Zadanie RZ 1

Rachunek Zaburze´ n ^∗

Maciej J. Mrowi´ nski 3 maja 2014

Zadanie RZ 1

?

Wyznacz poprawk˛e pierwszego rz˛edu do energii je˙zeli cz ˛ astka porusza si˛e w poten- cjale

V (x) =

 0 gdy x ∈ [0, a]

∞ wpp przy zaburzeniu

W (x) =

 V ₀ gdy x ∈ [0, a]

0 wpp

Wyznacz równie˙z poprawk˛e pierwszego rz˛edu do wektora falowego stanu podstawo- wego.

Odpowied´z: E _n ¹ = V ₀ , |ψ ¹ ₁ 〉 = 0 Zadanie RZ 2

?

Wyznacz poprawk˛e pierwszego rz˛edu do energii je˙zeli cz ˛ astka porusza si˛e w poten- cjale

V (x) =

 0 gdy x ∈ [0, a]

∞ wpp przy zaburzeniu

W (x) =

 V ₀ gdy x ∈ [0, αa]

0 wpp

gdzie α ∈ [0,1].

Odpowied´z: E _n ¹ = V ₀ 

α − _2nπ ¹ sin (2nπα)

Zadanie RZ 3

?

Wyznacz poprawk˛e pierwszego i drugiego rz˛edu do energii je˙zeli cz ˛ astka porusza si˛e w potencjale

V (x) =

 0 gdy x ∈ [0, a]

∞ wpp

∗

Skompilowane z wielu ´zródeł. Tylko do u˙zytku na zaj˛eciach.

przy zaburzeniu W (x) = αδ(x−a/2). Wyznacz równie˙z poprawk˛e pierwszego rz˛edu do wektora falowego stanu podstawowego.

Odpowied´z: E _n ¹ =

 _2α

a dla n nieparzystych

0 dla n parzystych , |ψ ¹ ₁ 〉 = P _∞

n=3 4αam

π²

ħh

(1−n

) sin ^nπ ₂ |ψ ⁰ _n 〉, E _n ² =

¨ _8mα

ħh

P

l6=n 1

n

−l

= − ^2mα

ħh

n

dla n nieparzystych

0 dla n parzystych

Zadanie RZ 4

?

Stała spr˛e˙zysto´sci pewnego kwantowego oscylatora harmonicznego zmieniła si˛e w nast˛epuj ˛ acy sposób: k ⁰ = (1 + ")k, gdzie k to pierwotna stała spr˛e˙zysto´sci a "  1.

Wyznacz poprawki pierwszego i drugiego rz˛edu do energii.

Odpowied´z: E _n ¹ = ^ħhω" ₄ (2n + 1), E _n ² = − ^ħhω" ₁₆

(2n + 1) Zadanie RZ 5

?

Cz ˛ astka, której ładunek wynosi q, znajduje si˛e w potencjale oscylatora harmonicz- nego. Załó˙zmy, ˙ze na cz ˛ astk˛e zacz˛eło dodatkowo działa´c słabe pole elektryczne E, wprowadzaj ˛ ace zaburzenie W (x) = −qE x. Wyznacz poprawki pierwszego i drugie- go rz˛edu do energii.

Odpowied´z: E _n ¹ = 0, E _n ² = − _2mω ^(qE)

Zadanie RZ 6

?

Hamiltonian w pewnym układzie reprezentowany jest przez nast˛epuj ˛ ac ˛ a macierz:

H = V ₀





1 0 0

0 3 0

0 0 −2





Dodatkowo w układzie wprowadzono zaburzenie:

H = V ₀ "





0 1 0 1 0 0 0 0 1





Korzystaj ˛ ac z rachunku zaburze´ n znajd´z dopuszczalne poziomy energii z dokładno-

´sci ˛ a do poprawek drugiego rz˛edu i porównaj uzyskane wyniki z wynikami dokład- nymi.

Odpowied´z: E ₁ = V ₀ € 1 −

₂

Š

, E ₂ = V ₀ € 1 +

₂

Š

, E ₃ = V ₀ (" − 2) Zadanie RZ 7

?

Cz ˛ astka mo˙ze porusza´c si˛e swobodnie w jednym wymiarze po odcinku o długo´sci

L, którego ko´ nce poł ˛ aczone s ˛ a ze sob ˛ a (periodyczne warunki brzegowe). Wyznacz

poprawki pierwszego rz˛edu do energii, je˙zeli wprowadzono w układzie zaburzenie do

potencjału: W (x) = −V ₀ e ^−x

, przy czym a  L. Podpowied´z: całkowanie mo˙zna

rozci ˛ agn ˛ a´c do niesko´ nczono´sci.

Odpowied´z: E _n,± ¹ = − ^V

^apπ _L 

1 ± e ⁻ (

)

 Zadanie RZ 8

?

Cz ˛ astka porusza si˛e w niesko´ nczonej, dwuwymiarowej studni potencjału w kształcie kwadratu o długo´sci boku wynosz ˛ acej a:

V (x, y) =

 0 gdy x ∈ [0, a], y ∈ [0, a]

∞ wpp

Wyznacz poprawki pierwszego rz˛edu do energii dwóch najni˙zszych poziomów ener- getycznych, je˙zeli do układu wprowadzono zaburzenie: W (x, y) = C xy. Znajd´z rów- nie˙z stany cz ˛ astki odpowiadaj ˛ ace dwóm poprawkom do energii pierwszego stanu wzbudzonego.

Odpowied´z: E ₀ ¹ = ^a

₄ ^C , E _1,1 ¹ = a ² C ” ₁

4 + _81π ²⁵⁶

— , E _1,2 ¹ = a ² C ” ₁

4 − _81π ²⁵⁶

— ,

|ψ ⁰ _1,1 〉 = ^{p 1} ₂ |ψ 1,2 〉 + |ψ 2,1 〉
, |ψ ⁰ _1,1 〉 = ^{p 1} ₂ |ψ 1,2 〉 − |ψ 2,1 〉
Zadanie RZ 9

? Elektron o energii 3π ² ħh ² /ma ² znajduje si˛e w niesko´ nczonej, trójwymiarowej studni potencjału w kształcie sze´scianu o długo´sci boku wynosz ˛ acej a:

V (x, y, z) =

 0 gdy x ∈ [0, a], y ∈ [0, a], z ∈ [0, a]

∞ wpp

Jaka b˛edzie energia elektronu z dokładno´sci ˛ a do poprawki pierwszego rz˛edu, je˙zeli w układzie działa dodatkowo słabe pole elektryczne E wprowadzaj ˛ ace zaburzenie:

W (x, y, z) = eE z.

Odpowied´z: E _e = ^3π _ma

^ħh

+ ^{e Ea} ₄ Zadanie RZ 10

?

Cz ˛ astka porusza si˛e w niesko´ nczonej, trójwymiarowej studni potencjału w kształcie sze´scianu o długo´sci boku wynosz ˛ acej a:

V (x, y, z) =

 0 gdy x ∈ [0, a], y ∈ [0, a], z ∈ [0, a]

∞ wpp

Wyznacz poprawki pierwszego rz˛edu do energii dwóch najni˙zszych poziomów ener- getycznych, je˙zeli do układu wprowadzono zaburzenie:

W (x, y, z) =

 V ₀ gdy x ∈ [0, a/2], y ∈ [0, a/2], z ∈ [0, a]

0 wpp

Odpowied´z: E ₀ ¹ = ^V ₄

, E _1,1 ¹ = ^V ₄

, E _1,2 ¹ = ^V ₄

(1 + ξ ) i E _1,3 ¹ = ^V ₄

(1 − ξ ), gdzie ξ = _3π ⁸
2

Zadanie RZ 11

?

Cz ˛ astka porusza si˛e w niesko´ nczonej, trójwymiarowej studni potencjału w kształcie sze´scianu o długo´sci boku wynosz ˛ acej a:

V (x, y, z) =

 0 gdy x ∈ [0, a], y ∈ [0, a], z ∈ [0, a]

∞ wpp

Wyznacz poprawki pierwszego rz˛edu do energii dwóch najni˙zszych poziomów ener- getycznych, je˙zeli do układu wprowadzono zaburzenie: W (x) = a ³ V ₀ δ(x−a/4)δ(y−

a/2)δ(z − 3a/4)

Odpowied´z: E ₀ ¹ = 2V ₀ , E _1,1 ¹ = 0, E _1,2 ¹ = 0 i E _1,3 ¹ = 8V ₀ Zadanie RZ 12

?

Pewna molekuła składa si˛e z czterech atomów - jednego atomu typu A i trzech ato- mów typu B:

A

B B

B

Elektron mo˙ze znajdowa´c si˛e w pobli˙zu ka˙zdego z atomów, przy czym jego energia w pobli˙zu atomu typu A wynosi E _A , a w pobli˙zu atomu typu B wynosi E _B . Skonstru- uj Hamiltonian dla tego problemu. Nast˛epnie wprowad´z jako zaburzenie mo˙zliwo´s´c przeskoku elektronu z atomów typu B na A, oraz z A na B, je˙zeli energia zwi ˛ azana z takim przeskokiem to E _t . Wyznacz poprawki pierwszego i drugiego rz˛edu do energii poziomu niezdegenerowanego i poprawki pierwszego rz˛edu w przypadku degenera- cji. Porównaj uzyskane wyniki z wynikami dokładnymi.

Odpowied´z: E ₀ ¹ = 0, E ₀ ² = _E ^3E

A

−E

, E _1,1 ¹ = E _1,2 ¹ = E _1,3 ¹ = 0 Zadanie RZ 13

?

Korzystaj ˛ ac z rachunku zaburze´ n wyznacz prawdopodobie´ nstwa przej´s´c pomi˛edzy stanami dla zaburze´ n W _s (t) = ˜ W sin(ωt) i W _c (t) = ˜ W cos(ωt), gdzie ˜ W to pewien niezale˙zny od czasu operator, którego macierz ˜ W _{i j} jest znana.

Odpowied´z: P _{i f} ^s = | ^{W ˜}

|

4ħh

1−e

ωf i

+ω − ^1−e

f i

−ω

2

, P _{i f} ^c = | ^{W ˜}

|

4ħh

1−e

ωf i

+ω + ^1−e

f i

−ω

2

Zadanie RZ 14

?

Ładunek q znajduje si˛e w potencjale oscylatora harmonicznego o cz˛esto´sci ω ₀ . W

chwili pocz ˛ atkowej t = 0 w układzie pojawia si˛e stałe pole elektryczne E, które dzia-

ła przez τ sekund. Znajd´z prawdopodobie´nstwa przej´s´c pomi˛edzy stanami po wy- ł ˛ aczeniu pola. Jakie b˛ed ˛ a prawdopodobie´ nstwa przej´scia ze stanu podstawowego do pierwszego i drugiego stanu wzbudzonego?

Odpowied´z: P _n

i

n

= _2mω ^(qE)

0

ħh

 pn _i + 1δ _n

f

,n

+1 + pn _i δ _n

f

,n

−1

 2 

sin

ωnf ni 2

 2

, P ₀₁ = _2mω ^(qE)

0

ħh

h _sin

ω0 2

i 2

, P ₀₂ = 0 Zadanie RZ 15

?

Ładunek q znajduje si˛e w potencjale oscylatora harmonicznego o cz˛esto´sci ω ₀ . W układzie działa pole elektryczne E (t) = _pπτ ^A e ⁻ (

)

. Je˙zeli układ znajdował si˛e w stanie podstawowym, to jakie jest prawdopodobie´ nstwo jego ekscytacji?

Odpowied´z: P = _{2m ħhω} ^(qA)

0

e ⁻

Zadanie RZ 16

?

Załó˙zmy, ˙ze Hamiltonian w pewnym układzie ma dwa wektory własne |E 1 〉 i |E 2 〉, którym odpowiadaj ˛ a warto´sci własne E ₁ i E ₂ (E ₂ − E 1 = ħh ˜ ω). W chwili t = 0 pojawia si˛e zaburzenie, którego macierz to 〈E 1 |W |E 1 〉 = 0, 〈E ₂ |W |E 1 〉 = ħhω ₀ i 〈E 2 |W |E 2 〉 =

−ħhω ₀ . Wyznacz prawdopodobie´ nstwo przej´scia ze stanu |E ₁ 〉 do stanu |E ₂ 〉 po upły- wie czasu t .

Odpowied´z: P ₁₂ = ω ₀ ² h _sin

t

ω21 2

i 2