Cz˛e´s´cIMIEJSCA´SREDNIE,PRAWDZIWEIWIDOME AstronomiasferycznaWykład12:MIEJSCA´SREDNIE,PRAWDZIWEIWIDOME Wst˛ep Wst˛epcd Terminologia Miejsce´srednie Miejsceprawdziwe

(1)

Astronomia sferyczna

Wykład 12: MIEJSCA ´SREDNIE, PRAWDZIWE I WIDOME

Tadeusz Jan Jopek

Obserwatorium Astronomiczne, UAM

Semestr II

(Uaktualniono 2015.06.01)

Terminologia Miejsca ´srednie Miejsca prawdziwe Miejsca widome

Cz ˛e´s´c I

MIEJSCA ´ SREDNIE, PRAWDZIWE I WIDOME

1 Terminologia Terminologia

2 Miejsca ´srednie Miejsca ´srednie gwiazd Zmiany roczne i wiekowe

3 Miejsca prawdziwe Miejsca prawdziwe gwiazd

4 Miejsca widome Miejsca widome gwiazd

Wst ˛ep

Współrz ˛edne gwiazd ulegaj ˛a zmianom z ró˙znych powodów. Najwa˙zniejszymi przyczynami s ˛a: ruch własny, precesja i nutacja, aberracja oraz paralaksa.

Zjawiska te maj ˛a ró˙zn ˛a natur ˛e, co nie przeszkadza w napisaniu jednego równania ł ˛acz ˛acego ich sumaryczny wpływ. Takiego równania b ˛edziemy poszukiwali w ramach niniejszego wykładuu.

Niech dla pewnej gwiazdy dana b ˛edzie para współrz ˛ednych (α, δ). Aby informacja ta była przydatna, musimy albo domy´slnie, albo explicite posiada´c dodatkowe informacje pozwalaj ˛ace odpowiedzie´c na nast ˛epuj ˛ace pytania:

1 Jakiej dacie podane (α, δ) odpowiadaj ˛a?

2 Gdzie znajduje si ˛e pocz ˛atek układu odniesienia, wzgl ˛edem którego (α, δ)s ˛a zdefiniowane?

3 W jaki sposób wybrano równik i równonoc układu współrz ˛ednych?

Data, o któr ˛a pytamy w punkcie (1) jest momentem obserwacji, momentem efemerydy, epok ˛a układu odniesienia. Je˙zeli jest nieznana podane współrz ˛edne maj ˛a niewielk ˛a warto´s´c.

Wst ˛ep cd

Pocz ˛atek układu współrz ˛ednych czyli ´srodek sfery niebieskiej, ustala konkretn ˛a klas ˛e układu odniesienia. Mamy tu kilka mo˙zliwo´sci ale najwa˙zniejsze s ˛a układy okre´slone wzgl ˛edem barycentrum Układu Słonecznego oraz układ geocentryczny.

Transformacja pomi ˛edzy tymi układami polega na wprowadzeniu poprawek z tytułu rocznej aberracji i rocznej paralaksy. Pozostałe drobne efekty jak relatywistyczne ugi ˛ecie ´swiatła czy drugiego rz ˛edu wyrazy aberracyjne, zwykle nie bed ˛a nas interesowały.

W praktyce najcz ˛e´sciej stosowanymi układami s ˛a układy oparte o ´srednie równik i równonoc oraz o prawdziwe równik i równonoc odpowiadaj ˛ace tej samej epoce.

Układy ´srednie to układy ró˙zni ˛ace si ˛e jedynie precesj ˛a, układy ´srednie i prawdziwe dodatkowo ró˙zni ˛a si ˛e o nutacj ˛e. Ale w ka˙zdym z nich epoka równika i równonocy mo˙ze (ale nie musi) by´c identyczna z momentem czasu (z dat ˛a), na który podane s ˛a współrz ˛edne (α, δ).

Terminologia

Mo˙zliwo´sci wyboru najrozmaitszych układów odniesienia jest zatem cały legion, dlatego przydatna b ˛edzie standaryzacja, co poci ˛aga konieczno´s´c ustalenia terminologii, sformułowania definicji etc.

Poni˙zej podajemy niektóre z nich.

Miejsce ´srednie, współrz ˛edne ´srednie.

Standardowe miejsce ´srednie.

Miejsce prawdziwe (locus verus), współrz ˛edne prawdziwe.

Miejsce widome (locus apparens), współrz ˛edne widome.

Miejsce ´srednie

Miejsce ´srednie, współrz ˛edne ´srednie.

Miejsce ´srednie (α₁, δ1)gwiazdy, okre´slone jest za pomoc ˛a współrz ˛ednych na sferze barycentrycznej (barycentrum Układu Planetarnego) wyznaczone wzgl ˛edem ´sredniego równika i równonocy daty.

Sformułowanie to oznacza, ˙ze epoka równika i punktu równonocy oraz data obserwacji s ˛a identyczne.

Od ´srednich współrz ˛ednych gwiazdy podanych na inne epoki, współrz ˛edne (α1, δ1)ró˙zni ˛a si ˛e jedynie zmianami powodowanymi precesj ˛a i ruchem własnym.

Poniewa˙z s ˛a to współrz ˛edne barycentryczne, nie ma tu sensu pytanie o zmiany z powodu zjawiska aberracji, paralaksy rocznej.

Standardowe miejsce ´srednie.

Standardowe miejsce ´srednie (α₀, δ0)gwiazdy s ˛a to współrz ˛edne ´srednie na moment czasu równy epoce standardowej.

Epok ˛a standardow ˛a jest najcz ˛e´sciej epoka B1950.0 lub J2000.0. Poło˙zenia gwiazd podane w katalogach s ˛a to standardowe miejsca ´srednie.

Miejsce prawdziwe

Miejsce prawdziwe (locus verus), współrz ˛edne prawdziwe.

Miejsce prawdziwe (α2, δ2)gwiazdy okre´slaj ˛a jej współrz ˛edne na sferze barycentrycznej odniesione do prawdziwego równika i równonocy daty.

W stosunku do miejsc ´srednich na dan ˛a epok˛e, w miejscach prawdziwych dodatkowo uwzgl ˛edniono nutacj ˛e.

Jako takie, miejsca te nie maj ˛a szerszego zastosowania, najcz ˛e´sciej stanowi ˛a krok po´sredni w transformacji od miejsca ´sredniego do miejsca widomego.

(2)

Miejsce widome

Miejsce widome (locus apparens), współrz ˛edne widome.

Współrz ˛edne widome (α, δ) gwiazdy s ˛a współrz ˛ednymi geocentrycznymi, odniesionymi do prawdziwego równika i równonocy daty.

Przej´scie od miejsca prawdziwego miejsca widomego wymaga wyznaczenia poprawki na aberracj ˛e roczn ˛a i paralaks ˛e roczn ˛a.

Od poło˙zenia obserwowanego (locus observatus), lucus apparens gwiazdy ró˙zni si ˛e jedynie lokalnymi wpływami refrakcji i aberracji dobowej.

Zmiany roczne i widome

Załó˙zmy, ˙ze interesuje nas widome miejsce gwiazdy na pewien moment czasu oddalony o (t + τ ) lat od epoki standardowej, przy czym (t − 0.5) jest liczb ˛a całkowit ˛a dobran ˛a tak, ˙ze pozostały ułamek τ nale˙zy do przedziału

−0.5 < τ < 0.5.

Przy takich zało˙zeniach obliczymy najpierw współrz ˛edne ´srednie na moment t lat po epoce standardowej. Współrz ˛edne te (α1, δ1)mo˙zna rozwin ˛a´c w szereg Taylora w otoczeniu warto´sci (α0, δ0)z epoki standardowej.

Ograniczaj ˛ac si ˛e do trzech pierwszych wyrazów, mamy:

α1= α0+ dα dt

0

· t +1 2

d²α dt²

0

· t²

δ1= δ0+ dδ dt

0

· t +1 2

d²δ dt²

0

· t² (1)

W niektórych katalogach gwiazd, obok (α0, δ0)podane s ˛a tak˙ze warto´sci tych pochodnych. Pierwsze pochodne nazywane s ˛a zmianami rocznymi w rektascensji i deklinacji,variatio annua. Pochodne drugie nosz ˛a miano variatio saecularis.

Zmiany roczne

Poniewa˙z brane s ˛a pod uwag ˛e jedynie precesja i ruch własny, zmiany roczne mo˙zemy warazi´c za pmoca przybli˙zonych formuł precesyjnych:

dα dt

0

=m + 1

15n sin α0tan δ0+ µα

dδ dt

0

=n cos α + µδ (2)

Oczywi´scie, składowe ruchu własnego (µα, µδ)oraz stałe precesyjne (m, n) oszacowane s ˛a na epok˛e standardow ˛a.

W katalogach zmiany roczne podano w sekundach czasu na rok (sek /rok ) i w sekundach łuku na rok (⁰⁰/rok ), odpowiednio.

Zmiany wiekowe (variatio saecularis)

Drugie pochodne w (1) s ˛a bardzo małe. W katalogach podane s ˛a w formie zmian wiekowych (sα,sδ)w rektascensji i deklinacji. Definiowane s ˛a jako szybko´sci zmian na stulecie odpowiednich zmian rocznych:

sα=100 · d²α dt²

0

sδ=100 · d²δ dt²

0

. (3)

Wyznaczenie zmian wiekowych jest do´s´c zło˙zone. Ró˙zniczkuj ˛ac (2) mamy w odpowiednich jednostkach:

sα=100 dm dt + 1

15 dn

dtsin α0tan δ0+d µα

dt +n cos α0tan δ0

dα dt

0

sin 1⁰⁰+ 1

15n sin α₀sec²δ₀ dδ dt

0

sin 1⁰⁰

sδ=100 dn

dtcos α0+d µδ

dt − 15n sin α0

dα dt

0

sin 1⁰⁰

(4)

Miejsca ´srednie gwiazd

W równaniach (4) zło˙zono´s´c rachunków jest cz ˛e´sciowo zamaskowana, np.

szybko´s´c zmian składowych ruchu własnego wymaga wielu oddzielnych wyrazów.

Ostateczne formuły pozwalaj ˛ace wykorzysta´c dane katalogowe s ˛a ju˙z bardzo proste. Zgodnie z równaniem (1) współrz ˛edne ´srednie na epok˛e t lat od epoki standardowej katalogu obliczymy za pomoc ˛a:

α1= α0+t · dα dt

0

+sα· t 200

δ1= δ0+t · dδ dt

0

+sδ· t 200

. (5)

Równanie (5) mo˙zna udokładni´c dodaj ˛ac wyrazy trzeciego rz ˛edu co dla niektórych gwiazd jest konieczne.

Miejsca prawdziwe gwiazd

Formuły na współrz ˛edne (α1, δ1)wyprowadzone powy˙zej, daj ˛a miejsca

´srednie na ´srodek roku, najbli˙zszy wymaganemu momentowi czasu.

Krok nast ˛epny ma na celu obliczenie miejsca prawdziwego (α2, δ2)na dat ˛e (t + τ ). W tym celu wymagana jest dalsza poprawka na precesj ˛e i ruch własny w interwale τ oraz wł ˛aczenie nutacji. Mamy wi ˛ec:

α₂= α₁+ ∆α₁

δ₂= δ₁+ ∆δ₁. (6)

Wykorzystuj ˛ac wyra˙zenia na zmiany nutacyjne współrz ˛ednych równikowych, bior ˛ac jeszcze raz wzory (2), otrzymamy:

∆α₁= 1 15mτ +1

15nτ sin α₁tan δ₁+ µατ +∆ψ 15(cos ε + sin ε sin α1tan δ1) −∆ε

15cos α1tan δ1

∆δ1=nτ cos α1+ µδτ + ∆ψsin ε cos α1+ ∆εsin α1. (7) gdzie ∆ψ, ∆ε s ˛a nutacj ˛a w długo´sci i w nachyleniu obliczonymi na wymagany moment czasu (t + τ ).

Miejsca prawdziwe gwiazd cd

Przegrupowuj ˛ac wyrazy w równaniu (7) mo˙zna uzyskać postać korzystniejsz ˛a z punktu widzenia zło˙zono´sci oblicze ń.

W szczególno´sci warto rozdzieli´c składniki zale˙zne od wymaganej daty, czyli τ, ∆ψ, ∆ε od tych, które zale˙z ˛a od współrz ˛ednych gwiazdy.

Wcze´sniej wyeliminujemy ε nachylenie ekliptyki do równika. Z równa ´n z rozdziału dotycz ˛acego zjawiska precesji mo˙zna otrzyma´c:

cos ε =m + λ⁰

ψ , sin ε =n

ψ, (8)

gdzie λ⁰jest roczn ˛a zmian ˛a w rektascensji z tytułu precesji planetarnej.

Kład ˛ac (8) do (7), po drobnej redukcji b ˛edziemy mieli:

∆α1 = n τ +^∆ψ_ψ

1

15(^m_n+sin α1tan δ1) −^∆ε₁₅cos α1tan δ1+^λ_15ψ⁰^∆ψ+ τ µα

∆δ1 = n τ +^∆ψ_ψ

cos α1+ ∆εsin α1+ τ µδ.

(9)

Liczby dzienne i stałe gwiazdowe Bessela

Dokonuj ˛ac podstawie ´n:

A = n(τ +^∆ψ_ψ) B = −∆ε E =^λ⁰^∆ψ_ψ

(10)

a =₁₅¹(^m_n+sin α1tan δ1) b =₁₅¹cos α₁tan δ₁ a⁰=cos α₁ b⁰= −sin α1

(11)

i wprowadzaj ˛ac je do równa ´n (9), formuły na współrz ˛edne prawdziwe gwiazdy na moment (t + τ ) przyjm ˛a posta´c

α2= α1+ τ µα+Aa + Bb + E

δ2= δ1+ τ µδ+Aa⁰+Bb⁰ (12) A, B, E s ˛aliczbami dziennymiBessel’a. S ˛a niezale˙zne od współrz ˛ednych gwiazd ale szybko zmieniaj ˛a si ˛e w czasie. Liczby te ł ˛acznie z warto´sciami τ stabelaryzowano w Astronomical Almanac

a, b, a⁰,b⁰tostałe gwiazdoweBessel’a. Nie s ˛a to stałe absolutne, gdy˙z współrz ˛edne gwiazd oraz wielko´sci m i n powoli zmieniaj ˛a si ˛e. Pomijaj ˛ac te efekty, stałe gwiazdowe obliczane s ˛a bior ˛ac standardowe miejsca ´srednie co pozwala na wł ˛aczenie ich do katalogu gwiazd. Podej´scie to nie gwarantuje wysokiej precyzji, dlatego stałe gwiazdowe nale˙zy od´swie˙za´c na pocz ˛atek roku danego momentu czasu.

(3)

Niezale˙zne liczby dzienne

Równanie (12) ma posta´c alternatywn ˛a nie zawieraj ˛ac ˛a stałych gwiazdowych. Zamiast nich, w sposób jawny wyst ˛epuj ˛a rektascensja i deklinacja. Upraszczaj ˛ac za pomoc ˛a (10) równanie (9) mamy:

∆α1=₁₅¹^mA_n +E +₁₅¹(A sin α1+B cos α1)tan δ1+ τ µα

∆δ1=A cos α₁− B sin α1+ τ µδ. (13) Oznacaj ˛ac:

f =¹

15 mA

n +E

g sin G = B g cos G = A,

(14)

prawdziwe współrz ˛edne gwiazdy dane s ˛a jako:

α2= α1+ τ µα+f +₁₅¹g sin(G + α1)tan δ1

δ2= δ1+ τ µδ+g cos(G + α1) (15) Wielko´sci f , g, G nazwanoniezale˙znymi liczbami dziennymi. f wyra˙zone jest w sekundach czasu, g w sekundach łuku. Liczby niezale˙zne publikowano w Astronomical Almanac, ale od roku 1981 przestano je tam zamieszcza´c.

Miejsca widome gwiazd

Współrz ˛edne widome gwiazdy (α, δ) ró˙zni ˛a si ˛e od miejsc prawdziwych o roczn ˛a aberracj ˛e i roczn ˛a paralaks ˛e.

Oznaczmy ró˙znic ˛e pomi ˛edzy nimi przez (∆α, ∆δ):

∆α = α − α2

∆δ = δ − δ2

(16) Ró˙znice współrz ˛ednych zale˙z ˛a od składowych wektorów poło˙zenia (X , Y , Z ) i pr ˛edko´sci ( ˙X , ˙Y , ˙Z ) Ziemi (patrz wykład o współrz ˛ednych heliocentrycznych), mianowicie:

∆α =₁₅¹(^Y_c^˙− πY ) cos α sec δ −₁₅¹(^X_c^˙− πX ) sin α sec δ

∆δ = −(^Y_c^˙− πY ) sin α sin δ − (^X_c^˙− πX ) cos α sin δ + (^Z_c^˙− πZ ) cos δ (17) gdzie π jest paralaks ˛a gwiazdy, c pr ˛edko´sci ˛a ´swiatła w AU/doba.

Miejsca widome gwiazd cd

Równanie (17) mo˙zna przekształci´c do postaci zawieraj ˛acej liczby dzienne i stałe gwiazdowe. Zanim to uczynimy, zwró´cmy uwag ˛e na kilka istotnych punktów.

Po pierwsze, w prawych stronach równa ´n (17) nie mo˙zna poło˙zy´c współrz ˛ednych widomych gwiazd, bowiem nie zostały one jeszcze policzone.

W tej sytuacji, najbardziej naturalnym byłoby zamiast widomych wstawienie współrz ˛ednych prawdziwych (α₂, δ₂).

Jest to jednak utrudnione, gdy˙z współrz ˛edne te zostan ˛a zaabsorbowane przez stałe gwiazdowe, a te z kolei powinny by´c niezale˙zne od daty. Na szcz ˛e´scie, z dostateczn ˛a precyzj ˛a mo˙zemy tu zastosowa´c współrz ˛edne

´srednie (α1, δ1)odpowiadaj ˛ace ´srodkowi roku.

Podobne uwagi dotycz ˛a składowych wektorów poło˙zenia i pr ˛edko´sci Ziemi.

W sytuacji idealnej powinny one by´c odniesione do prawdziwego równika i równonocy daty, ale okazuje si ˛e, ˙ze ´sredni równik i równonoc na ´srodek roku s ˛a zupełnie wystarczaj ˛ace. Składowe te s ˛a wł ˛aczone w nowe liczby dzienne podane na ka˙zdy dzie ´n w Astronomical Almanac.

Miejsca widome gwiazd uproszczenia

Poprawka paralaktyczna tkwi ˛aca w równaniu (17) jest wielko´sci ˛a charakterystyczn ˛a dla ka˙zdej gwiazdy i dlatego nie mo˙ze by´c wł ˛aczona do liczb dziennych.

Składowe (X , Y , Z ) wektora poło˙zenia Ziemi s ˛a stabelaryzowane w Astronomical Almanac jako współrz ˛edne ´srednie standardowe. Poniewa˙z poprawka paralaktyczna jest znacznie mniejsza od aberracyjnej, z wystarczaj ˛ac ˛a dokładno´sci ˛a mo˙zemy wykorzystywa´c te wielko´sci.

Równanie (17) daje si ˛e upro´sci´c przez wyeliminowanie w nim składowej z-towej wektorów poło˙zenia i pr ˛edko´sci Ziemi. Zakładaj ˛ac, ˙ze Ziemia le˙zy dokładnie w płaszczy´znie ekliptyki na długo´sci λ, wówczas jej równikowy wektor poło˙zenia wynosi

R = R(cos λ, sin λ cos ε, sin λ sin ε) i st ˛ad

Z = Y tan ε

Z = ˙˙ Y tan ε (18)

Nowe liczby i stałe Bessela

Dzi ˛eki takiemu zabiegowi liczba równa ´n na liczby dzienne mo˙ze zosta´c zredukowana z trzech do dwóch. Kład ˛ac do równania (17) zamiast (α, δ) warto´sci współrz ˛ednych ´srednich (α1, δ1)otrzymamy

∆α = 1

15cos α1sec δ1

˙Y c− πY

!

− sin α1sec δ1

˙X c− πX

!

∆δ = (tan ε cos δ1− sin α1sin δ1) ˙Y

c− πY

!

− cos α1sin δ1

˙X c− πX

! (19)

Oznaczmy:

C = ˙Y /c

D = − ˙X /c (20)

c =₁₅¹cos α1sec δ1

d =¹

15sin α₁sec δ₁ c⁰=tan ε cos δ₁− sin α1sin δ₁ d⁰=cos α₁sin δ₁

(21)

Wielko´sci C, D s ˛anowymi liczbami dziennymiBessel’a, zostały one stabelaryzowane z krokiem jednodniowym w Astronomical Almanac.

Wielko´sci c, d , c⁰,d⁰s ˛a tostałe gwiazdoweBessel’a. W takiej notacji, równanie (19) mo˙zna napisa´c w formie:

∆α = (C − πY )c + (D + πX )d

∆δ = (C − πY )c⁰+ (D + πX )d⁰. (22) Kiedy paralaksa gwiazdy jest dostatecznie mała, mo˙zna wł ˛aczy´c j ˛a do stałych gwiazdy czyni ˛ac zało˙zenie o kołowej orbicie Ziemi. Wówczas wektory poło˙zenia i pr ˛edko´sci Ziemi dane s ˛a jako

R = (− cos λ, − sin λ, 0) R = κc(sin λ, − cos λ, 0)˙

gdzie κ jest stał ˛a aberracji, λ jest długo´sci ˛a ekliptyczn ˛a Sło ´nca. W układzie równikowym składowe te wynosz ˛a

R = (− cos λ, − sin λ cos ε, − sin λ sin ε)

R = κc(sin λ, − cos λ cos ε, − cos λ sin ε)˙ (23)

Zauwa˙zmy, ˙ze tutaj aberracja roczna jest traktowana dokładnie. Operujemy przybli˙zon ˛a pr ˛edko´sci ˛a Ziemi ale przybli˙zenie to dotyczy wył ˛acznie poprawki paralaktycznej, bowiem z równa ´n (23) mamy

X =Y sec ε˙ κc =C sec ε

κ Y =− ˙X cos ε

κc =D cos ε

κ (24)

gdzie C, D dane s ˛a równaniami (20). Kład ˛ac X , Y do równa ´n (22) mamy

∆α =C

c +πd sec ε

κ

+D

d −πc cos ε κ

∆δ =C

c⁰+πd⁰sec ε κ

+D

d⁰−πc⁰cos ε κ

(25)

Miejsca widome, przybli˙zenia

Skompresowan ˛a posta´c tych równa ´n uzyskamy w podobny sposób do stosowanego wcze´sniej.

∆α =Cc1+Dd1

∆δ =Cc₁⁰+Dd₁⁰ (26)

gdzie

c1=c + 0.0532d π d1=d − 0.0448cπ c₁⁰=c⁰+0.0532d⁰π d₁⁰=d⁰− 0.0448c⁰π

(27)

s ˛a nieco zmodyfikowanymi stałymi gwiazdowymi, w które wł ˛aczono przyczynek od paralaksy rocznej.

Warto´sci tych stałych obliczone s ˛a raz na zawsze i wykorzystywane w równaniu (26).

Równanie to jest jednak jedynie uproszczeniem w stosunku do bardziej dokładnego równania (22). Wynikaj ˛ace st ˛ad bł ˛edy mo˙zna uwa˙za´c za zaniedbywalne je˙zeli π < 0.2⁰⁰.

(4)

Od miejsca ´sredniego do widomego, formuła ł ˛aczna

Poprawki dane równaniami (22) i (12) mo˙zna poł ˛aczy´c w jedn ˛a formuł ˛e, gdy˙z nie mamy ˙zadnej potrzeby obliczania explicite miejsca prawdziwego. I tak, wychodz ˛ac od miejsca ´sredniego (α₁, δ₁)na moment odpowiadaj ˛acy

´srodkowi roku mamy, ˙ze miejsce widome (α, δ) dane jest formuł ˛a:

α = α1+ τ µα+Aa + Bb + (C − πY )c + (D + πX )d + E δ = δ1+ τ µδ+Aa⁰+Bb⁰+ (C − πY )c⁰+ (D + πX )d⁰ (28) Równania (28) s ˛a pierwszego rz ˛edu, wystarczaj ˛aco dokładnymi w wi ˛ekszo´sci zastosowa ´n.

Je´sli jest taka potrzeba, liczby dzienne mo˙zna rozszerzy´c przez doł ˛aczenie efektów rz ˛edu drugiego, które mog ˛a by´c znacz ˛ace zwłaszcza dla du˙zych deklinacji.

W praktyce zalecanej w Astronomical Almanac, w równaniach (28) dodaje si ˛e człon J tan²δ₁w rektascensji i J⁰tan²δ₁w deklinacji. Wielko´sci J oraz J⁰ zwane s ˛aliczbami dziennymi rz ˛edu drugiego. S ˛a one zale˙zne od współrz ˛ednych gwiazd i zostały stabelaryzowane w Astronomical Almanac w funkcji czasu i rektascensji.

Liczby dzienne rz ˛edu drugiego, uwagi

W Astronomical Almanac nie podano dla wszystkich gwiazd wyrazów rz ˛edu drugiego, jedynie te, które s ˛a najbardziej znacz ˛ace.

Liczby dzienne rz ˛edu drugiego stosuje si ˛e w celu zmniejszenia bł ˛edów systematycznych, które staj ˛a si ˛e znacz ˛ace zwłaszcza dla du˙zych deklinacji.

Przyczyn ˛a s ˛a tu osobliwo´sci w układzie współrz ˛ednych równikowych w okolicy biegunów niebieskich. Trudno´sci tych mo˙zna unikn ˛a´c stosuj ˛ac wektorowe podej´scie zawsze rekomendowane je´sli formuły (28) oka˙z ˛a si ˛e niewystarczaj ˛ace.

Na jednym z wykładów mówili´smy o tzw. członach E aberracji rocznej.

Poniewa˙z powszechn ˛a praktyk ˛a było pozostawianie tych członów w katalogowych poło˙zeniach gwiazd, dlatego a˙z do 1984 roku warto´sci składowych pr ˛edko´sci odpowiedzialne za ten efekt były usuwane ze składowych ˙X i ˙Y przed obliczeniem aberracyjnych liczb dziennych.

Obecnie zaniechano tego typu zabiegów, a zatem liczby C i D, obliczone s ˛a

´sci´sle w oparciu o barycentryczne składowe pr ˛edko´sci Ziemi, tak jak to ma miejsce w przypadku równa ´n (20).

Przemina miejsc, formalizm wektorowy Miejsce widome planety

Cz ˛e´s´c II

PRZEMIANA MIEJSC, FORMALIZM WEKTOROWY

5 Przemina miejsc, formalizm wektorowy Miejsca widome

6 Miejsce widome planety

Uj ˛ecie wektorowe - miejsce widome planety

Uj ˛ecie wektorowe

Omówimy inn ˛a technik˛e pozwalaj ˛ac ˛a na przej´scie od miejsc ´srednich do widomych, ró˙zn ˛a od techniki liczb dziennych. B ˛edzie to metoda dokładna, a wi ˛ec lepsza, ale wymagaj ˛aca bardziej ˙zmudnych oblicze ´n.

Wychodzimy od standardowego miejsca ´sredniego gwiazdy (α0, δ0)na epok ˛e T0, naszym celem jest miejsce widome (α, δ) na moment t lat pó´zniejszy.

We´zmiemy w rachub ˛e ruch własny, paralaks ˛e, aberracj ˛e i w rezultacie otrzymamy prostok ˛atne współrz ˛edne geocentryczne na ˙z ˛adan ˛a dat ˛e, ale nadal wzgl ˛edem pocz ˛atkowego układu współrz ˛ednych.

Zatem ostatni krok jaki jeszcze b ˛edzie trzeba wykona´c to transformacja do układu opartego o prawdziwy równik i równonoc daty, a zatem uwzgl ˛ednienie precesji i nutacji.

Niechs₀b ˛edzie wersorem okre´slaj ˛acym miejsce ´srednie gwiazdy w epoce T₀ s₀= (cos α₀cos δ₀,sin α₀cos δ₀,sin δ₀) (29) Zmodyfikujemy najpierw ten wersor uwzgl ˛edniaj ˛ac wpływy czysto geometryczne ruchu własnego i paralaksy.

Formalizm wektorowy cd1

r0 X0

r₁ X1(T +t)0

(T +t)0 E R

V* t

G (T )0

G oznacza barycentrum Układu Słonecznego, E poło˙zenie Ziemi w momencie T0+t obserwacji gwiazdy.

Punkty X₀i X₁oznaczaj ˛a geometryczne poło˙zenia gwiazdy na epok˛e standardow ˛a i dat ˛e obserwacji.

Te cztery punkty niekoniecznie le˙z ˛a w jednej płaszczy´znie, nie mamy intencji czego´s takiego sugerowa´c.

Niechr₀,r₁+R oraz R b ˛ed ˛a wektorami barycentrycznych poło˙ze ´n punktów X0,X1oraz E . Mo˙zemy zatem napisa´c

r0=r0s0

r1=r1s1

R = (XYZ )

(30)

Formalizm wektorowy cd2

r₀ X₀

r1 X₁(T +t)0

(T +t)0 E R

V* t

G (T )0

Załó˙zmy, ˙ze gwiazda ma pr ˛edko´s´cV wzgl ˛edem barycentrum. Z rysunku wynika, ˙ze

r1=r0+Vt − R (31) Przy czym korzystamy tu z uzasadnionego zało˙zenia, ˙ze w interwale t, wektorV nie zmienia si ˛e.

Składowe wektoraR (poło˙zenie geocentrum E ) podane s ˛a w rocznikach w [JA].

Katalogi dostarczaj ˛a nast ˛epuj ˛acych informacji podanychh wzgl ˛edem eppoki standardowej:

standardowe miejsce ´srednie (α0, δ0), składowe ruchu własnego (µα, µδ), paralaksa roczna π,

szybko´s´c radialna V_r(km/s).

Formalizm wektorowy paralaksa

Je´sli π wyra˙zono w radianach r0= π⁻¹to (31) mo˙zemy napisa´c w postaci:

r1πs1=s0+mt − πR (32)

gdziem jest wektorem ruchu przestrzennego gwiazdy, m = πV.

Wektorm jest okre´slony w radianach na rok, pr ˛edko´s´c V gwiazdy tradycyjnie podan ˛a w km/s trzeba wyrazi´c w AU/rok. Po zamianach mamy:

m = ~µ + π

4.74Vrs. (33)

gdzie wektor ruchu własnego ~µjest wyra˙zony w radianach na rok.

Je´sli (µα, µδ)oraz π podane s ˛a w jednostkach praktycznych, to składowe wektoram dane s ˛a przez

mx= (−15µαsin α0cos δ0− µδcos α0sin δ0+πVr

4.74cos α0cos δ0)sin 1⁰⁰ my= (−15µαcos α0cos δ0− µδsin α0sin δ0+πVr

4.74sin α0cos δ0)sin 1⁰⁰ m_z= (µδcos δ₀+πVr

4.74sin δ₀)sin 1⁰⁰(34)

(5)

Formalizm wektorowy aberracja

Podstawiaj ˛ac te składowe do równania (32), otrzymamy (po unormowaniu do jedno´sci) wersors1opisuj ˛acy quasi geometryczny kierunek do wybranej gwiazdy na moment obserwacji T0+t.

Nast ˛epnym krokiem jest wprowadzenie poprawki z tytułu aberracji. W jaki sposób zostanie to dokonane, zale˙zy od tego czy uznamy podej´scie klasyczne za adekwatne, czy te˙z nie. Je´sli tak, problem jest prosty. Gwiazda emituje kwanty o pr ˛edko´sciV₁wzgl ˛edem barycentrum, czyli

V₁= −cs₁ Wzgl ˛edem poruszaj ˛acej sie Ziemi pr ˛edko´s´c ta wynosi

V₂= −cs₁− ˙R

gdzie pr ˛edko´s´c ´swiatła c jak i pr ˛edko´s´c Ziemi ˙R wyra˙zone s ˛a w AU/doba.

Poprawiony na aberracj ˛e kierunek dany jest jako wersors2za pomoc ˛a:

V2

cs₂=s₁+0.0057756 ˙R (35)

Prawa strona tego równania nie jest wektorem jednostkowym, st ˛ad aby otrzyma´c wersors₂nale˙zy j ˛a unormowa´c do jedno´sci.

Aberacje - człony E

Je˙zeli katalog jakim dysponujemy podaje poło˙zenia gwiazd ju˙z poprawione na aberracyjne człony E , konieczna b ˛edzie pewna modyfikacja.

Trzeba wówczas pr ˛edko´s´cVE, składow ˛a eliptyczn ˛a, odpowiedzialn ˛a za istnienie członów E odj ˛a´c od ˙R przed podstawieniem tego wektora do równania (35).

Pr ˛edko´s´cV_E, wzgl ˛edem równika i równonocy 1950.0 ma składowe V_E= (−0.000281, −0.000055, −0.000024) (36) W przypadku katalogów bardziej współczesnych, których epok ˛a podstawow ˛a jest J2000.0, modyfikacja ta nie jest potrzebna.

Miejsce prawdziwe

W kolejnym kroku transformujemy składowe wersoras2do układu współrz ˛ednych zdefiniowanego w oparciu o prawdziwy równik i równonoc daty.

W tym celu, na interesuj ˛acy nas moment czasu musimy znać elementy macierzy obrotuR_M, słu˙zac ˛a do transformacji współrzednych z tytułu precesji i nutacji. Elementy macierzy mo˙zna zaczerpn ˛ać z Astronomical Almanac lub policzyć samemu w oparciu o formuły podane na wykładzie dotycz ˛acym precesji i nutacji.

Wersors gwiazdy odpowiadaj ˛acy miejscu widomemu otrzymamy za pomoc ˛a zale˙zno´sci:

s = RMs2

s = (cos α cos δ, sin α cos δ, sin δ) (37) Za pomoc ˛a składowych wersoras znajdujemy współrz ˛edne sferyczne α, δ gwiazdy.

Opisana wy˙zej technika wektorowa jest dokładna w ramach podej´scia klasycznego.

Wektorowa przemiana do miejscego widomego planety

r1 r0

ρs’

r₀

=r₂ (t− )τ

G E R

’ r1 P’

. P(t) −τ

(t)

W przypadku planety (komety ...) zast ˛epujemy ruch własny ruchem orbitalnym, utrzymuj ˛ac zało˙zenie o stało´sci pr ˛edko´sci obiektu.

Mamy zatem nast ˛epuj ˛acy problem: dana jest barycentryczna efemeryda planety na pewien moment czasu t, nale˙zy wyznaczy´c widome miejsce planety na ten sam moment.

Załó˙zmy, ˙ze efemeryd ˛e planety podano w postaci składowych (x0,y0,z0) okre´slonych wzgl ˛edem standardowego ´sredniego równika i równonocy.

Barycentryczny wektor poło˙zenia planety P na moment t ma posta´c:

r₀=r₀s₀= (x₀,y₀,z₀). (38) Wektorr₀okre´sla poło˙zenie punktu P. WektorR okre´sla poło˙zenie punktu E centrum Ziemi na ten sam moment t. Poło˙zenie planety P⁰odpowiada chwili kiedy nast ˛apiła emisja fotonu rejestrowanego w E w momencie t. Wektor kierunku przyj´scia fotonu wzgl ˛edem E oznaczymy przez ρs⁰.

Wektorowa przemiana do miejscego widomego planety cd1

r₁ r0

ρs’

r0

=r₂ (t− )τ

G E R

’ r1 P’

. P(t) −τ

(t)

Klasyczne rozwi ˛azanie naszego problemu jest bardzo proste. Jest ono równowa˙zne transformacji do układu geocentrycznego, po której wprowadzi´c nale˙zy poprawk˛e za aberracj ˛a planetarn ˛a, a nast ˛epnie dokona´c przej´scia do prawdziwego równika i równonocy.

Geocentryczny wektorr1planety P:

r1=r0− R. (39)

Jest to oczywi´scie dokładna formuła. Aby wprowadzić poprawk˛e na aberracj ˛e planetarn ˛a trzeba znać czas propagacji τ . ´Sci´sle, nale˙załoby go obliczyć jako ρ/c, ale w klasycznym podej´sciu wystarczaj ˛aco dokładne b ˛edzie przybli˙zenie:

τ =|r1|

c. (40)

r₁ r0

ρs’

r0

=r₂ (t− )τ

G E R

’ r1 P’

. P(t) −τ

(t)

Widome współrz ˛edne planety na moment t s ˛a równowa˙zne współrz ˛ednym geometrycznym na moment (t − τ ). Taka zmiana oddaje w cało´sci efekty pierwszego rz ˛edu pochodz ˛ace od ruchu planety i Ziemi. Widomy wektor geocentryczny planetyr₂mo˙zna obliczy´c jako

r₂=r₁+ (−τ ˙r₁). (41) Składowe wektora ˙r otrzymamy obliczaj ˛ac pochodne równania (39).

Wyra˙zaj ˛ac pr ˛edko´s´c w AU/doba, z uwzgl ˛ednieniem (40), równanie (41) mo˙zna napisa´c w postaci

r2=r1− 0.00057756r1

c( ˙r0− ˙R) (42)

r1 r0

ρs’

r₀

=r₂ (t− )τ

G E R

’ r1 P’

. P(t) −τ

(t)

Miejsce widome planety otrzymamy je˙zeli ´sredni geocentryczny wektorr₂wyrazimy wzgl ˛edem prawdziwego równika i równonocy daty.

Za pomoc ˛a macierzy obrotuRM(precesja i nutacja) miejsce widomes dane jest jako

rs = r = RMr2 (43)

Po unormowaniu prawej strony, otrzymamy wersors, a dalej łatwo obliczy´c współrz ˛edne sferyczne planety (α, δ) na zadany moment t.

Katalogi poło˙ze ´n gwiazd

Cz ˛e´s´c III

KATALOGI GWIAZODOWE POŁO ˙ ZENIOWE

(6)

7 Katalogi poło˙ze ´n gwiazd

Katalogi absolutne, fundamentalne gwiazd

Katalogi absolutne i fundamentalne

Koło południkowe umo˙zliwia pomiar współrz ˛ednych poło˙zenia gwiazdy bez korzystania z wcze´sniejszych pomiarów poło˙ze ´n innych gwiazd.

Termin pomiar absolutny stosowany jest do takich wła´snie pomiarów, w celu odró˙znienia od pomiarów wzgl ˛ednych. Katalogi, w których zestawiono rezultaty pomiarów absolutnych nosz ˛a mianokatalogów absolutnych.

Musimy jednak odró˙zni´c dwa rodzaje katalogów absolutnych. Katalogi obserwacyjne podaj ˛ace poło˙zenia gwiazd wyznaczone przez jedno obserwatorium, obejmuj ˛a stosunkowo krótki interwał czasu.

Natomiastkatalog absolutny fundamentalny(General Catalogue), skonstruowany jako kompilat z wielu katalogów obserwacyjnych z wielu obserwatoriów rozci ˛aga si ˛e na wyra´znie wi ˛ekszy okres czasu.

Katalogi fundamentalne zawieraj ˛a miejsca ´srednie wybranych gwiazd wraz ze zmianami współrz ˛ednych powstałych w wyniku precesji i ruchu własnego (zmiany roczne i wiekowe). Katalog taki definiuje układ odniesienia.

Równonoc katalogowa i dynamiczna

Współrz ˛ednych gwiazd podane s ˛a wzgl ˛edem równika i równonocy, tak jak gdyby równik i punkt Υ mo˙zna było zaobserwowa´c na niebie. A przecie˙z jedyn ˛a obserwowan ˛a rzeczywisto´sci ˛a s ˛a gwiazdy.

I tak naprawd ˛e to katalogowe poło˙zenie gwiazdy definiuje równik i równonoc.

Sredni równik i równonoc na epok˛e standardow ˛´ a zdefiniowane s ˛a implicite poprzez rektascensje i deklinacje gwiazd z katalogu fundamentalnego.

Katalogowe warto´sci zmian rocznych i wiekowych pozwalaj ˛a rozci ˛aga´c t ˛e definicj ˛e na inne epoki.

Ustalony tak ˛a drog ˛a układ odniesienia jest układem rotuj ˛acym (precesja).

Poruszaj ˛aca si ˛e równonoc takiego układu nazywana jestrównonoc ˛a katalogow ˛a.

Implicite, równonoc jest definiowana jako zerowy punkt rachuby rektascensji.

Punkt ten mo˙zna by w zasadzie wybra´c zupełnie dowolnie, ale tradycyjnie obierano go tak by le˙zał mo˙zliwie blisko punktu przeci ˛ecia chwilowej orbity Ziemi i niebieskiego równika.

Ten drugi punkt równonocy, nazywany jestrównonoc ˛a dynamiczn ˛a.

Fundamentalny układ odniesienia

Ró˙znica pomi ˛edzy nimi jest niewielka, ale mimo to trzeba odró˙zni´c idealizacj ˛e równonocy dynamicznej od jej praktycznej realizacji jako punktu zerowego fundamentalnego układu odniesienia. Wynikaj ˛aca st ˛ad ró˙znica w rektascensji nazywana jestpoprawk ˛a punktu równonocy.

Stała poprawka równonocy w ˙zadnym wypadku nie degraduje katalogowego układu odniesienia, poprawka zmieniaj ˛aca si ˛e, ´swiadczy natomiast o pewnych efektach dynamicznych potraktowanych nieprecyzyjnie.

Układ odniesienia nieruchomy, definiowany za pomoc ˛a katalogów fundamentalnych nazywa´c b ˛edziemy układem odniesienia gwiazdowym.

Pomijaj ˛ac niedokładno´sci o charakterze residualnym, układ gwiazdowy, definiowany jest w sposób całkowicie zgodny wewn ˛etrznie. W idealnym przypadku, układ odniesienia gwiazdowy powinien być inercjalny, ale zakres w jakim ten ideał jest osi ˛agany nale˙zy wyznaczyć drog ˛a porówna ń z układami odniesienia zdefiniowanymi w inny sposób, np. wykorzystuj ˛acych obiekty pozagalaktyczne.

Katalogi FK4, FK5

Zgodnie z dyrektyw ˛a MUA, od roku 1963 układem fundamentalnym był Fourth Fundamental Catalogue (FK4) opracowany przez Fricke’ego i Kopff’a, z Astronomisches Rechen Institut z Heidelbergu. Zawiera dane 1535 gwiazd.

Do utworzenia katalogu FK4 wykorzystano obserwacje z lat 1950-tych, standardow ˛a epok ˛a jest B1950.0.

Obserwacje pó´zniejsze wykorzystano do opracowania katalogu FK5. Epok ˛a standardow ˛a jest data J2000.0. Rewizja katalogu FK4 trwała do 1983 roku.

Stwierdzono, ˙ze punkty równonocy obydwóch katalogów nieco si ˛e ró˙zni ˛a. W efekcie rektascensje otrzymane za pomoc ˛a tych systemów wykazuj ˛a ró˙znice systematyczne:

αFK 5= αFK 4+0.^s0775 + 0.^s085T (44) gdzie T jest interwałem w stuleciach julia ´nskich od J2000.0.

Oznacza to, ˙ze ruchy własne gwiazd w obydwu systemach równa ´n równie˙z si ˛e ró˙zni ˛a

(µα)FK 5= (µα)FK 4+0.^s00085 (45) co oznacza ró˙znic ˛e 1.⁰⁰275 na stulecie.

Katalogi FK5, FK6

Od 1984 roku system FK5 stał si ˛e dost ˛epny poprzez roczniki astronomiczne.

Gwiazdy w katalogach fundamentalnych wykorzystywane s ˛a jako podstawowe (oporowe) w astrometrii wzgl ˛ednej. O wiele pro´sciej jest mierzy´c rektascensj ˛e i deklinacj ˛e gwiazdy wzgl ˛edem systemu fundamentalnego ani˙zeli np. wzgl ˛edem południka miejscowego.

W roku 1999 w Heildelbergu opublikowano kolejn ˛a wersj ˛e katalogu fundamentalnego FK 6. Składa si ˛e z czterech cz ˛e´sci:

I zawiera 879 gwiazd fundamentalnych, II obejmuje około 500 gwiazd fundamentalnych, III liczy 3272 gwwiazdy,

IV zawiera około 1000 gwiazd.

Katalog FK6 powstał w rezultacie poł ˛aczenia rezultatów astrommetrycznnego satelity Hipparcos z obserwacjami uzyskanymi na powierzchni Ziemi. Wi ˛ecej informacji na ten temat mo˙zna odnale´z´c na stronie internetowej pod adresem: http://www.zah.uni-heidelberg.de/ari/databases/

Katalogi wzgl ˛edne, niefundamentalne

Katalogi ogólne o niefundamentalnej naturze podaj ˛a poło˙zenia i ruchy własne olbrzymiej liczby gwiazd (10⁶...). Stanowi ˛a one układy odniesienia drugiej rangi.

Gwiazdy w tych katalogach rozrzucone s ˛a po całej sferze niebieskiej z tak ˛a g ˛esto´sci ˛a by pewna liczba skatalogowanych gwiazd znalazła si ˛e na ramce CCD podczas fotografowania danego obszaru nieba.

Współrz ˛edne tych gwiazd wykorzystuje si ˛e do wyznaczania poło˙ze ´n innych obiektów metodami wzgl ˛ednymi.

Przykładami katalogów niefundametalnych s ˛a katalogi Tycho-1, Tycho-2 powstałe równie˙z w wyniku misji Hipparcos.

Po wi ˛ecej informacji prosz ˛e zerkn ˛ac pod

http://tdc-www.harvard.edu/catalogs/tycho2.html

Rysunek:Fragment “ Catalogus stellarum fixarum “ Jana Heweliusza.

Poczatek wykładu