Zadania na dzie´ n 25 kwietnia 1998 r.

XLIX Olimpiada Matematyczna

Zadania konkursowe zawod´ ow stopnia trzeciego Zadania na dzie´ n 24 kwietnia 1998 r.

(pierwszy dzie´ n zawod´ ow)

1. Znale´z´c wszystkie uk lady liczb ca lkowitych (a, b, c, x, y, z) spe lniajace uk lad r´_, owna´n

( a + b + c = xyz x + y + z = abc oraz warunki a≥ b ≥ c ≥ 1, x ≥ y ≥ z ≥ 1.

2. Ciag Fibonacciego (F_, n) jest dany wzorami:

F₀ = F₁ = 1 , F_n+2 = F_n+ F_n+1 dla n = 0, 1, 2, . . . .

Wyznaczy´c wszystkie pary (k, m) liczb ca lkowitych m > k ≥ 0, dla kt´orych w ciagu (x_{, n}) okre´slonym wzorami

x₀ = F_k

F_m , x_n+1=







2x_n− 1 1− xn

gdy x_n 6= 1, 1 gdy xn = 1

(n = 0, 1, 2, 3, . . .)

wystepuje liczba 1._,

3. Pieciok_, at wypuk ly ABCDE jest podstaw_, a ostros lupa ABCDES._, P laszczyzna przecina krawedzie SA, SB, SC, SD, SE odpowiednio w punktach A_, ⁰, B⁰, C⁰, D⁰, E⁰ (r´o˙znych od wierzcho lk´ow ostros lupa). Udowodni´c, ˙ze punkty przeciecia przek_, atnych czworok_, at´_, ow ABB⁰A⁰, BCC⁰B⁰, CDD⁰C⁰, DEE⁰D⁰, EAA⁰E⁰ le˙za na jednej p laszczy´_, znie.

Zadania na dzie´ n 25 kwietnia 1998 r.

(drugi dzie´ n zawod´ ow)

4. Dowie´s´c, ˙ze w ciagu (a_{, n}) okre´slonym wzorami

a₁ = 1, a_n= a_n−1+ a_[n/2] dla n = 2, 3, 4, . . . wystepuje niesko´_, nczenie wiele liczb podzielnych przez 7.

Uwaga: [n/2] jest najwieksz_, a liczb_, a ca lkowit_, a nie przekraczaj_, ac_, a n/2._, 5. Punkty D i E le˙za na boku AB tr´_, ojkata ABC i spe lniaj_, a warunek_,

AD DB · AE

EB =

AC CB

²

. Udowodni´c, ˙ze <) ACD = <) BCE.

6. Rozwa˙zamy na p laszczy´znie kwadraty jednostkowe, kt´orych wierzcho lki maja obie wsp´_, o lrzedne_, ca lkowite. Niech S bedzie szachownic_, a, kt´_, orej polami sa wszystkie kwadraty jednostkowe za-_, warte w kole okre´slonym nier´owno´scia x_, ² + y² ≤ 1998². Na wszystkich polach szachownicy piszemy liczbe +1. Wykonujemy ci_, ag operacji. Ka˙zda z nich polega na wybraniu dowolnego_, rzedu poziomego, pionowego lub uko´snego i zmianie znak´_, ow wszystkich liczb napisanych na polach wybranego rzedu. (Rz_, ad uko´sny tworz_, a wszystkie pola szachownicy S, kt´_, orych ´srodki le˙za na pewnej prostej przecinaj_, acej osie uk ladu wsp´_, o lrzednych pod k_, atem 45_, ^◦.)

Rozstrzygna´_,c, czy w ten spos´ob mo˙zna doprowadzi´c do sytuacji, w kt´orej na jednym polu bedzie napisana liczba_, −1, a na pozosta lych +1.