⇒ siły bezwładno´sci

Dynamika

Fizyka I (Mechanika) Wykład VI:

• Siły spr ˛e˙zyste i opory ruchu

• Prawa ruchu w układzie nieinercjalnym

⇒ siły bezwładno´sci

• Zasada zachowania p ˛edu

• Zasada zachowania momentu p ˛edu

• Ruch ciał o zmiennej masie

Siła spr ˛e˙zysta

Prawo Hooke’a

Opisuje zale˙zno´s´c siły spr ˛e˙zystej od odkształcenia ciała:

∆ L L

S

F

F = E S ∆L L

E - moduł Younga [N/m ² ]

napr ˛e˙zenie odpowiadaj ˛ ace dwukrotnemu wydłu˙zeniu

Prawo Hooke’a jest prawem empirycznym Jest słuszne tylko dla małych napr ˛e˙ze ´n.

granica proporcjonalno´sci ↑ (P r) granica wytrzymało´sci ↓

Cu: E = 1.2 · 10

P r = 1.9 · 10

P r ∼ 10

E

Siła spr ˛e˙zysta

Relaksacja

Prawo Hooke’a odnosi si ˛e do sytuacji statycznej.

Od momentu przyło˙zenia siły do osi ˛ agni ˛ecia odpowiedniego odkształcenie mija sko ´nczony czas - czas relaksacji

podobnie gdy siła przestanie działa´c

Histereza

Przyło˙zenie du˙zej siły, nawet na krótki czas mo˙ze powodowa´c trwałe

odkształcenie

⇒ trzeba przyło˙zy´c sił ˛e

przeciwnie skierowan ˛ a

Tarcie

Tarcie kinetyczne

T

N R

v

Siła pojawiaj ˛ aca si ˛e mi ˛edzy dwoma powierzchniami

poruszaj ˛ acymi si ˛e wzgl ˛edem siebie, dociskanymi sił ˛ a N.

Scisły opis sił tarcia jest bardzo skomplikowany. ´

⇒ Prawo empiryczne:

T = −µ ~ _k ~i _v N ~i _v = ~v v Siła tarcia kinetycznego:

• jest proporcjonalna do ⊥ siły dociskaj ˛ acej

• nie zale˙zy od powierzchni zetkni ˛ecia

• nie zale˙zy od pr ˛edko´sci

Prawo empiryczne ⇒ przybli˙zone !!!

Tarcie

Obraz mikroskopowy

Tarcie wywołane jest przez oddziaływanie elektromagnetyczne cz ˛ astek stykaj ˛ acych si ˛e ciał.

Powierzchnie nigdy nie s ˛ a idealnie równe na poziomie mikroskopowym cz ˛ astki

jednego ciała “blokuj ˛ a drog ˛e” cz ˛ astkom drugiego ciała

⇒ musz ˛ a zosta´c “odepchni ˛ete”

wypolerowana mied´z ⇒

Tarcie

Zale˙zno´s´c od nacisku

Powierzchnia rzeczywistego (mikroskopowego) styku ciał jest w normalnych warunkach wiele rz ˛edów wielko´sci mniejsza ni˙z powierzchnia geometryczna:

siła ułamek

dociskaj ˛ aca powierzchni 1 N/cm ² 0.00001 2.5 N/cm ² 0.000025

50 N/cm ² 0.0005 250 N/cm ² 0.0025 (płytki stalowe)

⇒ efektywna powierzchnia styku proporcjonalna do nacisku

⇒ liczba oddziaływa ´n na poziomie

atomowym proporcjonalna do nacisku

Tarcie

Odst ˛epstwa od praw empirycznych

Przy du˙zych pr ˛edko´sciach mo˙ze si ˛e pojawi´c zale˙zno´s´c µ _k od pr ˛edko´sci v :

stal i mied´z

Przy bardzo du˙zych pr ˛edko´sciach mied´z ulega chwilowemy stopieniu...

Przy du˙zych siłach dociskaj ˛ acych mog ˛ a si ˛e pojawi´c odst ˛epstwa od zale˙znosci liniowej:

mied´z i mied˙z

Przy du˙zym nasisku zniszczeniu ulega

warstwa tlenków na powierzchni miedzi...

Tarcie

Scieranie ´

Na poziomie mikroskopowym tarcie prowadzi trwałych zmian w stykaj ˛ acych si ˛e powierzchniach.

Fragmenty miedzi przył ˛ aczone do powierzchni stali:

Smarowanie

Tarcie zmniejszamy wprowadzaj ˛ ac smar mi ˛edzy poruszaj ˛ ace si ˛e powierzchnie.

Powierzchnie nie stykaj ˛ a si ˛e ⇒ brak tarcia

⇒ pojawia si ˛e jednak nowa siła oporu

zwi ˛ azana z lepko´sci ˛ a

Tarcie

Tarcie statyczne

T R

N mg

Ciało pozostaje w równowadze dzi ˛eki działaniu tarcia statycznego

Siła działaj ˛ aca mi ˛edzy dwoma powierzchniami

nieruchomymi wzgl ˛edem siebie, dociskanymi sił ˛ a N.

Maksymalna siła tarcia statycznego T _S ^max jest równa najmniejszej sile F jak ˛ a nale˙zy przyło˙zy´c do ciała, aby ruszy´c je z miejsca.

Prawo empiryczne:

T ~ _S ^max = −µ _s ~i _F N ~i _F = F ~

F

Tarcie

Tarcie statyczne

Póki przyło˙zona siła F ~ jest mała, tarcie statyczne utrzymuje ciało w spoczynku:

T ~ _s = − ~ F

⇒ siła tarcia ro´snie proporcjonalnie do przyło˙zonej siły.

Gdy przyło˙zona siła przekroczy warto´s´c T _S ^max = µ _s · N ciało zaczyna si ˛e porusza´c ⇒ tarcie kinetyczne

T _s

Tarcie kinetyczne naogół słabsze od spoczynkowego: µ _k < µ _s

Tarcie

K ˛ at graniczny

R

Q T

α α

N

Jest to maksymalny k ˛ at nachylenia równi, przy którym siła tarcia pozwala na utrzymanie go w równowadze. Z warunku równowagi:

T = Q sin α N = Q cos α

Z definicji współczynnika tarcia statycznego:

T _S ^max = µ _S · N Otrzymujemy:

Q sin α _gr = µ _S · Q cos α _gr

µ _S = tan α _gr

Tarcie

Współczynniki tarcia

Przykładowe współczynniki dla wybranych materiałów:

Hamowanie samochodu:

wa˙zne aby koła nie zacz ˛eły si ˛e ´slizga´c

• po´slizg ⇒ µ _k

• dobry kierowca lub ABS ⇒ µ _s

zysk ∼ 40% na drodze hamowania

Tarcie

Tarcie toczne

r µ

F

Q R

N

Tocz ˛ ace si ˛e ciało odkształca zawsze powierzchni ˛e po której si ˛e toczy.

Poza tarciem statycznym i kinetycznym (po´slizgowym) mamy tarcie toczne:

T ~ _t = −µ _t ~i _F N r

Współczynnik tarcia tocznego µ _t jest zwykle bardzo mały

Przykładowo:

• drewno + drewno ⇒ µ _t = 0,0005 m

• stal hartowana + stal ⇒ µ _t = 0,00001 m

(wymiar długo´sci!)

Układ inercjalny

Zasada bezwładno´sci

“Ka˙zde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowego i jednostajnego, je´sli siły przyło˙zone nie zmuszaj˙z ciała do zmiany tego stanu.” I.Newton

Układ odniesienia w którym spełniona jest zasada bezwładno´sci nazywamy układem inercjalnym

Zasada bezwładno´sci jest równowa˙zna z postulatem itnienia układu inercjalnego W układzie inercjalnym ruch ciała jest jednoznacznie zadany przez

działaj ˛ ace na nie siły zewn ˛etrzne (równanie ruchu) + warunki pocz ˛ atkowe m d ² ~ r(t)

dt ² = ~ F (~ r, ~v, t) + ~ F _R

~ r(t ₀ ) = ~r ₀ ~v(t ₀ ) = ~v ₀

Układy nieinercjalne

Opis ruchu

Wózek porusza si ˛e z przyspieszenien ~a wzgl ˛edem stołu

a

Z punktu widzenia obserwatora zwi ˛ azanego ze stołem kulka pozostaje w spoczynku.

Wynika to z zasady bezwładno´sci - siły działaj ˛ ace na kulk ˛e równowa˙z ˛ a si ˛e

F = 0 ⇔ ~a = 0 ~

−a

Z punktu widzenia obserwatora zwi ˛ azanego z wózkiem kulka porusza si ˛e z przyspieszeniem −~a

⇒ prawa Newtona nie s ˛ a spełnione !?

Oba układy nie mog ˛ a by´c inercjalne.

Prawa ruchu w układzie nieinercjalnym

wymagaj ˛ a modyfikacji

Układy nieinercjalne

Prawa ruchu

Przyjmijmy, ˙ze układ O’ porusza si ˛e wzgl ˛edem układu inercjalnego O.

Osie obu układów pozostaj ˛ a cały czas równoległe (brak obrotów)

Niech ~ r _◦ (t) opisuje poło˙zenie układu O’ w O. Przyspieszenie: ~a _◦ = ^d

^{~ r}

dt

Ruch punktu materialnego mierzony w układach O i O’:

~ r = ~r ^′ + ~ r _◦

Przyspieszenie punktu materialnego mierzone w układach O i O’:

~a = ~a ^′ + ~a _◦ Prawa ruchu w układzie inercjalnym O:

m~a = ~ F (~ r, ~v, t) + ~ F _R

⇒ w układzie nieinercjalnym O’:

m~a ^′ = ~ F (~ r ^′ , ~v ^′ , t) + ~ F _R − m~a _◦

⇒ w układzie nieinercjalnym musimy wprowadzi´c sił ˛e bezwładno´sci F ~ _b = −m~a _◦

Układy nieinercjalne

Prawa ruchu

Wahadło w układzie nieinercjalnym poruszaj ˛ acym si ˛e z przyspieszeniem

~a wzgl ˛edem układu inercjalnego

−a

Θ R

mg F _b

o

Oprócz siły ci ˛e˙zko´sci m~g i reakcji R ~ musimy uwzgl ˛edni´c pozorn ˛ a sił ˛e bezwładno´sci F ~ _b = −m~a _◦

Opis ruchu mo˙zna upro´sci´c wprowadzaj ˛ ac efektywne przyspieszenie ziemskie:

~g ^′ = ~g − ~a _◦

siły bezwładno´sci ≡ siły grawitacji

⇒ odchylenie poło˙zenia równowagi:

tan θ = a _◦ g Przyspieszenie drga ´n:

ω ^{′ 2} = g ^′ l =

q

g ² + a ²

l

Układy nieinercjalne

Prawa ruchu

Je´sli a _◦ ≪ g ⇒ w układzie poruszaj ˛ acym si ˛e z przyspieszeniem ~a _◦ ⊥ ~g obserwujemy pozorn ˛ a zmian ˛e kierunku działania siły ci ˛e˙zko´sci:

Ciecz w naczyniu:

~a = 0 ~a 6= 0

Balon z helem:

~a = 0 ~a 6= 0

Układy nieinercjalne

Równia

α −a

F _b

o

R mg

siły działaj ˛ ace w układzie wózka

Wózek zsuwa si ˛e bez tarcia po równi pochyłej.

Zaniedbuj ˛ ac ruch obrotowy kół przyspieszenie wózka:

a _◦ = g sin α

W układzie zwi ˛ azanym z wózkiem działa- j ˛ aca na wahadło siła bezwładno´sci jest równa co do warto´sci (lecz przeciwnie skierowana) równoległej składowej ci ˛e˙zaru.

Na wahadło działa pozorna siła ci ˛e˙zko´sci prostopadła do powierzchni równi.

g ^′ = g _⊥ = g cos α < g

⇒ spowolnienie drga ´n

Układy nieinercjalne

Spadek swobodny

W układzie odniesienia poruszaj ˛ acym si ˛e z przyspieszeniem ~a _◦ ||~g obserwujemy pozorn ˛ a zmian ˛e warto´sci przyspieszenie grawitacyjnego:

~g ^′ = ~g − ~a _◦

W układzie zwi ˛ azanym z ciałem spadaj ˛ acym swobodnie ~a _◦ = ~g

~g ^′ = 0

⇒ stan niewa˙zko´sci

Zasada zachowania p ˛edu

Układ izolowany

Ka˙zde ciało mo˙ze w dowolny sposób

oddziaływa´c z innymi elementami układu.

F F

12 21

1

2

4

3

Brak oddziaływa ´n ze ´swiatem zewn ˛etrznym

III zasada dynamiki

Siły z którymi działaj ˛ a na siebie ciała i i j : F ~ _ij = − ~ F _ji

Suma sił działaj ˛ acych ciało i:

F ~ _i ^Σ = ^X

j

F ~ _ji

Suma sił działaj ˛ acych na układ:

F ~ _tot = ^X

i

F ~ _i ^Σ = ^X

i

X j

F ~ _ji

= ^X

j

X

i

− ~ F _ij = − ~ F _tot

⇒ F ~ _tot = 0

Zasada zachowania p ˛edu

II zasada dynamiki d~ p _i

dt = ~ F _i ^Σ

dp 2 1

2

4

3

dp 1

dp

dp ₃

4

izolowany układ inercjalny

P˛ed układu

Prawo ruchu układu:

F ~ _tot = ^X

i

F ~ _i ^Σ = ^X

i

d~ p _i dt

= d dt

X

i

~ p _i

F ~ _tot = 0 ⇒ ^X

i

~

p _i =

Dla dowolnego układu izolowanego,

suma p ˛edów wszystkich elementów

układu pozostaje stała.

Zasada zachowania p ˛edu

Oddziaływanie dwóch ciał

M

M

M ₁ < M ₂

V

V

Układ “rozpada si ˛e” pod wpływem sił wewn ˛etrznych.

Je´sli na pocz ˛ atku wszystkie obiekty spoczywaj ˛ a

X i

~

p _i = 0

to i po “rozpadzie” suma p ˛edów musi by´c równa 0.

Dwa ciała: (v _i ≪ c) m ₁ ~v ₁ + m ₂ ~v ₂ = 0

⇒ ~v ₂ = − m ₁

m ₂ · ~v ₁

⇒ v ₂

v ₁ = m ₁

m ₂

Zasada zachowania p ˛edu

Oddziaływanie dwóch ciał

R

Q R

α

a

a

r

Q

a a

x y

y

x

N

m M

Równia rusza si ˛e bez tarcia po poziomym stole.

Klocek zsuwa si ˛e bez tarcia po równi.

Na układ działaj ˛ a siły zewn ˛etrzne:

• siły ci ˛e˙zko´sci Q i Q _r

• oraz siła reakcji stołu R _r

Ale wiemy, ˙ze siły ta działaj ˛ a wzdłu˙z kierunku pionu (prostopadle do powierzchni stołu).

Siły zewn ˛etrzne mog ˛ a zmienia´c składow ˛ a pionow ˛ a p ˛edu układu równia-klocek.

Ale składowa pozioma b ˛edzie wci ˛ a˙z zachowana!

Uwzgl ˛edniaj ˛ ac, ˙ze pr ˛edko´s´c i przyspieszenie równi s ˛ a skierowane przeciwnie do osi X:

−mV _r + M V _x = const ⇔ ma _r = M a _x

Kierunek przyspieszenia klocka nie jest równoległy do powierzchni równi!

Zasada zachowania p ˛edu

Oddziaływanie dwóch ciał

R

Q

α

F

a’

−a

M

Zagadnienie daje si ˛e łatwiej rozwi ˛ aza´c, gdy przejdziemy do układu nieinercjalnego zwi ˛ azanego z równi ˛ a. W układzie tym na klocek działa dodatkowo siła bezwładno´sci

F ~ _b = −~a _r M

Przyspieszenie klocka (wzdłu˙z równi!):

a ^′ = g sin α + a _r cos α Mo˙zemy teraz wyznaczy´c składow ˛ a X tego przyspieszenia w układzie stołu, i porówna´c z wrto´sci ˛ a oczekiwan ˛ a z zasady zachowania p ˛edu:







a _x = a ^′ cos α − a _r = g sin α cos α − a _r sin ² α

M a _x = ma _r ⇒ a _r = g M sin α cos α

m + M sin ² α

Zasada zachowania p ˛edu

Oddziaływanie dwóch ciał

V

V=0

M

M

V

M

M

Zderzenie całkowicie niespr ˛e˙zyste

(po zderzeniu ciała trwale zł ˛ aczone)

P˛ed pocz ˛ atkowy: ~ p _i = m ₁ ~v ₁

P˛ed ko ´ncowy: ~ p _f = (m ₁ + m ₂ ) ·~v ₂

Zasada zachowania p ˛edu:

~

p _i = ~ p _f

⇒ ~v ₂ = m ₁

m ₁ + m ₂ · ~v ₁

Zasada zachowania momentu p ˛edu

Siły centralne

Je´sli układ ciał (lub pojedy ´ncze ciało) działa jaka´s siła zewn ˛etrzna F ~ _tot 6= 0 to p ˛ed układu musi si ˛e zmienia´c: ^P p ~ _i 6= const.

Siły które działaj ˛ a na układ cz ˛esto s ˛ a

siłami centralnymi - działaj ˛ a w kierunku ustalonego ´zródła siły.

Je´sli poło˙zenie ´zródła przyjmiemy za ´srodek układu ⇒ F ~ _tot = F (r, . . .) ·~i _r Przykład:

• siła grawitacyjna F (r) = −G ^m

^m

r

• siła kulombowska F (r) = _4πǫ ^Q

^Q

◦

r

• siła sp ˛e˙zysta F (r) = −k · r

Czy mo˙zna co´s “uratowa´c” z zasady zachowania p ˛edu ?...

Zasada zachowania momentu p ˛edu

Moment p ˛edu

Zdefiniujmy dla punktu materialnego:

L = ~ ~ r × ~ p ⇐ moment p ˛edu wzgl ˛edem O zale˙zy od wyboru pocz ˛ atku układu

Dla v ≪ c

L = m ~ ~ r × ~v

L = m r v sin θ

Zasada zachowania momentu p ˛edu

Moment p ˛edu

Ruch po płaszczy´znie:

L = m ~ ~ r × (~v _r + ~v _θ ) L = m r v _θ

⇒ L = m r ² dθ

dt = m r ² ω Przypadek szczególny:

ruch po okr ˛egu - r=const Moment bezwładno´sci

I = m r ²

⇒ moment p ˛edu mo˙zemy przedstawi´c w ogólnej postaci

L = I ~ ~ ω

Zasada zachowania momentu p ˛edu

Moment siły

M = ~ ~ r × ~ F ⇐ moment siły wzgl ˛edem O

Równanie ruchu d~ L

dt = d(~ r × ~ p) dt

= d~ r

dt × ~ p + ~ r × d~ p dt

= ~v × ~ p + ~ r × ~ F

= 0 + M ~

M = 0 ~ ⇒ L = ~

Zasada zachowania momentu p ˛edu

Cz ˛ astka swobodna

Moment p ˛edu wzgl ˛edem dowolnego punktu 0 pozostaje stały:

L = m v r sin θ = m v b =

b - parametr zderzenia

odległo´s´c najmniejszego zbli˙zenia do O

Siła centralna

Moment siły: (wzgl ˛edem ´zródła) M = ~ ~ r × ~ F

= ~r ×~i _r · F (r, . . .) = 0

L ~ = const

Moment p ˛edu, liczony wzgl ˛edem ´zródła

siły centralnej pozostaje stały.

Zasada zachowania momentu p ˛edu

Pr ˛edko´s´c polowa

Pole jakie wektor wodz ˛ acy punktu zakre´sla w jednostce czasu: ^dS _dt

dS _OAB = 1

2 r rdθ = 1

2 |~ r × ~ dr| = 1

2 |~ r × ~v| dt

II prawo Keplera

dS

dt = 1

2 |~ r × ~v| = L

2 m =

W ruchu pod działaniem sił centralnych

pr ˛edko´s´c polowa jest stała.

Ruch ciał o zmiennej masie

Rozwa˙zmy ruch ciała o zmiennej masie. W ogólnym przypadku: m = m(~ r, ~v, t)

m

w v+dv

−dm Od ciała o masie m−dm poruszaj ˛ acego si ˛e

z pr ˛edko´sci ˛ a ~v odł ˛ acza si ˛e element

−dm > 0 poruszaj ˛ acy si ˛e z pr ˛edko´sci ˛ a w ~

( dm < 0 bo masa ciała maleje)

Z zasady zachowania p ˛edu:

(m − dm) ~v = m (~v + d~v) − dm ~ w

⇒ d~ p = m d~v = (m − dm) ~v − m ~v + dm ~ w

= dm ( w − ~v ~ ) ≡ dm ~v _odrz

Siła odrzutu (siła ci ˛ agu rakiety):

F ~ _odrz = d~ p

dt = dm

dt ~v _odrz dm

dt < 0

Ruch ciał o zmiennej masie

Równanie ruchu

Ruch ciała pod wpływem siły odrzutu:

d~ p

dt = m d~v

dt = ~ F _zewn + dm

dt ~v _odrz

Zaniedbuj ˛ ac wpływ sił zewn ˛etrznych (np. pola grawitacyjnego):

m d~v

dt = dm

dt ~v _odrz m d~v

dm · dm

dt = dm

dt ~v _odrz m d~v

dm = ~v _odrz

Całkuj ˛ ac stronami:

v

Z

v

d~v

~v _odrz =

m

Z

m

dm m

⇒ ~v _k = ~v _◦ + ~v _odrz · ln

 m _k m _◦



wzór Ciołkowskiego

Ruch ciał o zmiennej masie

Rakieta jednostopniowa

Rakieta o masie m _R ma wynie´s´c satelit ˛e o masie m _S , zu˙zywaj ˛ ac paliwo o masie m _P :

m m

m v

P R

S

odrz

Mo˙zliwa do uzyskania pr ˛edko´s´c ko ´ncowa:

v _k = v _odrz · ln m _S + m _R + m _P m _S + m _R

!

≈ v _odrz · ln(1 + f )

gdzie:

f = m _P

m _R m _s ≪ m _R stosunek masy paliwa do masy rakiety

Aby uzyska´c II pr ˛edko´s´c kosmiczn ˛ a v _k ≈ 11 km/s (np. lot na Ksi ˛e˙zyc) przy silniku rakietowym o v _◦ = 3 km/s

f = exp

 v _k v _◦



− 1 ≈ 38

Teoretycznie mo˙zliwe,

praktycznie niewykonalne (?)...

i nieopłacalne !...

Ruch ciał o zmiennej masie

Rakieta dwustopniowa

Rakiet ˛e dzielimy na dwa człony o masach m ^′ _R i m ^′′ _R , m ^′ _R + m ^′′ _R = m _R w których znajduje si ˛e paliwo o masie m ^′ _P i m ^′′ _P : m ^′ _P + m ^′′ _P = m _P

’

’

"

"

m m m m

m

S P

R R

v

Pr ˛edko´s´c ko ´ncowa:

v _k = v _odrz ·

"

ln m _S + m _R + m _P m _S + m _R + m ^′′ _P

!

+ ln m _S + m ^′′ _R + m ^′′ _P m _S + m ^′′ _R

!#

W przybli˙zeniu m _S ≪ m ^′′ _R ≪ m ^′ _R : v _k ≈ v _odrz · 2 ln(1 + f )

Aby uzyska´c II pr ˛edko´s´c kosmiczn ˛ a v _k ≈ 11 km/s przy o v _◦ = 3 km/s:

f = exp

 v _k 2 v _◦



− 1 ≈ 5.3

Dla f ≈ 10 (dla obu członów) mo˙zna wystrzeli´c w kosmos m _S ≈ 0.6% (m _R + m _P )

′′

Ruch ciał o zmiennej masie

Rakieta wielostopniowa

Rakieta składa si ˛e z wielu członów.

W ka˙zdym z nich stosunek masy paliwa do “obudowy” wynosi f

v

W granicy wielu bardzo małych członów:

m d~v = dm ~v _odrz · f f + 1 Co sprowadza si ˛e do:

v _k = v _odrz · f

f + 1 · ln 1 + m _R

m _S (1 + f )

!

Aby uzyska´c II pr ˛edko´s´c kosmiczn ˛ a dla m _S ≈ 100 kg przy rakiecie o f = 10:

m _R = m _S 1 + f

"

· exp v _k (1 + f ) v _◦ f

!

− 1

#

m _R ≈ 500 kg m _P ≈ 5000 kg

Przy rakiecie jednoczłonowej, przy tych samych m

i m

potrzebaby 228’000 kg paliwa !!!

Dla rakiety dwuczłonowej:

m

≈ 1600 kg, m

≈ 16’000 kg

Projekt Fizyka wobec wyzwa ´ n XXI w.

współfinansowany ze ´srodków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego