Problem ruchu dwóch ciał Wykład 8 Karol Kołodziej

(1)

Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice

http://kk.us.edu.pl

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/34

(2)

Rozważymy problem ruchu dwóch ciał odosobnionych o masach m1 i m².

Równania ruchu wynikają bezpośrednio z II zasady dynamiki Newtona

m1r~¨1 = ~Fr~1, ~r2, ˙~r1, ˙~r2, t,

(3)

m1r~¨1 = ~Fr~1, ~r2, ˙~r1, ˙~r2, t, m2r~¨2

(4)

m1r~¨1 = ~Fr~1, ~r2, ˙~r1, ˙~r2, t, m2r~¨2 =

(5)

m1r~¨1 = ~Fr~1, ~r2, ˙~r1, ˙~r2, t, m2r~¨2 = − ~Fr~1, ~r2, ˙~r1, ˙~r2, t,

(6)

gdzie ~ri i ˙~ri, i = 1, 2, są wektorami położenia i prędkości ciał w dowolnie wybranym układzie odniesienia,

(7)

gdzie ~ri i ˙~ri, i = 1, 2, są wektorami położenia i prędkości ciał w dowolnie wybranym układzie odniesienia,aw drugim równaniu skorzystaliśmy z III zasady dynamiki Newtona.

(8)

gdzie ~ri i ˙~ri, i = 1, 2, są wektorami położenia i prędkości ciał w dowolnie wybranym układzie odniesienia, aw drugim równaniu skorzystaliśmy z III zasady dynamiki Newtona.

(9)

wybranego układu odniesienia.

y z

x

~r₂

m₂

~ r₁

m₁

~ r

(10)

Rozpatrywany układ dwóch ciał możemy obserwować z dowolnie wybranego układu odniesienia.

y z

x

~r₂

m₂

~ r₁

m₁

~ r

(11)

przesunąć go równolegle o pewien wektor

(12)

Układ współrzędnych możemy wybrać inaczej, np. możemy przesunąć go równolegle o pewien wektor

y^′ z^′

x^′ m₁

~r

~r₂^′

~r^′₁

(13)

przesunąć go równolegle o pewien wektor

y^′ z^′

x^′ m₁

~r

~r₂^′

~r^′₁

Widzimy, że wektory położenia ~r¹ i ~r² są teraz zupełnie inne.

(14)

Układ współrzędnych możemy wybrać inaczej, np. możemy przesunąć go równolegle o pewien wektor

y^′ z^′

x^′ m₁

~r

~r₂^′

~r^′₁

Widzimy, że wektory położenia ~r¹ i ~r² są teraz zupełnie inne.

(15)

y z

x

y^′ z^′

x^′

~r₂ m₂

~r₁ m₁

~r

~r₂^′

~r^′₁

(16)

~r ≡ ~r¹− ~r²

y z

x

y^′ z^′

x^′

~r₂ m₂

~r₁ m₁

~r

~r₂^′

~r^′₁

pozostaje niezmieniony przy operacji przesunięcia układu współrzędnych.

(17)

y z

x

y^′ z^′

x^′

~r₂ m₂

~r₁ m₁

~r

~r₂^′

~r^′₁

pozostaje niezmieniony przy operacji przesunięcia układu współrzędnych.

(18)

że rozpatrywany układ dwóch ciał możemy obserwować z dowolnie wybranego inercjalnego układu odniesienia, dochodzimy do

wniosku, żesiła ~F może zależeć tylko od względnej prędkości

˙~r ≡ ˙~r¹− ˙~r² obu ciałi od czasu.

(19)

˙~r ≡ ˙~r¹− ˙~r² obu ciałi od czasu. Zatem równania ruchu przyjmują postać

m1r~¨1 = ~F~r, ˙~r, t, m2r~¨2 = −~F~r, ˙~r, t.

(20)

m1r~¨1 = ~F~r, ˙~r, t, m2r~¨2 = −~F~r, ˙~r, t. Dodajmy stronami oba równania

m1r~¨1+ m2r~¨2 = 0

(21)

m1r~¨1+ m2r~¨2 = 0 i podzielmy obie strony przez m¹+ m2

m1r~¨1+ m2r~¨2

m1+ m2

= 0.

(22)

m1r~¨1+ m2r~¨2 = 0 i podzielmy obie strony przez m¹+ m2

m1r~¨1+ m2r~¨2

m1+ m2

= 0.

(23)

R~ ≡ m1r~1+ m²r~2

m1+ m2

,

który opisujepołożenie środka masyrozpatrywanego układu dwóch ciał.

(24)

Po lewej stronie otrzymanego równania występuje druga pochodna czasowa wektora

R~ ≡ m1r~1+ m²r~2

m1+ m2

,

Otrzymane równanie przyjmuje więc postać m1r~¨1+ m2r~¨2

m1+ m² =R~¨ = 0

(25)

R~ ≡ m1r~1+ m²r~2

m1+ m2

,

m1+ m² =R~¨ = 0 ⇒ ˙~R = const.

(26)

Po lewej stronie otrzymanego równania występuje druga pochodna czasowa wektora

R~ ≡ m1r~1+ m²r~2

m1+ m2

,

m1+ m² =R~¨ = 0 ⇒ ˙~R = const.

Wnioskujemy stąd, żeśrodek masy odosobnionego układu dwóch ciał porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

(27)

R~ ≡ m1r~1+ m²r~2

m1+ m2

,

m1+ m² =R~¨ = 0 ⇒ ˙~R = const.

Wnioskujemy stąd, żeśrodek masy odosobnionego układu dwóch ciał porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

(28)

Ta konkluzja wiąże się bezpośrednio z symetrią odosobnionego układu punktów materialnych względemtransformacji Galileusza, a ściślej z niezmienniczością układu ﬁzycznego przy przejściu do dowolnego innego układu inercjalnego.

(29)

Ta konkluzja wiąże się bezpośrednio z symetrią odosobnionego układu punktów materialnych względemtransformacji Galileusza, a ściślej z niezmienniczością układu ﬁzycznego przy przejściu do dowolnego innego układu inercjalnego.

(30)

m1r~¨1 = ~F ~r, ˙~r, t , m2r~¨2 = −~F~r, ˙~r, t. Pomnóżmy pierwsze równanie ruchu przez _m₁^m₊²_m₂,

(31)

m2r~2 = −~F ~r, ˙~r, t .

Pomnóżmy pierwsze równanie ruchu przez _m₁^m₊²_m₂,a drugie przez

m1

m1+m2,

(32)

m1r~¨1 = ~F ~r, ˙~r, t , m2r~¨2 = −~F~r, ˙~r, t.

m1

m1+m2,wówczas otrzymamy układ równań

(33)

m2r~2 = −~F ~r, ˙~r, t .

m1

m1+m2,wówczas otrzymamy układ równań m1m2

m1+ m2

~¨ r1

(34)

m1r~¨1 = ~F ~r, ˙~r, t , m2r~¨2 = −~F~r, ˙~r, t.

m1

m1+ m2

~¨ r1 =

(35)

m2r~2 = −~F ~r, ˙~r, t .

m1

m1+ m2

~¨

r1 = m2

m1+ m2

~F~r, ˙~r, t,

(36)

m1r~¨1 = ~F ~r, ˙~r, t , m2r~¨2 = −~F~r, ˙~r, t.

m1

m1+ m2

~¨

r1 = m2

m1+ m2

~F~r, ˙~r, t, m1m2

m1+ m2

~¨ r2

(37)

m2r~2 = −~F ~r, ˙~r, t .

m1

m1+ m2

~¨

r1 = m2

m1+ m2

~F~r, ˙~r, t, m1m2

m1+ m2

~¨ r2 =

(38)

m1r~¨1 = ~F ~r, ˙~r, t , m2r~¨2 = −~F~r, ˙~r, t.

m1

m1+ m2

~¨

r1 = m2

m1+ m2

~F~r, ˙~r, t, m1m2

m1+ m2

~¨

r2 = − m1

m1+ m2

~F~r, ˙~r, t.

(39)

m2r~2 = −~F ~r, ˙~r, t .

m1

m1+ m2

~¨

r1 = m2

m1+ m2

~F~r, ˙~r, t, m1m2

m1+ m2

~¨

r2 = − m1

m1+ m2

~F~r, ˙~r, t.

Odejmijmy stronami drugie równanie od pierwszego

(40)

m1r~¨1 = ~F ~r, ˙~r, t , m2r~¨2 = −~F~r, ˙~r, t.

m1

m1+ m2

~¨

r1 = m2

m1+ m2

~F~r, ˙~r, t, m1m2

m1+ m2

~¨

r2 = − m1

m1+ m2

~F~r, ˙~r, t.

Odejmijmy stronami drugie równanie od pierwszego m1m2

m1+ m²

r~¨1− ¨r~2

=

(41)

m2r~2 = −~F ~r, ˙~r, t .

m1

m1+ m2

~¨

r1 = m2

m1+ m2

~F~r, ˙~r, t, m1m2

m1+ m2

~¨

r2 = − m1

m1+ m2

~F~r, ˙~r, t.

m1+ m²

r~¨1− ¨r~2

=

m2

m1+ m² + m1

m1+ m²

F~~r, ˙~r, t=

(42)

m1r~¨1 = ~F ~r, ˙~r, t , m2r~¨2 = −~F~r, ˙~r, t.

m1

m1+ m2

~¨

r1 = m2

m1+ m2

~F~r, ˙~r, t, m1m2

m1+ m2

~¨

r2 = − m1

m1+ m2

~F~r, ˙~r, t.

m1+ m²

r~¨1− ¨r~2

=

m2

m1+ m² + m1

m1+ m²

F~~r, ˙~r, t=F~ ~r, ˙~r, t.

(43)

m2r~2 = −~F ~r, ˙~r, t .

m1

m1+ m2

~¨

r1 = m2

m1+ m2

~F~r, ˙~r, t, m1m2

m1+ m2

~¨

r2 = − m1

m1+ m2

~F~r, ˙~r, t.

m1+ m²

r~¨1− ¨r~2

=

m2

m1+ m² + m1

m1+ m²

F~~r, ˙~r, t= ~F ~r, ˙~r, t.

(44)

Zdeﬁniujmymasę zredukowaną układu dwóch ciał m≡ m1m2

m1+ m2 ⇔ 1 m = 1

m1

+ 1 m2

.

(45)

m≡ m1+ m2 ⇔ 1 m = 1

m1

+ 1 m2

.

Wówczas nasze równanie przyjmie postać m¨~r= ~F~r, ˙~r, t.

(46)

m1+ m2 ⇔ 1 m = 1

m1

+ 1 m2

.

Widzimy, że problem ruchu dwóch ciał został sprowadzony do ruchu ciała o masie zredukowanej pod wpływem takiej samej siły, którą ciała wzajemnie na siebie oddziaływują,

(47)

m≡ m1+ m2 ⇔ 1 m = 1

m1

+ 1 m2

.

jednostajnego ruchu środka masy.

(48)

m1+ m2 ⇔ 1 m = 1

m1

+ 1 m2

.

jednostajnego ruchu środka masy.

(49)

(50)

Przykład 1.Rozważmy ruch układu Słońce–Ziemia. Masa Słońca m_S to około 2 × 10³⁰ kg,a masa Ziemi mZ ≈ 6 × 10²⁴ kg,

(51)

m_S ≫ mZ

(52)

Przykład 1.Rozważmy ruch układu Słońce–Ziemia. Masa Słońca m_S to około 2 × 10³⁰ kg, a masa Ziemi mZ ≈ 6 × 10²⁴ kg, a zatem

m_S ≫ mZ ⇒ 1

m_Z ≫ 1 m_S

(53)

m_S ≫ mZ ⇒ 1

m_Z ≫ 1

m_S ⇒ 1

m = 1 m_S + 1

m_Z

(54)

m_S ≫ mZ ⇒ 1

m_Z ≫ 1

m_S ⇒ 1

m = 1 m_S + 1

m_Z ≈ 1 m_Z,

(55)

m_S ≫ mZ ⇒ 1

m_Z ≫ 1

m_S ⇒ 1

m = 1 m_S + 1

m_Z ≈ 1 m_Z, skąd wynika, że masa zredukowana układu jest w bardzo dobrym przybliżeniu równa masie Ziemi,m≈ m^Z.

(56)

m_S ≫ mZ ⇒ 1

m_Z ≫ 1

m_S ⇒ 1

m = 1 m_S + 1

Odwróćmy związki deﬁnicyjne na wektory określające położenie względne i położenie środka masy

( ~r= ~r_S − ~r_Z R~ = ^m^S_m^r^~^S^+m^Z^r^~^Z

S+mZ

(57)

m_S ≫ mZ ⇒ 1

m_Z ≫ 1

m_S ⇒ 1

m = 1 m_S + 1

S+mZ

⇒

( r~_S = _m^m^Z

S+mZ~r+ ~R

~

r_Z = −_m_S^m+^SmZ~r+ ~R

(58)

m_S ≫ mZ ⇒ 1

m_Z ≫ 1

m_S ⇒ 1

m = 1 m_S + 1

S+mZ

⇒

( r~_S = _m^m^Z

S+mZ~r+ ~R

~

r_Z = −_m_S^m+^SmZ~r+ ~R

(59)

|~r_S|

| ~rZ| = ^m^S⁺^m^Z −_m_S^m+^SmZ~r =

(60)

Pomińmy nieistotny dla ruchu względnego wektor ~R i obliczmy

|~r_S|

| ~rZ| =

_m_S^m+^ZmZ~r

−_m_S^m+^SmZ~r =

mZ

mS+mZ |~r|

mS

m_S+m_Z |~r| =

(61)

|~r_S|

| ~rZ| = ^m^S⁺^m^Z

−_m_S^m+^SmZ~r = ^m^S^+m^Z |~r|

mS

m_S+m_Z |~r| = m_Z mS ≈

(62)

|~r_S|

| ~rZ| =

_m_S^m+^ZmZ~r

−_m_S^m+^SmZ~r =

mZ

mS+mZ |~r|

mS

m_S+m_Z |~r| = m_Z

mS ≈ 6 × 10²⁴kg 2 × 10³⁰kg =

(63)

|~r_S|

| ~rZ| = ^m^S⁺^m^Z

−_m_S^m+^SmZ~r = ^m^S^+m^Z |~r|

mS

m_S+m_Z |~r| = m_Z

mS ≈ 6 × 10 kg

2 × 10³⁰kg =3 × 10⁻⁶.

(64)

|~r_S|

| ~rZ| =

_m_S^m+^ZmZ~r

−_m_S^m+^SmZ~r =

mZ

mS+mZ |~r|

mS

m_S+m_Z |~r| = m_Z

mS ≈ 6 × 10²⁴kg

2 × 10³⁰kg = 3 × 10⁻⁶. Widzimy, że rozmiary orbit Słońca i Ziemi w ruchu względnym mają się do siebie jak

|~r_S|

| ~rZ| ≈ 3 × 10⁻⁶,

(65)

|~r_S|

| ~rZ| = ^m^S⁺^m^Z

−_m_S^m+^SmZ~r = ^m^S^+m^Z |~r|

mS

m_S+m_Z |~r| = m_Z

mS ≈ 6 × 10 kg

|~r_S|

| ~rZ| ≈ 3 × 10⁻⁶,

a zatem jeśli średnia odległość Ziemi od Słońca wynosi 150 × 10⁶ km,

(66)

|~r_S|

| ~rZ| =

_m_S^m+^ZmZ~r

−_m_S^m+^SmZ~r =

mZ

mS+mZ |~r|

mS

m_S+m_Z |~r| = m_Z

mS ≈ 6 × 10²⁴kg

|~r_S|

| ~rZ| ≈ 3 × 10⁻⁶,

a zatem jeśli średnia odległość Ziemi od Słońca wynosi

150 × 10⁶ km,to rozmiary orbity Słońca względem środka masy układu Słońce-Ziemia są rzędu450 km.

(67)

|~r_S|

| ~rZ| = ^m^S⁺^m^Z

−_m_S^m+^SmZ~r = ^m^S^+m^Z |~r|

mS

m_S+m_Z |~r| = m_Z

mS ≈ 6 × 10 kg

|~r_S|

| ~rZ| ≈ 3 × 10⁻⁶,

a zatem jeśli średnia odległość Ziemi od Słońca wynosi

150 × 10⁶ km, to rozmiary orbity Słońca względem środka masy układu Słońce-Ziemia są rzędu450 km.

(68)

Widzimy, że orbita ta leży głęboko we wnętrzu Słońca.

Podobnie jest w przypadku względnego ruchu Słońca i każdej z pozostałych planet, nie wyłączając Jowisza.

(69)

Periodyczne zmiany położenia gwiazd spowodowane przez towarzyszące im planety są wykorzystywane do poszukiwania planet pozasłonecznych.

(70)

Jednak lepsze efekty przynosi badanie drobnych zmian jasności gwiazd spowodowane tranzytem planet na tle ich tarcz.

(71)

Jednak lepsze efekty przynosi badanie drobnych zmian jasności gwiazd spowodowane tranzytem planet na tle ich tarcz.

(72)

W mechanice ważną rolę odgrywająsiły centralne, czyli siły skierowane do określonego punktu, tzw. centrum siły.

(73)

Siłę centralną F (~r, t) możemy zapisać następująco F~ (~r, t) = f (~r, t)~r

r, gdzie r = |~r| ,

(74)

r, gdzie r = |~r| , a f (~r, t) jest dowolną funkcją skalarną.

(75)

Udowodnimy teraz kilka twierdzeń dotyczących ruchu ciała pod wpływem siły centralnej.

(76)

Twierdzenie 1.Jeżeli ciało porusza się pod wpływem siły

centralnej, to jego moment pędu ~L = ~r × ~p względem centrum siły jest zachowany.

(77)

Twierdzenie 1.Jeżeli ciało porusza się pod wpływem siły

centralnej, to jego moment pędu ~L = ~r × ~p względem centrum siły jest zachowany.

(78)

˙~L =

(79)

dt

(80)

˙~L = d dt

~r× m˙~r=m ˙~r× ˙~r

| {z }

0

+ ~r × m¨~r

|{z}

F~

=

(81)

dt

0 F~