Obliczyć n→∞lim Z n 0 n(xn+ 2) (nx2+ n + 1)(xn+ 1)dx

Ćwiczenia 1, AM 2, semestr letni, 27.02.2017

Twierdzenie o zbieżności monotonicznej, zmajoryzowanej. Obliczanie całek wielowymiarowych, całka z parametrem.

Zadanie 1. Obliczyć

n→∞lim Z n

0

n(xⁿ+ 2)

(nx²+ n + 1)(xⁿ+ 1)dx . Zadanie 2. Obliczyć

n→∞lim n · Z n²

1

x²− 1

nx⁵+ 1cos(x/n)dx . Zadanie 3. Obliczyć

n→∞lim Z

A

p|x|(1 − |x|) arctg(ny)n

1 + x²+ y² d(x, y), gdzie A = {a ∈ R²: |a| < sin(3 · ∢(a, [0, 1]))}.

Zadanie 4. Obliczyć

Z

A

e^2x−yd(x, y), gdzie A = [1, 2] × [0, 3].

Zadanie 5. Obliczyć

Z

n→∞

Z

A

px²+ y²+ z²e^z n²(1 − cos√

x²+y²+z²

n )

d(x, y, z), gdzie A = {(x, y, z) : z²¬ x²+ y²+ z²¬ 3z², x²+ y²+ z²¬ 1, z ­ 0}.

Zadanie 6. Obliczyć

Z π/2 0

ln(1 + cos²x)dx.

Zadanie 7. Obliczyć

Z ∞ 0

e^−ax− e^−bx

x dx, (a > b > 0).

Zadanie 8. Obliczyć

Z

A

d(x, y, z) (x + y + 1)², gdzie A = {(x, y, z) : 0 < x < 1, 0 < x + y < 1, 0 < z < x+y+1¹ }.

Zadanie 9. Obliczyć

Z

A

e^−|x+y|d(x, y), gdzie A = {(x, y) : |x − y| < 1}.

Zadanie 10. Obliczyć pole figury A = {(x, y) : (x²+ y²)²¬ 4(x²− y²)}.

Zadanie 11. Obliczyć

Z

x2 +y2 +z2<1 z­0

zd(x, y, z).

Zadanie 12. Krzywe xy = 1, xy = 2, y = ax², y = bx², gdzie a, b > 0, dzielą R²na kilka obszarów, z których jeden (A) jest ograniczony i zawarty w {(x, y) : x > 0, y > 0}. Obliczyć

Z

A

x²yd(x, y).

Zadanie 13. Obliczyć

Z

R²

e^−x2−y2d(x, y), Wniosek: R e^−x2dx = √π.