t

^{z t '( )}

^{= x t '( )}

^{+ iy t '( )}

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

4. jest całkowalna w przedziale [a, b]:

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

( ) ^d ( ) ^d ( ) ^d

b b b

a a a

z t t = x t t + i y t t

∫ ∫ ∫

wtedy i tylko wtedy, jeżeli obie funkcje rzeczywiste spełniają warunki:

( ) ( ) ^,

x t y t

1. mają granice w punkcie : i , 2. są ciągłe w punkcie ,

3. mają pochodne w punkcie : i , 4. są całkowalne w przedziale [a, b].

t

^{x t} ( )

^{y t} ( )

t

t

^{x t '} ( )

^{y t '} ( )

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

Różniczkowanie i całkowanie funkcji zespolonej

zmiennej rzeczywistej przeprowadzamy stosując te same reguły różniczkowania i całkowania jak dla funkcji

rzeczywistych pamiętając o tym, że i jest stałą.

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

2. Funkcja zespolona zmiennej zespolonej Definicja:

Jeżeli każdej liczbie

z

to mówimy, że w zbiorze D została określona funkcja zespolona zmiennej zespolonej

z

( )

w = f z

( )

f z

Dla funkcji zespolonej zmiennej zespolonej stosuje się zapis:

( ) ( ^, ) ( ^, )

w = f x + iy = u x y + iv x y

gdzie:

- część rzeczywista funkcji , - część urojona funkcji .

( ^, )

u x y

( ^, )

v x y

( )

w = f z

( )

w = f z

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Pochodna funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Definicja 1:

Pochodną funkcji

granicę skończoną

^{w = f z} ( ) ^z

(

) ( )

f z z f z

w

z z

+ ∆ −

∆ =

∆ ∆

przy założeniu, że przyrost zmiennej niezależnej dąży do zera przez dowolne wartości zespolone

∆ = ∆ + ∆ ≠ z x i y 0

Pochodną funkcji w

^{f z} ( )

^z

( ) (

) ( )

0

lim

z

f z z f z

f z

∆ →

z

+ ∆ −

′ =

∆

Uwaga:

Definicja jest formalnie identyczna z definicją pochodnej funkcji zmiennej rzeczywistej, różnica polega na tym, że

przyrost dążąc do zera, może przebiegać dowolne wartości zespolone.

Słuszne są również twierdzenia o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu oraz ilorazu funkcji, przy założeniu, że odpowiednie funkcje są różniczkowalne.

∆ z

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Twierdzenie 1 (warunek konieczny różniczkowalności):

Jeśli funkcja ma w punkcie

pochodną

1. istnieją w tym punkcie pochodne cząstkowe części rzeczywistej oraz urojonej ,

2. pochodne te spełniają w tym punkcie równania

Powyższe równania nazywamy warunkami Cauchy’ego – Riemanna.

( ) ( ) ^, ( ) ^,

f z = u x y + iv x y z = + x iy

( ) ^,

u x y ^{v x y} ( ) ^,

u v u v

x y y x

∂ = ∂ ∂ = − ∂

∂ ∂ ∂ ∂

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Twierdzenie 2 (warunek dostateczny różniczkowalności):

Jeżeli część rzeczywista i urojona

funkcji zespolonej spełniają

warunki Cauchy’ego–Riemanna w pewnym obszarze D i jeżeli ponadto pochodne cząstkowe tych funkcji są ciągłe w tym

obszarze, to funkcja ma w każdym punkcie tego obszaru pochodną:

( ) ^,

u x y ^{v x y} ( ) ^, ( ) ( ) ^, ( ) ^,

f z = u x y + iv x y

( )

f z = + u iv z = + x iy

( ) ^{u v 1 u v}

f z i i

x x i y y

⎛ ⎞

∂ ∂ ∂ ∂

′ = ∂ + ∂ = ⎜ ⎝ ∂ + ∂ ⎟ ⎠

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Definicja 2:

Mówimy, że funkcja jest

holomorficzna

holomorficzna

każdym

( ) f z

Definicja 3:

Funkcja jest

holomorficzna

( )

f z z

z