Równania parametryczne wzbudników w postaci wężowic o normalnym przekroju kołowym

Seria: H U TN I C T W O z. 14 N r kol. 545

W ł a d y s ł a w M OR Y T K O Maciej BRUNNE

R Ó WN A N I A PA R AM E T RY C ZN E W Z B U D N I K Ó W W POSTA CI W Ę Ź O W N I C O N O R M A L N Y M P R ZE KR OD U K OŁ OW YM

S t r e s z c z e n i e . W a r ty ku le nin ie js z y m wy p r o w a d z o n o i om ó wio no rów­

nania p a r a m et r yc z n e węż ow nic , których przekrój no r m al n y jest kołem.

P o da n o na s tę pn ie w ar u n ki na to,by taka wę ż o wn i ca nie po s ia dał a pu nk­

tów osobliwych. M aj ę c równania tych węż own ic , po dano dla nich po­

stać pierwszej i drugiej formy kwadratowej. Na koniec o mó wi on o za­

s t os o wa n i e tych form do okr eś len ia rozpływu prędu p rz y danym roz­

mi es z c ze n iu źródeł napi ęc ia oraz do ok re śle ni a rozkładu pola m a g n e ­ tycznego, przy danym roz mie sz cz eni u linii prędu.

* 1. Ws t ę p

A r t y k u ł n i n i e js z y stano wi trzecią część ogólnej teorii powierzchni w z b u d ­ ni kó w st oso wa ny c h w no wo cz e s ny c h u rz ąd zen ia ch metalu rg icz nyc h. W części pierwszej z os t ał y w y p r o w a d z o n e up ro sz c zo n e równania p ar a m e t r y c z n e w z b u d ­ ni kó w na win ię ty c h na p ow i e rz c hn i e ob r oto we o różnych p r o f i l a c h . U p r o s z c z e ­ nie to po l eg ało na zan ie d ba n iu grubości w z b u d n i k a ,co s p r o w ad za ł o jego po­

wi e r z c h n i ę do linii. Dla celów tech ni czn yc h pr z y b l i ż e n i e takie Jest w pewn yc h p r zy p ad k a ch za dowalające. Po w y ż s z e z o sta ło op rac o w an e w p r a c y [l], W części drugiej zo st ał y wy p r ow a dz o n e równania w z b u d n i k ó w rzecz yw ist yc h przy założeniu, że przekrój p i ono wy jest okręgiem, tzn. taki przekrój, któ­

ry jest p r o s t o p a d ł y do p ł a s z c z yz n y xy. Pr z e wo d y tych wz b ud n i k ó w na winięte były na takie p o w i e r zc h n ie obrotowe, jak walec, stożek, kula i torus. P o ­ wy ż s z e zo st ało op ra co w a ne w a r ty ku le [2], Da ls zy m ro zw ini ęc iem teorii w z b u d n i k ó w Jest n i ni ej szy artykuł. W yp r o w a d z o n o w nim ró wnania parametrycz­

ne po wi e r zc h ni wz b u d n i k ó w rzeczywis ty ch pr z y założeniu, że przekrój nor­

ma ln y jest okręgiem.

W y p r o w a d z o n o na s tę p n ie w sp ó ł cz y nn i k i pierwszej i drugiej formy kw ad r a ­ towej o trz ym an ych pow ie rz c h ni i omów io no zas to so w a ni e tych form do ok r eś ­ lenia rozpływu prądu, prz y danym rozmies zc zen iu źr ódeł napi ęc ia ora z do określe ni a ro zkładu pola ma g n et y cz n e go przy danym roz mie sz c z en i u linii pr ą ­ du.

2. Równa nia pa ra me t ry c z ne wę ż own ic

Ni ec h w pr os to k ąt n y m u k ła dz ie ws pół r z ęd n y ch OXYZ będzie dana krzywa o r ó w n a n i a c h :

104 W. Morytko, M. Brunne

x(u) y(u) z (u )

lub w postaci w e k t o r o w e j :

r (u ) [x(u ), y ( u )-, z(u)] , ... (1)

gdzie pa r ame tr u jest lukiem i niech u e <of,ft > (rys. l). Je ż el i krzy-

3 — - x )

wa ta jest klasy C i je że li za chodzi r x r ^ 0 , wówcza s w..każdym jej punk ci e można zbudować trój ścian Freneta:

»

V2 = — u} . V,

~J i x ^2' ^ ak r<^wn ie ż napisać równania Freneta:

r(u) |

vA = * . v2

. V A -+ t . v 3 ___ (2)

- t . v2 .

Ro z waż my teraz po wie r z ch n i ę o równaniu wektorowym:

r(u,v) = r(u) + a . V„ . cos v + a . V. sin v. (3)

gdzie u € < 3 ,J4> , v e <0 ,2 35 > . Będzie to pow ie rzchnia Jakę otrzy­

mujemy, gdy wz dł uż krzywej K o rów­

naniu (l) będziemy przesuwać okręg o promieniu a, którego środek sta­

le leży na krzywej K, zaś jego pła szczyzna jest stale pr ostopadła do we kt ora stycznego r(u). Krzywę K bę dziemy nazywać linię centralnę tej powierzchni, a pow ie rz c h ni ę tę nazwiemy wężowni cę , której prze ­ krój norm al ny Jest okręgiem lub krótko, wę żownicę o no rmalnym prz e­

kroju kołowym. Szkic tej p ow i erz ch­

ni pok az any jest na rys. 2. Z b ad a ­ my teraz kiedy tak określona po­

wie rz chn ia posiada pu nk ty osobliwe, ewentualnie przy jakich waru nk ach ich nie posiada. W tym celu oblicz-

xl---

Kropk a nad w e k tor em oznacza ró żn icz ko wa nie w zg lę dem parametru, który J es t łukiem; na ró żni cz ko wan ie czę stkowe st os uje my również oznaczenia r i r .

v"

my ilocz yn w e kt o ro w y w ek t o ró w r i r . Róż ni c zk u ją c (3) w zg l ęd e m para­

metrów u i v mamy:

£. £i —

r = r(u) + a . V 2 cos v + a . V 3 . sin v

?v = - a . \?2 . sin v + a . . cos v.

U w zg l ę d n i a j ę c w tych w zo ra ch równania (2), otr zy mam y po upo rz ąd kow an iu

r = ( 1 - a . 91 . cos v) . ^ - a . X . \?2 . sin v + a . “I . V 3 . cosv

r = -a . V 2 . sin v + a . V 3 . cos v.

Po w yk o na n i u ra chu nk ów m am y ostatec zn ą warto ść na iloczy n wektor owy :

? u x ? v = a . (a . 9£ . cos v - l) . [\?2 . cos v + Vj.sinvJ.'.. (4)

Rys. 2. Wę ż ow n i c a na walcu

106 W. Morytko, M. Brunne

Ze wzo ru (4) wynika, że ilocz yn ten jest równy zero wt e dy i tylko w t e ­ dy. gdy a . cos v - 1 = 0 lub, gdy a . cos v = A b y wi ęc węż ownica

36

nie miała p un k t ów os obl iw yc h ( s a m o p r z e c i ę ć ) wi nno być a . 3e. cos v - 1 < 0 . O b li c zm y j e sz c ze iloczyn sk ala r ny we kt or ó w ? u i r . Po wy k on an iu łatwych rac hu nkó w mamy: ry . rv = a2 . t . Wy n i k a stęd, że iloczyn ten jest rów­

ny zero w t e d y i tylko wtedy , gdy X = 0, co oznacza, że linie p a ra m et r y cz ­ ne tej p o w i e rz ch n i tworzę si atkę o rt og on aln ę wtedy, gdy jej linia cen­

tralna jest krzywę płaskę.

3. W ę ż o w n i c a na walcu

Po ka ż e m y teraz jak wy glę d aj ę równania (3) dla w ęż o wn icy nawiniętej na walec ko ło wy o prom ien iu r, Jej linię ce nt ralnę bę dzie w t e d y linia śrubo­

wa. Pr z y pa d ek ten obi era my dlatego, że linię śrubowę można sto sun ko wo ła­

two s p a r a me t r yz o wa ć łukiem. N iec h więc będzie dana linia śrubowa o równa­

niach:

x ■ r . cos t y = r . sin t z = b . t

( 5 )

G d y t € < 0 , 2 J [ > , wó w c z a s ot r z ym u je m y jeden zwój tej linii. Je żel i linię tę sp ar a m et r y z u j e m y łukiem wó wc z a s jej równanie we k to row e będzie miało po­

stać :

(u)

r(u) Ir . cos-

P Z b 2 '

Ob li c z a j ę c = r(u) mamy:

r . sin- b . u

(6)

= r(u ) _l|r2 + t

. sin ______ 1 • ,

'

Ł a t w o policzyć, że | V | » |r(u)| = 1 , a to jak w i ad o mo jest w ar u nk iem na to, ż eb y p ar a m et r u był łukiem. O b li c z my dalej

-

r(u) -r

rn n U _ r q i n u

2 u2

r + b> V r 2 + b 2

H

2 u 2 r + b

f(u) - coo u - oin u ' 0

1 r ( u ) |

l Vr2 +b2 . V + b2 J

(7)

Ob li c z ym y n a st ę pn i e V 3 = Po 8 to s u nl<owo łatwych rachunkach mamy o s t a t e c z n i e :

•• b s i n u - b . . . u r

V r 2 + b 2 V r 2 + b 2 ' V r 2 + b 2 Y r 2 + b 2 Y r 2 + b 2

(8)

Ma ję c w s p ó ł r z ę d n e w e k t o r ó w V g i V 3 o k re śl on e wz or am i (7) i (8) mo że my na­

pisać równania w ę ż o w n i c y nawiniętej na walec kołow y o prom ie ni u r, której linia cen tralna dana jest r ów nan ia mi (6). W tym celu w równaniu (3) u- w z g l ę d n i m y zw ięz ki (6), (7) i (8).

Będzie wtedy:

x = r . cos * u . cos v + — 8 * b # sin*

Y X b 2 V r ^

. 9in v

y - r . s i n - — — • - a sin — " - . cos v - -8 b— . c o s — U| . sin v ...

w - Y r ^ b 2 Y r W

(9) b . u a . r

sin v,

gdzie u e <^of, > , v e < p , 2 J [ > . Część takiej w ę ż o w n i c y pokazana jest na rys. 2. Równ an ia te mo ż e my stosować do ob li cz a n ia po ten c j ał u w e k t o r o ­ w e go oraz indu kc ji ma gn etycznej. Sp os ób ich sto so wa nia po k a za n y jest w praca ch (l) i C2).

4. Pierw sz a i druga forma kw ad rat ow a dla w ęż o w ni c y

W y p r o w a d z i m y teraz ws p ó ł c z y n n i k i pierwszej i drugiej formy kwadratowej dla p ow i e rz c hn i określonej równ an iem (3). 3ak wi a do m o z geo me tri i ró żni cz­

kowej pierw sza forma ma postać:

(ds)2 = E . (du)2 + 2 . F . (du . dv) + G . (dv)2 .

gdzie w s pó ł c z y n n i k i E, F i G obli cza my jako il o cz yny sk a lar ne w e kt o r ó w ry i rv we dłu g wzorów:

E = ? u ' V F = ? u * f v* G = ? v * ? v *•* (10)

U w z g l ę dn i a ję c wyr aż en i a na w ek t o r y r^ i r ob li czo ne w rozd zi al e pi erw ­ szym m am y po w y ko n an i u rachunków:

108 W. Morytko, M. Brunne

E = (l - a . 86 . cos v ) 2 + a2 . X 2 ,

F = a2 . X 2 ... (11)

G » a 2 ,

gdzie 3t i X są to kr zywizna i toreja linii centralnej, której równania są okr eślone przez (l) wz g lę dn ie przez (6). J eż eli chodzi o drugę foraę kwa­

dratów?, to jak w i ado mo aa ona postać: h ■ L . (du) + 2 . M ^ , ( d u . dv)+

+ N . (dv)2 , gdzie w s p ó ł cz y n ni k i L, M i N aę ok reślone jak następuje:

L " " • ? u u ’ M ‘ " * ? uv> N ’ " * ? vv' ••• (12)

przy czya we kt or S Jest un or aow an ym we k t o r e m określo ny m przez (4) czyli

- ? u x ?v „ , „ - 32 ? - 0 2 r - a2 r

" ' T T 7 7 7 nat0,,ia8t ru u ' ^ ' ru v = s i n 5 v ' rw - ¿7 - I u VI

W y ko n u j ą c odp ow i ed n ie rachunki dla wektora ń oraz obliczając p och od ­ na rzędu drug ieg o i poch odn e miesz an e w zg l ęd e m zm ie nnych u i v otrzy mu­

jem y po uporządkowaniu:

n = “ (^2 * cos v + ^3 * 8in ***

“ • 2 • p •

ruu " v -3 f c os v) . V 1 + & C - e .3 1 cos v - a.Xsin v-a.X c o sv) .V 2 +

• 2 —

+ (a.Tcos v - a.X sin v) . Vj ... (14)

r = -a . V_ . -cos v - a . V, . sin v, (15)

w 2 3

gdzie przez Ś i T oz nac zy li ś m y pochodną krz ywizny i torsji linii cen­

tralnej w zg l ęd e m par ametru łuku. Ma j ąc wy ra żenia na w ek to ry ń, fu u , ?u v oraz ? vv dane przez (13) - (16) po ds ta w i am y je do wzoru (12). Po wy k on a ­ niu rachunków mamy n ast ęp uj ące w yr a ż en i a na w s pó łc zy nni ki drugiej formy k w a d r a t o w e j :

L = (aaecos v - l ) . a 6 . c o 8 v + a . X 2 , M = a . X , N = a . . . (17)

U w zg lę dni ają c równości (17) mo żem y napisać drugą formę kwadratową dla w ę ­ żownic y o równaniu wek tor ow y m (3) w postaci:

h = j^(a . 9C cos v - 1) . 9t cos v + a X 2J ( d u ) 2 + 2. a.X. (du. d v ) + a. (d v)2 ....

(18) N a le ż y zauważyć, że wsp ół c zy n n ik i drugiej formy kwadratowej nie zależą od pochodn yc h krzy wi zny i torsji.

5. Z a s t o so wa n i e pierwszej 1 druglel formy kwadratowe!

Pie rw sz a i druga forma kwadrat ow a p o w i e rz c hn i pozwala na określenie pola el e ktr yc zn ego i ma g n et y cz n e go w ośr odkach o g ra ni cz ony ch dowolnymi po­

wie rz ch n ia m i w nas tę pu j ą cy c h przypadkach:

a) okr eś l en i e rozpływu prędu przy danym ro zmi es zc zen iu źródeł napięcia;

b) określen ie ro zkładu pola m ag n et y c zn e go pr z y danym ro zmieszczeniu linii prędu.

Na p rz yk ła d w pr zyp ad ku b na leży rozwięzać układ równań M ak we l l a wpro­

w a dz a j ąc o dp owi ed ni e w a r u n k i poc zą t ko w e i brzegowe. Po n ie w a ż zazwyczaj z na my prą d p ły ną cy pr ze z wz budnik, dlate go wa r u nki em począ tk owy m będzie całka z gęsto śc i prądu po pr ze kr o j u normalnym, która jest równa prądowi pły­

nącemu przez wzbudnik. Przekrój n o rm al ny wy z n ac z y m y znając współrzędne kie­

runków głównych zg od ne z kierunkami linii prądu w każdym punkcie. Wa r u n k i brz eg owe wp r o wa d za się przez po rów n a ni e skł ad ow ych st yc znych do kierunków gł ównych natęż eń pola e le k try cz ne go i ma g ne t y cz n eg o oraz składowych nor­

malny ch do ki e ru nk ów głównych in dukcji elektrycznej i m a g n e ty cz n e j. W ar u n ­ ki te w pr zeważającej liczbie prz yp ad k ó w sprowa dz ają się do równań cał­

kowych lub sumacyjnych. W oparciu o zn ajomość pierwszej i drugiej formy kwadratowej mo że my napisać równanie ró żn icz ko we linii krzywiznowych.

Ma ono postać :

(dv)2 , -du.dv, (du)2

L M , N

E F , G

W e k t o r y styc zn e do tych linii wyz na c za j ą kieru nk i główne na pow ier zc h­

ni. W przy pa dk u po wi er zch ni o symetrii s f e r y c z n e j , cy lin d r yc z ne j . el i pt y c z­

nej i h i p e r b o l i c z n e j , wa r u nk i brzegowe można określić sto su nk owo prosto.

Na to miast dla pow ie r zc h ni o symet ri i bardziej sk omplikowanej zachodzi ko­

nieczność określa ni a odpow ied ni ch ws pó łrzędnych. Na kierunkach stycznych i normaln yc h do linii pa r am et ry czn yc h z a da j e się w te d y w a ru nk i brzegowe.

Pi e rws za i druga forma kwadratowa po wie r z ch n i pozwala również na w yz n a c z a ­ nie tych pu n któ w pow ie rzchni, które są typu kulistego, eliptycznego, pa­

rabo li czn eg o i hi perbolicznego. W tych punk tac h um ie szcza się odpowiedni układ odniesienia. Druga forma kwadratowa pozwala wy znaczyć również linie asy mp to t y cz n e po wi er z ch n i oraz stwierdzić, kiedy siatka Ga ussa złożona jest u linii asy mptotycznych.

LITERAT UR A

fi] M o r y t k o W. , B r un n e M. : Równania pa ram e t ry c zn e w z b u d n i k ó w ur ządzeń me­

ta lu rgicznych, Z es z y t y N au k o wa Pol. śl. Seria Hutnictwo, zeszyt nr 6, 1975, s. 67-75

110 W. Morytko, M. Brunne

[2] M or y t k o W., B ru n ne M. : Równania pa ra me t r yc z ne wz b ud n i k ó w w postaci wężo wn ic. Ze s z y t y Na uk ow e Pol. Śl. Seria Hutnictwo, zeszyt nr 8, 1976, s. 75-83.

[3] Bie rn ac ki M. : G e om et ri a różniczkowa, część I i II, PWN, W a r s z a w a 1954.

IIAPAMETPH<ffiCKHE yPABHEHHfl HHflyKTOPOB B BHflE 3M EEBH K 0B, nEPHEmWKyjIHPHHM c e m e h h e h KOTOPffli HBJIflETCH K P y r

P e 3 10 m e

B c T a i Ł e B B e ^ e n u n a p a łie ip im e c K H e ypaBHBHHH 3 u e e B H K 0 B , nepneHAHKyjuipHHM cen eH u eM K O Topnx HBJUieTCH K p y r . i a j i i m e noflaHH y c n o B H fl ju ia T o r o , h to Ó h 3 M e - esH K He hm sji ocoÓeHHH x t o h s k . H u sh y p a B H e h h h 3 T h x 3u eeB H K O B , h u flaHH n e p B a a H BTOpaH iJlOpMH KBaflpaTHOft TeOpHH IIOBepXHOCTH.

B KOHiie oÓ cysA eH O npHMeHehhe s t h x $opM a a h o n p eflejieH H Ji TOKOpacnpeAeJieHHH npH A3-HH0M pacnojioateH H H h c t o h h h k o b HanpiaceHHH, a T a ic x e a jih onpeA ejieH H H p a c - npeflejieH H H M arHH THoro n o x a n pn AaHHOM pacnojiosceH H H jihh hh TO K a.

P A RA M E TR I C EQ UA TI O NS OF IND UC TOR S IN THE FORM OF COIL W I T H P ER P E ND I CU L A R CI R CUL AR SECTION

S u m m a r y

In the article, pa ram et ri c equ ations of coils, the pe r pen dic ul ar sec­

tion of which is a circle, have been derived and discussed. Then, the con­

ditions that such a coil wo u ld not possess si ngular points have been gi­

ven. Having got the eq uations of the coils, the first and second square form area theory have been given for them. In the end, the a pp lic at io n of these forms to the d et e rmi na ti on of current p ro pag at io n at a given arran­

gement of the v o lt a g e so ur ce as we l l as, to the det er mination of magnetic feld distri bu ti on at a given arr angement of the current line have been discussed.