Piotr Wolański KOSMONAUTYKA Rakiety

Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Rakiety

Wykład nr 7

KOSMONAUTYKA

Piotr Wolański

Ruch rakiety w „polu bezgrawitacyjnym” i braku innych oddziaływań; zależność Ciołkowskiego z zasad mechaniki Newtona

a m

F  

I

dt dm dt

m dv  

I

m

dv   dm

Całkując otrzymujemy:

m c I dm

v 

  

Ostatecznie

o k

w o

v

m I m

v  ln 

Dla rakiety wielostopniowej

o kk

ok wk

k o w

k o

w

v

m I m

m I m

m I m

v  ln  ln  ...  ln 

2 2 2

1 1 1

Jeżeli

k w w w

w

I I I

I



 ...  

to

o kk

ok k

o k

o

w

v

m m m

m m

I m

v  



 



   

 ln ...

2 2 1

1

Przykładowe obliczenia

Pojedynczy stopień o masie m_s = 10 ton (10 000 kg) i udziału użytecznego materiału pędnego w masie stopnia – 0,9 (masa

„konstrukcji” – 0,1). Ładunek użyteczny m_u = 4 000 kg. I_w = 3 000 m/s

000 14

000 4

000

10  







o

m m

m

m/s

Masa początkowa rakiety:

kg

000 5

000 9

000

14  







k

m m

m

Masa końcowa rakiety:

kg

8 , 000 2

5

000

14 



k o

m

m

000 13

000 3

000

10  







o

m m

m

m/s kg

000 4

000 9

000

13  







k

m m

m

25 , 000 3

4

000 13 



k o

m

m

Dla m_u = 3 000 kg:

Lp

1 4 000 2,8 1,03 3 089

2 3 000 3,25 1,178 3 536

3 2 000 4,0 1,386 4 159

4 1 000 5,5 1,705 5 114

5 0 10 2,303 6 908

k o

m m

k o

m ln m

] [kg

m

^{ v [ m / s ]}

2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000

0 1 000 2 000 3 000 4 000

] / [ m s

 v

]

[kg

m

Obliczenia dla rakiety dwustopniowej

Założenia:

Nadać satelicie o masie 10 000 kg prędkość 10 000 m/s I stopień:

• współczynnik konstrukcji Φ_k = 0,15

• impuls właściwy I_w = 2 900 m/s II stopień:

• współczynnik konstrukcji Φ_k = 0,10

• impuls właściwy I_w = 4 300 m/s

ost

k kst

m

 m



Cel:

Wyznaczyć minimalną masę rakiety (podział przyrostów prędkości pomiędzy stopnie)

Obliczenia

I przypadek

II przypadek

000 10

000 7

000

2

3

1

    





 V V V

000 10

000 6

000

4  



V

I przypadek - obliczenia

k o

w m

I m

V₂  ₂ ln

 ⁴³⁰⁰ 5,093

000 7

2 2









e m e

m _Iw^V

k o

u IIst

o

m m

m  

u IIst

k

k

m m

m    

u IIst

k

u I IIst

V

m m

m e

m





 



2



2











  











 

 _



2 2 2

2

1

1

w w

I V k

I V u

IIst

e e m m



 





10 





 

mIIst kg

Masa użyteczna dla pierwszego stopnia:

420 93

000 10

420

83  

Ist



m

I stopień - obliczenia











  











 

 _



1 1 1

1

1

1

w w

I V k

I V u

Ist

e e

m m



814 , 2

1 1



 Iw

V

e

185 293

138 ,

3 



 _u

Ist m

m

Całkowita masa rakiety: m_o  293185  93420  386 605 kg

kg

II przypadek - obliczenia

036 , 4

2 2



 Iw

V

e











  











 

 _



2 2 2

2

1

1

w w

I V k

I V u

IIst

e e m m



 





10 





  mIIst

Masa użyteczna dla pierwszego stopnia:

905 60

000 10

905

50  

Ist



m

kg

I stopień - obliczenia











  











 

 _



1 1 1

1

1

1

w w

I V k

I V u

Ist

e e

m m



972 , 3

1 1



 Iw

V

e

873 447

354 ,

7 



 _u

Ist m

m

Całkowita masa rakiety: m_o  447873  60905  508778 kg

kg

Zależność masy rakiety od rozkładu prędkości pomiędzy stopnie dla:

m_u = 10 000 kg I stopień:

• współczynnik konstrukcji Φ_k = 0,15

• impuls właściwy I_w = 2 900 m/s II stopień:

• współczynnik konstrukcji Φ_k = 0,10

• impuls właściwy I_w = 4 300 m/s Lp

1 3 000 7 000 293 135 83 420 386 605

2 4 000 6 000 447 873 50 905 508 778

3 – opt. 2 532 7 468 257 340 108 276 375 616 ]

/ [m s VII

] 

/ [m s VI

 m_Ist [kg] m_IIst [kg] m_cała [kg]

Lot rakiety w atmosferze i polu grawitacyjnym, z uwzględnieniem innych oporów

S k

c x

w

c S v f mg f f f

dt I dm dt

v

m d      













 ( )

2

1 

opór

atmosferyczny

siła grawitacji

wiatr słoneczny

wpływ Księżyca

wpływ Słońca

Zależność ciągu od czasu

0 500 1000 1500

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

5x 10⁴

Czas [s]

Sila ciagu [kN]

Zależność prędkości od czasu

0 500 1000 1500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

Czas [s]

Modul Predkosci [m/s]

0 500 1000 1500 0

200 400 600 800 1000 1200 1400

Czas [s]

Wysokosc rakiety [km]

Zależność wysokości od czasu

Zależność wysokości od czasu

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Czas [h]

Wysokosc rakiety [km]

Położenie rakiety podczas lotu orbitalnego zrzutowane na powierzchnię Ziemi

Położenie rakiety podczas lotu orbitalnego w trójwymiarowym układzie ECI.