Analiza matematyczna 1 zadanie domowe nr 5 1. Czy w my±l de nicji podanej na wykªadzie funkcja

Analiza matematyczna 1

zadanie domowe nr 5 1. Czy w my±l denicji podanej na wykªadzie funkcja f(x) =√

x jest ci¡gªa w punkcie 0?

2. Udowodnij nierówno±ci |x + y| ≤ |x| + |y| oraz |x − y| ≥ |x| − |y|.

3. Uzupeªnij szczegóªy dowodów twierdze« z wykªadu:

(a) f jest ci¡gªa w a ⇐⇒ lim

x→af (x) = f (a);

(b) f posiada rozszerzenie do funkcji ci¡gªej w a ⇐⇒ lim

x→af (x)istnieje.

Podaj dokªadne zaªo»enia tych twierdze«.

4. Udowodnij, »e funkcja f jest ci¡gªa w a wtedy i tylko wtedy, gdy:

dla ka»dego ε > 0 istnieje δ > 0 taka, »e: (|x − a| ≤ δ) ⇒ (|f(x) − f(a)| ≤ ε).

5. Udowodnij, »e funkcja f jest ci¡gªa w a wtedy i tylko wtedy, gdy:

dla ka»dego n ∈ Z+ istnieje k ∈ Z+ takie, »e: (|x − a| < ¹_k) ⇒ (|f (x) − f (a)| <_n¹).

6. Zaªó»my, »e f i g s¡ ci¡gªe na przedziale (a, b) i f(c) = g(c) dla pewnego c ∈ (a, b). Okre±lmy h(x) = f (x) dla x < c, h(x) = g(x) dla x > c oraz h(c) = f(c) = g(c). Udowodnij, »e h jest ci¡gªa na (a, b) (a zwªaszcza w punkcie c).

7. Zerknij na nast¦pn¡ stron¦.

8.^∗ O pot¦gowaniu. (A mo»e bardziej o tym, czym s¡ liczby rzeczywiste?)

(a) Czy umiesz ±ci±le uzasadni¢, »e istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat jest równy 2?

(b) Przypomnij, jak si¦ deniuje pot¦g¦ wymiern¡ a^pq (a > 0, p ∈ Z, q ∈ Z+).

Czy umiesz ±ci±le uzasadni¢, »e a^pq istnieje?

(c) Uzasadnij, »e je±li a > 1 oraz ^p_q < ^r_s, to a^pq < a^rs. Jak jest dla a ∈ (0, 1)?

(d) Niech f b¦dzie funkcj¡ monotoniczn¡ i tak¡, »e f(^p_q) = a

p

q dla liczb wymiernych ^p_q. Okre-

±lamy a^x= f (x) dla dowolnej liczby rzeczywistej x.

Czy umiesz uzasadni¢, »e istnieje dokªadnie jedna funkcja f speªniaj¡ca powy»szy warunek?

9.^∗ Nierówno±ci typu Bernoulliego. Ju» niedªugo takie nierówno±ci to b¦dzie buªka z masªem.

(a) Udowodnij (indukcyjnie) nierówno±¢ Bernoulliego: (1+x)ⁿ≥ 1+nx(x > −1, n = 0, 1, 2, ...).

(b) Udowodnij, »e (1 + α)^k ≤ 1

1 − kα (−1 < α < _k¹, k = 0, 1, 2, ...). Wskazówka: x = −_1+α^α , n = k + 1.

(c) Udowodnij, »e (1 + β)ⁿ¹ ≤ 1 +^β_n (β > −1, n = 0, 1, 2, ...). Wskazówka: x = ^β_n. 10.^∗ O ci¡gªo±ci pot¦gowania.

(a) Zaªó»my, »e p ≥ 1. Je±li |g(x) − q| < _m¹, to oczywi±cie p^−m1 ≤ p^g(x)−q≤ p^m1. Wywnioskuj z nierówno±ci Bernoulliego, »e

1

1 +^p−1_m ≤ p^g(x)−q ≤ 1 +^p−1_m .

Uzasadnij, »e je±li ε > 0, to istnieje m tak du»e, »e |p^g(x)−q− 1| < ε. Wywnioskuj, »e w takim razie je±li lim

x→ag(x) = q, to lim

x→ap^g(x)−q = 1. Korzystaj¡c z praw arytmetyki granic, uzasadnij analogiczny wzór dla p ∈ (0, 1) i wywnioskuj, »e:

je±li lim

x→ag(x) = q, to lim

x→ap^g(x)= p^q.

(b) Zaªó»my, »e q > 0. Uzasadnij, »e je±li |f(x) − p| < _m¹, |g(x) − q| < _m¹, to



1 −_mp¹ q+1

≤_{f (x)}

p

g(x)

≤

1 +_mp¹ q+1

;

zakªadamy przy tym, »e _m¹ < q. Wywnioskuj z nierówno±ci typu Bernoulliego, »e je±li oznaczymy Q = dq + 1e, to

 1 −_mp^Q



≤

f (x) p

g(x)

≤ 1

1 −_mp^Q ;

potrzebne zaªo»enia to _m¹ < q, _mp^Q < 1. Uzasadnij, »e je±li ε > 0, to dla pewnego m ∈ Z+

zachodzi    

_{f (x)}

p

g(x)

− 1    

< ε. Wywnioskuj, »e gdy lim

x→af (x) = p, lim

x→ag(x) = q > 0, to

x→alim

_{f (x)}

p

g(x)

= 1. Korzystaj¡c z praw arytmetyki granic, uogólnij ten wynik na przypadek dowolnego q ∈ R (wskazówka: dla q < 0 jest ªatwo; dla q = 0 rozwa» g1(x) = g(x) + 1oraz g2(x) = 1 i zapisz g(x) = g1(x) − g2(x)), a nast¦pnie poª¡cz go z wynikiem z poprzedniego punktu, by uzyska¢ twierdzenie z wykªadu:

je±li lim

x→af (x) = poraz lim

x→ag(x) = q, to lim

x→a(f (x))^g(x)= p^q. (c) Odetchnij z ulg¡  wkrótce poznamy nowy, lepszy dowód ci¡gªo±ci pot¦gowania!

Mateusz Kwa±nicki