Wytrzymałość materiałów

(1)

Wytrzymałość materiałów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz

EiP - Wykład Nr 6 Skręcanie prętów

siły wewnętrzne i naprężenia przy skręcaniu, wykresy momentów skręcających, warunek bezpieczeństwa na skręcanie, warunek sztywności przy skręcaniu, wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie, skręcenie prętów o przekroju niekołowym, sprężyny śrubowe, stan naprężenia w elemencie skręcanym, wałki giętkie

(2)

6.1. Skręcanie – siły wewnętrzne i naprężenia

𝑴_𝒈𝒚

𝑴_𝐒

𝑷_𝟏

𝑷_𝒏 𝑴_𝒊

𝒒_𝒊

z≡ n x

y

O≡C

dA

y

A

𝝉_𝒛𝒚

𝑻_𝒙 𝑵

𝑻_𝒚

𝝈_𝒛

𝑴_𝒈𝒙

𝑵 = 𝝈_𝒛

𝑨 𝒅𝑨

𝑻_𝒙 = 𝝉_𝒛𝒙

𝑨 𝒅𝑨

𝑻_𝒚 = 𝝉_𝒛𝒚

𝑨 𝒅𝑨

𝑴_𝒙 = 𝝈_𝒛

𝑨

𝒚 𝒅𝑨

𝑴_𝒚 = 𝝈_𝒛

𝑨 𝒙 𝒅𝑨

𝑴_𝑺 = 𝝉_𝒛𝒚 𝒙 − 𝝉_𝒛𝒙 𝒚

𝑨 𝒅𝑨

- rozciąganie/ściskanie

- ścinanie

- zginanie

- skręcanie

© T. Machniewicz

(3)

Umowa dotycząca znaków

Analogia: rozciąganie 6.2. Wykresy momentów skręcających

x

y O z

𝑴_𝟐 𝑴_𝟑

𝑴_𝑼

M₁=20 Nm M₂=30 Nm

M₃=40 Nm

𝑴_𝟏

x

y O z

𝑷_𝟐 𝑷_𝟑

𝑹

P₁=20 N P₂=30 N

P₃=40 N

𝑷_𝟏

N

z

𝟐𝟎 𝑵

𝑷_𝟏 𝟑𝟎 𝑵

𝑷_𝟑

−𝟏𝟎 𝑵 𝑷_𝟐

n M_S>0

𝑴_𝑺 ⁿ

M_S>0

𝑴_𝑺

z N

𝟐𝟎 𝐍𝐦

𝑴_𝟏

−𝟏𝟎 𝐍𝐦 𝟑𝟎 𝐍𝐦

Moment skręcający w danym przekroju poprzecznym pręta, jest algebraiczną sumą wszystkich momentów pochodzących od obciążeń zewnętrznych przyłożonych po jednej stronie rozpatrywanego przekroju, obliczanych względem normalnej do tego przekroju zaczepionej w jego środku ciężkości.

𝑴_𝟑

𝑴_𝟐

© T. Machniewicz

(4)

6.3. Moment obrotowy – zależności fizyczne

Zależność pomiędzy mocą (N) a momentem obrotowym (M_O): 𝑵 = 𝑴_𝑶 ∙ 𝝎

𝑴_𝑶 = 𝑵 𝝎

𝑾 = 𝑵𝒎 ∙𝟏 𝒔

𝝎 = 𝝅𝒏 𝟑𝟎 Gdy dane są:

 prędkość obrotowa: n (obr/min)

 moc: N (kW)

Wówczas:

gdzie: 𝑴_𝑶 - moment obrotowy 𝑵𝒎 ; 𝝎 – prędkość kątowa ^𝟏_𝒔 ;

𝑴_𝑶 𝑵𝒎 = 𝟏𝟎^𝟑 ∙ 𝑵 𝒌𝑾 𝝅/𝟑𝟎 ∙ 𝒏 𝒐𝒃𝒓/𝒎𝒊𝒏

𝑴_𝑶 ≅ 𝟗𝟓𝟓𝟎 𝑵 𝒌𝑾

𝒏 𝒐𝒃𝒓/𝒎𝒊𝒏 𝑵𝒎 M_O

© T. Machniewicz

(5)

6.4. Warunek bezpieczeństwa na skręcanie

x l

y

z M

O

B B’

y O x

dA

_ _max C

C’

𝜸 _𝝆 = 𝝋 ∙ 𝝆

𝒍 𝝉 ∝ 𝝆

𝝉_(𝝆=𝒓) = 𝝉_𝒎𝒂𝒙

𝝉_(𝝆) = 𝝉_𝒎𝒂𝒙 𝝆 𝝆_𝒎𝒂𝒙 𝝉 = 𝑮 ∙ 𝜸

prawo Hooke’a dla ścinania

𝑴_𝑺 = 𝝉_(𝝆) ∙ 𝝆 ∙ 𝒅𝑨

𝑨

= 𝝉_𝒎𝒂𝒙 ∙ 𝝆

𝝆_𝒎𝒂𝒙 ∙ 𝝆 ∙ 𝒅𝑨

𝑨

= 𝝉_𝒎𝒂𝒙

𝝆_𝒎𝒂𝒙 𝝆^𝟐𝒅𝑨

𝑨

𝑴_𝑺 = 𝝉_𝒎𝒂𝒙 𝝆_𝒎𝒂𝒙 ∙ 𝑱_𝑶

𝑱_𝑶

𝝉_𝒎𝒂𝒙 = 𝑴_𝑺

𝑱_𝑶 𝝆_𝒎𝒂𝒙 𝝉_𝒎𝒂𝒙 = 𝑴_𝑺

𝑾_𝑶 ≤ 𝒌_𝑺 gdzie: 𝑾_𝑶 = 𝑱_𝑶 𝝆_𝒎𝒂𝒙

𝑾_𝑶 - wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie (…, mm³, cm³, m³, …) 𝒌_𝑺 - dopuszczalne naprężenia skręcające



© T. Machniewicz

(6)

6.5. Wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie

𝒌_𝑺 - dopuszczalne naprężenia skręcające 𝝉_𝒎𝒂𝒙 = 𝑴_𝑺

𝑾_𝑶 ≤ 𝒌_𝑺 gdzie: 𝑾_𝑶 = 𝑱_𝑶 𝝆_𝒎𝒂𝒙

𝑱_𝑶 - biegunowy moment bezwładności ^𝝆𝒎𝒂𝒙 - odległość zewnętrznych warstw przekroju od środka ciężkości

Wskaźniki 𝑾_𝑶 dla przekrojów kołowo – symetrycznych

Uwaga: Wskaźniki wytrzymałości przekrojów nie są addytywne (nie można ich dodawać ani odejmować).

𝑾_𝑶 - wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie

𝑾_𝑶 = 𝑱_𝑶 𝝆_𝒎𝒂𝒙

𝑱_𝒙𝒄 = 𝑱_𝒚𝒄 = 𝝅 ∙ 𝒅^𝟒 𝟔𝟒 𝑱_𝑶 = 𝑱_𝒙 + 𝑱_𝒚 = 𝝅 ∙ 𝒅^𝟒

𝟑𝟐 𝝆_𝒎𝒂𝒙 = 𝒅

𝟐

𝑾_𝑶 = 𝝅 ∙ 𝒅^𝟒 𝟑𝟐 ∙ 𝟐

𝒅 𝑾_𝑶 = 𝝅 ∙ 𝒅^𝟑 𝟏𝟔

𝑾_𝑶 = 𝑱_𝑶 𝝆_𝒎𝒂𝒙 𝑱_𝑶 = 𝑱_𝑶𝑫 − 𝑱_𝑶𝒅

𝑱_𝑶 = 𝝅 ∙ 𝑫^𝟒 − 𝒅^𝟒 𝟑𝟐 𝝆_𝒎𝒂𝒙 = 𝑫

𝟐

𝑾_𝑶 = 𝝅 ∙ 𝑫^𝟒 − 𝒅^𝟒 𝟑𝟐 ∙ 𝟐

𝑫

y

O x

𝑾_𝑶 = 𝝅 ∙ 𝑫^𝟒 − 𝒅^𝟒 𝟏𝟔𝑫 O x

y

© T. Machniewicz

(7)

6.6. Warunek sztywności przy skręcaniu

𝜸 _𝝆 = 𝝋 ∙ 𝝆

𝒍 𝜸_𝒎𝒂𝒙 = 𝝋𝒓 𝒍 𝝉 = 𝑮 ∙ 𝜸

prawo Hooke’a dla ścinania:

𝜸_𝒎𝒂𝒙 = 𝝉_𝒎𝒂𝒙

𝑮 = 𝝋𝒓

𝒍 𝝋 = 𝝉_𝒎𝒂𝒙 ∙ 𝒍 𝒓 ∙ 𝑮 𝝉_𝒎𝒂𝒙 = 𝑴_𝑺

𝑱_𝑶 𝒓

…

𝝋 = 𝑴_𝑺 ∙ 𝒓 ∙ 𝒍 𝑱_𝑶 ∙ 𝒓 ∙ 𝑮

… 𝝋 = 𝑴_𝑺 ∙ 𝒍

𝑱_𝑶 ∙ 𝑮 ≤ 𝝋_𝒅𝒐𝒑 𝝋′ = 𝑴_𝑺

𝑱_𝑶 ∙ 𝑮 ≤ 𝝋′_𝒅𝒐𝒑 lub

gdzie:

𝝋_𝒅𝒐𝒑 - dopuszczalny kąt skręcenia (rad) 𝝋′_𝒅𝒐𝒑 - dopuszczalny kąt skręcenia na

jednostkę długości (…, rad/mm, rad/m, …)

y O x

dA

_ _max

x l

y

z M

O

B B’

C C’

© T. Machniewicz

(8)

6.7. Rozkłady naprężeń skręcających Przekroje kołowo – symetryczne

pełny drążony

Przekroje niekołowe

y

x O

M_S y

O x

M_S

𝝉_𝒎𝒂𝒙 = 𝑴_𝑺 𝑾_𝑺

𝝋 = 𝑴_𝑺 ∙ 𝒍 𝑮 ∙ 𝑱_𝟎

𝝋 = 𝑴_𝑺 ∙ 𝒍 𝑮 ∙ 𝑱_𝑺

np.:

𝑱_𝑺 = 𝒋(𝒂, 𝒃) 𝑾_𝑺 = 𝒘(𝒂, 𝒃)

y

x

 max

b

a

M_S y

x

b

a

M_S

 max 𝟑𝒂𝟐

y

x

𝒂

M_S

_max

𝝉𝒎𝒂𝒙 𝝉 𝒎𝒂𝒙

𝑾_𝑶 = 𝑴_𝑺

𝑱_𝑶 ∙ 𝝆_𝒎𝒂𝒙

𝝉 𝒎𝒂𝒙 𝝉𝒎𝒂𝒙

© T. Machniewicz

(9)

6.8. Wybrane przypadki skręcania przekrojów niekołowych

6.8.1. Przekrój prostokątny

𝜶 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃^𝟐 ≤ 𝒌_𝒔 𝝋 = 𝑴_𝑺 ∙ 𝒍 𝜷 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃^𝟑 ∙ 𝑮 y

x

 max

b

a

M_S

a/b 1.0 1.5 1.75 2 2.5 3 4 5 6 8 10 

𝜶 ^0.208 ^0.231 ^0.239 ^0.236 ^0.258 ^0.267 ^0.282 _0.291 _0.299 _0.307 _0.313 _0.333 𝜷 ^0.141 ^0.196 ^0.214 ^0.229 ^0.249 ^0.263 ^0.281 ^0.291 ^0.299 ^0.307 ^0.313 ^0.333

𝒍 – długość pręta 6.8.2. Przekrój w kształcie kwadratu

𝟎. 𝟐𝟎𝟖𝒂^𝟑 ≤ 𝒌_𝒔

𝝋 = 𝑴_𝑺 ∙ 𝒍 𝟎. 𝟏𝟒𝟏𝒂^𝟒 ∙ 𝑮 y

 max x

a

M_S

_max

Uwaga: b – krótszy bok prostokąta, a – dłuższy bok prostokąta

© T. Machniewicz

(10)

6.8. Wybrane przypadki skręcania przekrojów niekołowych 6.8.3. Przekrój w kształcie elipsy

6.8.4. Przekrój w kształcie trójkąta równobocznego 𝝉_𝒎𝒂𝒙 = 𝟐𝟎𝑴_𝑺

𝒂^𝟑 ≤ 𝒌_𝒔 𝝋 = 𝟖𝟎 ∙ 𝑴_𝑺 ∙ 𝒍

𝑮 ∙ 𝟑 ∙ 𝒂^𝟒 y

x

𝒂

M_S

_max

𝒍 – długość pręta 𝝉_𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟔𝑴_𝑺

𝝅 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃^𝟐 ≤ 𝒌_𝒔 𝝋 = 𝟐𝟓𝟔 ∙ 𝑴_𝑺 𝒂^𝟐 + 𝒃^𝟐 𝒍

𝑮 ∙ 𝝅 ∙ 𝒂^𝟑 ∙ 𝒃^𝟑 y

x

b

a

M_S

 max

6.8.5. Przekrój w kształcie

sześciokąta foremnego y

x

𝒂

M_S

_max 𝝉_𝒎𝒂𝒙 = 𝑴_𝑺

𝟎. 𝟏𝟖𝟔 ∙ 𝒂^𝟑 ≤ 𝒌_𝒔 𝝋 = 𝑴_𝑺 ∙ 𝒍

𝟎. 𝟏𝟏𝟒 ∙ 𝑮 ∙ 𝒂^𝟒

M_S

*Niezgodziński M., Niezgodziński T. Wzory, wykresy i tablice wytrzymałościowe. PWN, W-wa 1984.

*

Porównanie z kołem o średnicy a:

𝟎. 𝟏𝟗𝟔 ∙ 𝒂^𝟑 𝝋 = 𝑴_𝑺∙ 𝒍 𝟎. 𝟎𝟗𝟖 ∙ 𝑮 ∙ 𝒂^𝟒

Uwaga:

a – wielka oś, b – mała oś

© T. Machniewicz

(11)

6.9. Skręcanie – przykłady obliczeniowe

Przykład 6.1:

Dla wałka jak na rysunku sporządzić wykresy: (i) momentu skręcającego (M_S), (ii) maksymalnych naprężeń skręcających (_max) oraz (iii) kąta skręcenia ().

Dane: Szukane:

M₁=80 Nm, M₂=20 Nm, M₃=600 Nm, G=810⁴ MPa Wykresy: M_S, _max, d₁=20 mm, d₀=10 mm, d₂=30 mm, l= 400 mm

𝑴_𝑺𝟏 = −𝑴_𝟏 = −𝟖𝟎 𝑵𝒎

(i) Wykres momentu skręcającego M_S,

𝑴_𝑺𝟐 = −𝑴_𝟏 − 𝑴_𝟐 = −𝟏𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝑴_𝑺𝟑 = −𝑴_𝟏 − 𝑴_𝟐 + 𝑴_𝟑 = 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎

l l l

d 2 d 1 d 0

1

1 2

2 3

3 A

B C D

z

𝑴_𝐒

M₁ M₂

M₃ M_U

𝑴_𝟏 𝑴_𝟐

𝑴_𝟑 𝑴_𝑼

𝑴_𝑺𝟐 = −𝟏𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝑴_𝑺𝟑 = 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎

𝑴_𝟑 𝑴_𝑼

𝑴_𝑺𝟏 = −𝟖𝟎 𝑵𝒎

𝑴_𝟐 𝑴_𝟏

© T. Machniewicz

(12)

Przykład 6.1: Dane: M₁=80 Nm, M₂=20 Nm, M₃=600 Nm, G=810⁴ MPa Szukane:

d₁=20 mm, d₀=10 mm, d₂=30 mm, l= 400 mm Wykresy: M_S, _max,

𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟏} = −𝟓𝟒. 𝟑𝟐 𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟐} = −𝟔𝟑. 𝟔𝟔

𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟑} = 𝟗𝟒. 𝟑𝟏

𝑴_𝑺𝟏 = −𝟖𝟎 𝑵𝒎 1-1

d 1

2−2

d 1

3−3

d 2

(ii) Maksymalne naprężenia skręcające _max,

𝑴_𝑺𝟐 = −𝟏𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝑴_𝑺𝟑 = 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎

 max(MPa)

z

𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟏} = 𝑴_𝑺𝟏

𝑾_𝑶𝟏 ; 𝑾_𝑶𝟏 = 𝝅 ∙ 𝒅_𝟏^𝟒 − 𝒅_𝟎^𝟒 𝟏𝟔 ∙ 𝒅_𝟏 por. p. 6.4

𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟏} = 𝟏𝟔 ∙ 𝑴_𝑺𝟏 ∙ 𝒅_𝟏

𝝅 ∙ 𝒅_𝟏^𝟒 − 𝒅_𝟎^𝟒 = 𝟏𝟔 ∙ (−𝟖𝟎 𝟎𝟎𝟎) ∙ 𝟐𝟎 𝝅 ∙ 𝟐𝟎^𝟒 − 𝟏𝟎^𝟒 𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟏} = −𝟓𝟒. 𝟑𝟐 𝐌𝐏𝐚

𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟐} = 𝑴_𝑺𝟐

𝑾_𝑶𝟐 = 𝟏𝟔 ∙ 𝑴_𝑺𝟐

𝝅 ∙ 𝒅_𝟏^𝟑 = 𝟏𝟔 ∙ (−𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎) 𝝅 ∙ 𝟐𝟎^𝟑

𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟐} = −𝟔𝟑. 𝟔𝟔 𝐌𝐏𝐚

𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟑} = 𝑴_𝑺𝟑

𝑾_𝑶𝟑 = 𝟏𝟔 ∙ 𝑴_𝑺𝟑

𝝅 ∙ 𝒅_𝟐^𝟑 = 𝟏𝟔 ∙ 𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝝅 ∙ 𝟑𝟎^𝟑 𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟑} = 𝟗𝟒. 𝟑𝟏 𝐌𝐏𝐚

l l l

d 2 d 1 d 0

1

1 2

2 3

3 A

B C D

M₁ M₂

M₃ M_U

𝑴_𝟏 𝑴_𝟐

𝑴_𝟑 𝑴_𝑼

© T. Machniewicz

(13)

Przykład 6.1: Dane: M₁=80 Nm, M₂=20 Nm, M₃=600 Nm, G=810⁴ MPa Szukane:

d₁=20 mm, d₀=10 mm, d₂=30 mm, l= 400 mm Wykresy: M_S, _max, (iii) Kąt skręcenia ,

(rad)

z

𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟑} = 𝟗𝟒. 𝟑𝟏 𝐌𝐏𝐚

𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟑} =

−𝟔𝟑. 𝟔𝟔 𝐌𝐏𝐚

𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟑} =

−𝟓𝟒. 𝟑𝟐 𝐌𝐏𝐚

𝝋_𝑨 = 𝟎

𝝋_𝑩 = 𝝋_𝑨 + ∆𝝋_𝑨𝑩 ∆𝝋_𝑨𝑩 = 𝑴_𝑺𝟑 ∙ 𝒍 𝑮 ∙ 𝑱_𝟎𝟑 𝝋_𝑩 = 𝝋_𝑨 +𝟑𝟐 ∙ 𝑴_𝑺𝟑 ∙ 𝒍

𝑮 ∙ 𝝅 ∙ 𝒅_𝟐^𝟒

𝝋_𝑩 = 𝟎 + 𝟑𝟐 ∙ 𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟒𝟎𝟎 𝟖 ∙ 𝟏𝟎^𝟒 ∙ 𝝅 ∙ 𝟑𝟎^𝟒 𝝋_𝑩 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟏𝟒𝟑 𝒓𝒂𝒅

𝝋_𝑪 = 𝝋_𝑩 + ∆𝝋_𝑩𝑪= 𝝋_𝑩 + 𝟑𝟐 ∙ 𝑴_𝑺𝟐 ∙ 𝒍 𝑮 ∙ 𝝅 ∙ 𝒅_𝟏^𝟒 𝝋_𝑪 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟏𝟒𝟑 +𝟑𝟐 ∙ (−𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎) ∙ 𝟒𝟎𝟎

𝟖 ∙ 𝟏𝟎^𝟒 ∙ 𝝅 ∙ 𝟐𝟎^𝟒 𝝋_𝑪 = −𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟗𝟑 𝒓𝒂𝒅

𝝋_𝑫 = 𝝋_𝑪 + ∆𝝋_𝑪𝑫 = 𝝋_𝑪 + 𝟑𝟐 ∙ 𝑴_𝑺𝟐 ∙ 𝒍 𝑮 ∙ 𝝅 ∙ (𝒅_𝟏^𝟒 − 𝒅_𝟎^𝟒) 𝝋_𝑫 = −𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟗𝟑 + 𝟑𝟐 ∙ (−𝟖𝟎 𝟎𝟎𝟎) ∙ 𝟒𝟎𝟎

𝟖 ∙ 𝟏𝟎^𝟒 ∙ 𝝅 ∙ (𝟐𝟎^𝟒 − 𝟏𝟎^𝟒) 𝝋_𝑪 = −𝟎. 𝟎𝟐𝟕𝟓𝟓𝟓 𝒓𝒂𝒅 𝟎. 𝟎𝟑𝟏𝟒𝟑

−𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟗𝟑

−𝟎. 𝟎𝟐𝟕𝟓𝟓𝟓 𝑴_𝑺𝟏 = −𝟖𝟎 𝑵𝒎

𝑴_𝑺𝟐 = −𝟏𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝑴_𝑺𝟑 = 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎

l l l

d 2 d 1 d 0

1

1 2

2 3

3 A

B C D

M₁ M₂

M₃ M_U

𝑴_𝟏 𝑴_𝟐

𝑴_𝟑 𝑴_𝑼

© T. Machniewicz

(14)

6.9. Skręcanie – przykłady obliczeniowe Przykład 6.1:

𝑴_𝑺𝟏 = −𝟖𝟎 𝑵𝒎 𝑴_𝑺𝟐 = −𝟏𝟎𝟎 𝑵𝒎

𝑴_𝑺𝟑 = 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝑴_𝐒

z

𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟏} = −𝟓𝟒. 𝟑𝟐 𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟐} = −𝟔𝟑. 𝟔𝟔

𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟑} = 𝟗𝟒. 𝟑𝟏

 max(MPa)

z

(rad)

z

𝟎. 𝟎𝟑𝟏𝟒𝟑

−𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟗𝟑 −𝟎. 𝟎𝟐𝟕𝟓𝟓𝟓

Dane:

M₁=80 Nm, M₂=20 Nm, M₃=600 Nm, d₁=20 mm, d₀=10 mm, d₂=30 mm, G=810⁴ MPa, l= 400 mm

Szukane:

Wykresy: M_S, _max,

l l l

d 2 d 1 d 0

1

1 2

2 3

3 A

B C D

M₁ M₂

M₃ M_U

𝑴_𝟏 𝑴_𝟐

𝑴_𝟑 𝑴_𝑼

© T. Machniewicz

(15)

Przykład 6.2:

Obliczyć jaka być może maksymalna średnica otworu rury pokazanej na rysunku, obciążonej momentem skręcającym.

Dane: Szukane:

M_S=4 kNm, k_S=80 MPa, D=80 mm d_max=?

x

y O

M_S=4 kNm

z x

y

𝑾_𝑶 ≤ 𝒌_𝑺

𝑾_𝑶 = 𝑱_𝑶

𝝆_𝒎𝒂𝒙 = 𝟐 ∙ 𝑱_𝑶 𝑫 𝑱_𝑶 = 𝝅 ∙ 𝑫^𝟒 − 𝒅^𝟒

𝟑𝟐

𝑾_𝑶 = 𝝅 ∙ 𝑫^𝟒 − 𝒅^𝟒 𝟏𝟔𝑫

𝝉_𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟔 ∙ 𝑴_𝑺 ∙ 𝑫

𝝅 ∙ 𝑫^𝟒 − 𝒅^𝟒 ≤ 𝒌_𝑺 𝒅 ≤ 𝑫^𝟒 − 𝟏𝟔 ∙ 𝑴_𝑺 ∙ 𝑫 𝝅 ∙ 𝒌_𝑺

𝟒

𝒅 ≤ 𝟖𝟎^𝟒 − 𝟏𝟔 ∙ 𝟒 ∙ 𝟏𝟎^𝟔 ∙ 𝟖𝟎 𝝅 ∙ 𝟖𝟎

𝟒 𝒅_𝒎𝒂𝒙 = 𝟔𝟕. 𝟑𝟔 𝒎𝒎

© T. Machniewicz

(16)

6.9.1. Skręcanie układów - przykłady obliczeniowe

układów statycznie niewyznaczalnych Przykład 6.3:

Dla wałka jak na rysunku wyznaczyć wartości momentów utwierdzenia a następnie sporządzić wykresy: momentu skręcającego (M_S), naprężeń skręcających (_max) oraz kąta skręcenia ().

Dane: Szukane:

M=600 Nm, G=810⁴ MPa M_A, M_C

d₁=20 mm, d₀=10 mm, d₂=30 mm, l= 400 mm Wykresy: M_S, _max,

l l

d1 d 2 d 0

2

2 1

1

A B C

M_C M_A M

𝑴_𝑪 𝑴_𝑨 𝑴

1) Warunek równowagi statycznej:

𝑴_𝒊

𝒏

𝒊=𝟏 = 𝟎 ^{𝑴 = 𝑴}𝑨 + 𝑴_𝑪 2) Warunek zgodności kątów skręcenia:

∆𝝋_𝑨𝑪 = 𝟎

∆𝝋_𝑨𝑩 + ∆𝝋_𝑨𝑩 = 𝟎

∆𝝋_𝑨𝑩 = 𝑴_𝑨𝒍 𝑱_𝑶𝟏𝑮

∆𝝋_𝑩𝑪 = 𝑴_𝑨 − 𝑴 𝒍 𝑱_𝑶𝟐𝑮

𝑴_𝑨𝒍

𝑱_𝑶𝟏𝑮+ 𝑴_𝑨 − 𝑴 𝒍 𝑱_𝑶𝟐𝑮 = 𝟎 𝑱_𝑶𝟐 = 𝝅 ∙ 𝒅_𝟐^𝟒 − 𝒅_𝟎^𝟒

𝟑𝟐

𝑱_𝑶𝟏 = 𝝅 ∙ 𝒅_𝟏^𝟒 𝟑𝟐

𝑴_𝑨

𝒅_𝟏^𝟒 + 𝑴_𝑨 − 𝑴

𝒅_𝟐^𝟒 − 𝒅_𝟎^𝟒 = 𝟎

𝑴_𝑨 = 𝑴 𝒅_𝟏^𝟒

𝒅_𝟏^𝟒 + 𝒅_𝟐^𝟒 − 𝒅_𝟎^𝟒

(17)

układów statycznie niewyznaczalnych Przykład 6.3:

Dla wałka jak na rysunku wyznaczyć wartości momentów utwierdzenia a następnie sporządzić wykresy: momentu skręcającego (M_S), naprężeń skręcających (_max) oraz kąta skręcenia ().

Dane: Szukane:

M=600 Nm, G=810⁴ MPa M_A, M_C

d₁=20 mm, d₀=10 mm, d₂=30 mm, l= 400 mm Wykresy: M_S, _max,

𝑴_𝑪 = 𝑴 − 𝑴_𝑨 𝑴_𝑨 = 𝑴 𝒅_𝟏^𝟒

𝒅_𝟏^𝟒 + 𝒅_𝟐^𝟒 − 𝒅_𝟎^𝟒 = 𝟔𝟎𝟎 𝟐𝟎^𝟒

𝟐𝟎^𝟒 + 𝟑𝟎^𝟒 − 𝟏𝟎^𝟒

𝑴_𝑨 = 𝟏𝟎𝟎 𝑵𝒎 2)

𝑴_𝑪 = 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎

𝑴_𝑺𝟏 = 𝑴_𝑨 = 𝟏𝟎𝟎 𝑵𝒎

a) Wykres momentu skręcającego M_S, 𝑴_𝑺𝟐 = 𝑴_𝑨 − 𝑴 = −𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎

z

𝑴_𝐒

𝑴_𝑺𝟐 = −𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝑴_𝑺𝟏 = 𝟏𝟎𝟎 𝑵𝒎

𝑴 𝑴_𝑨

𝑴_𝑪

l l

d1 d 2 d 0

2

2 1

1

A B C

M_C M_A M

(18)

układów statycznie niewyznaczalnych

𝑴_𝑨 = 𝟏𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝑴_𝑪 = 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎 b) Wykres _max:

𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟏} = 𝑴_𝑺𝟏

𝑾_𝑶𝟏 ; 𝑾_𝑶𝟏 = 𝝅 ∙ 𝒅_𝟏^𝟑 𝟏𝟔 𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟏} = 𝟏𝟔 ∙ 𝑴_𝑺𝟏

𝝅 ∙ 𝒅_𝟏^𝟑 = 𝟏𝟔 ∙ 𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟎^𝟑 𝝅 ∙ 𝟐𝟎^𝟑 𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟏} = 𝟔𝟑. 𝟔𝟔 𝐌𝐏𝐚

𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟐} = 𝑴_𝑺𝟐

𝑾_𝑶𝟐 ; 𝑾_𝑶𝟐 = 𝝅 ∙ 𝒅_𝟐^𝟒 − 𝒅_𝟎^𝟒 𝟏𝟔 ∙ 𝒅_𝟐

𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟐} = 𝟏𝟔 ∙ 𝑴_𝑺𝟐 ∙ 𝒅_𝟐

𝝅 ∙ 𝒅_𝟐^𝟒 − 𝒅_𝟎^𝟒 = 𝟏𝟔 ∙ (−𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎) ∙ 𝟑𝟎 𝝅 ∙ 𝟑𝟎^𝟒 − 𝟏𝟎^𝟒 𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟐} = −𝟗𝟓. 𝟒𝟗 𝐌𝐏𝐚

por. p. 6.4

𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟐} = −𝟗𝟓. 𝟒𝟗 𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟏}= 𝟔𝟑. 𝟔𝟔

 max(MPa)

z Przykład 6.3:

Dane: M=600 Nm, G=810⁴ MPa Szukane: M_A, M_C d₁=20 mm, d₀=10 mm, d₂=30 mm, l= 400 mm Wykresy: M_S, _max,

z

𝑴_𝐒

𝑴_𝑺𝟐 = −𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝑴_𝑺𝟏 = 𝟏𝟎𝟎 𝑵𝒎

𝑴 𝑴_𝑨

𝑴_𝑪

l l

d1 d 2 d 0

2

2 1

1

A B C

M_C M_A M

(19)

układów statycznie niewyznaczalnych

𝑴_𝑨 = 𝟏𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝑴_𝑪 = 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎

c) Wykres ,

𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟏} = 𝟔𝟑. 𝟔𝟔 𝐌𝐏𝐚 𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟐} = −𝟗𝟓. 𝟒𝟗 𝐌𝐏𝐚

𝝋_𝑨 = 𝟎 𝝋_𝑩 = 𝝋_𝑨 + ∆𝝋_𝑨𝑩

𝝋_𝑩 = 𝝋_𝑨 + 𝟑𝟐 ∙ 𝑴_𝑺𝟏 ∙ 𝒍

𝑮 ∙ 𝝅 ∙ 𝒅_𝟏^𝟒 = 𝟎 +𝟑𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟒𝟎𝟎 𝟖 ∙ 𝟏𝟎^𝟒 ∙ 𝝅 ∙ 𝟐𝟎^𝟒 𝝋_𝑩 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟏𝟖𝟑 𝒓𝒂𝒅

𝝋_𝑪 = 𝝋_𝑩 + ∆𝝋_𝑩𝑪 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟏𝟖𝟑 + 𝟑𝟐 ∙ (−𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎) ∙ 𝟒𝟎𝟎 𝟖 ∙ 𝟏𝟎^𝟒 ∙ 𝝅 ∙ 𝟑𝟎^𝟒 − 𝟏𝟎^𝟒

𝝋_𝑪 = 𝟎

𝝋_𝑪 = 𝟎 - z warunków zadania

Sprawdzenie:

(rad)

z

𝟎. 𝟎𝟑𝟏𝟖𝟑 ^𝝉^{𝒎𝒂𝒙𝟐} ^{= −𝟗𝟓.49}

𝝉_{𝒎𝒂𝒙𝟏}= 𝟔𝟑. 𝟔𝟔

 max(MPa)

z Przykład 6.3:

Dane: M=600 Nm, G=810⁴ MPa Szukane: M_A, M_C d₁=20 mm, d₀=10 mm, d₂=30 mm, l= 400 mm Wykresy: M_S, _max,

z

𝑴_𝐒

𝑴_𝑺𝟐 = −𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝑴_𝑺𝟏 = 𝟏𝟎𝟎 𝑵𝒎

𝑴 𝑴_𝑨

𝑴_𝑪

l l

d1 d 2 d 0

2

2 1

1

A B C

M_C M_A M

(20)

6.10. Sprężyny śrubowe o małym skoku

– naprężenia, warunek bezpieczeństwa

𝑴_𝑺 = 𝑷𝑫 𝟐

𝝉_𝑺 = 𝑴_𝑺 𝑾_𝑶 𝝉_𝒕 = 𝑷

𝑨 𝝉_𝒎𝒂𝒙 = 𝝉_𝑺 + 𝝉_𝒕

𝝉_𝒎𝒂𝒙 = 𝟖 ∙ 𝑷 ∙ 𝑫

𝝅 ∙ 𝒅^𝟑 𝟏 + 𝒅

𝟐𝑫 ≤ 𝒌_𝑺 d

𝑷

D

h

𝑷

d

D/2 𝑷

y

x O

𝝉_𝑺

𝝉_𝑺 𝑷

𝝉_𝒕 𝝉_𝒕

𝝉_𝒎𝒂𝒙 = 𝝉_𝑺 + 𝝉_𝒕

= 𝟖 ∙ 𝑷 ∙ 𝑫 𝝅 ∙ 𝒅^𝟑

= 𝑷 ∙ 𝑫 𝟐 𝝅 ∙ 𝒅^𝟑 𝟏𝟔

𝑾_𝑶 = 𝝅 ∙ 𝒅^𝟑 𝟏𝟔 𝑨 = 𝝅 ∙ 𝒅^𝟐

𝟒

= 𝑷

𝝅 ∙ 𝒅^𝟐 𝟒 = 𝟒 ∙ 𝑷 𝝅 ∙ 𝒅^𝟐

= 𝟖 ∙ 𝑷 ∙ 𝑫

𝝅 ∙ 𝒅^𝟑 + 𝟒 ∙ 𝑷

𝝅 ∙ 𝒅^𝟐 = 𝟖 ∙ 𝑷 ∙ 𝑫

𝝅 ∙ 𝒅^𝟑 𝟏 + 𝒅 𝟐𝑫

k_S – dopuszczalne naprężenia styczne

(21)

Praca wykonana nad sprężyną (L) Energia zmagazynowana w sprężynie (E)

6.11. Sprężyny śrubowe o małym skoku – ugięcie ()

𝑳 = 𝟏

𝟐 ∙ 𝑷 ∙ 𝝀 𝑬 = 𝟏

𝟐 ∙ 𝑴_𝑺 ∙ 𝝋

𝑴_𝑺 = 𝑷𝑫 𝟐 𝝋 = 𝑴_𝑺 ∙ 𝒍

𝑮 ∙ 𝑱_𝟎 𝑱_𝑶 = 𝝅 ∙ 𝒅^𝟑 𝟑𝟐

𝒍 = 𝝅 ∙ 𝑫 ∙ 𝒏 𝑬 = 𝟏𝟔 ∙ 𝑴_𝑺^𝟐 ∙ 𝒍

𝑮 ∙ 𝝅 ∙ 𝒅^𝟒

𝑬 = 𝑴_𝑺^𝟐 ∙ 𝒍 𝟐 ∙ 𝑮 ∙ 𝑱_𝟎

𝑬 = 𝟒 ∙ 𝑷^𝟐 ∙ 𝑫^𝟐 ∙ 𝒍 𝑮 ∙ 𝝅 ∙ 𝒅^𝟒

𝑬 = 𝟒 ∙ 𝑷^𝟐 ∙ 𝑫^𝟑 ∙ 𝒏 𝑮 ∙ 𝒅^𝟒

𝝀 = 𝟖 ∙ 𝑷 ∙ 𝑫^𝟑 ∙ 𝒏 𝑮 ∙ 𝒅^𝟒

𝑷 𝑷

 P

 L

≡

𝑷 ^{𝟏 𝟐 𝟑} ^𝒏 𝑷

…

D

l – długość drutu sprężyny (po rozwinięciu) n – liczba zwoi,

M_S

𝒍 = 𝝅𝑫𝒏

M_S

…

𝟏

𝟐 ∙ 𝑷 ∙ 𝝀 = 𝑳

=

(22)

6.12. Stan naprężenia w elemencie skręcanym

_xy

_yx

_xy

𝝈_𝒙 = 𝝈_𝟏 + 𝝈_𝟐

𝟐 +𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟐

𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶 𝝈_𝒚 = 𝝈_𝟏 + 𝝈_𝟐

𝟐 −𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟐

𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶 𝝉_𝒙𝒚 = −𝝉_𝒚𝒙 =𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟐

𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐𝜶

gdy: ^𝝈𝟏 = 𝝈, 𝝈_𝟐 = −𝝈,𝜶 =𝝅 𝟒: 𝝈_𝒙 = 𝝈_𝒚 = 𝟎,𝝉_𝒙𝒚 = −𝝉_𝒚𝒙 = 𝝈





₂=-  ₁= 

𝝉_𝒚𝒙 = −𝝈 𝝉_𝒙𝒚 = 𝝈

y

x

