Statystyka matematyczna
8. Testowanie hipotez statystycznych
Ćw. 8.1 Według normy technicznej wykonanie obróbki mechanicznej jednego pierścienia stalo- wego powinno zajmować szlifierzowi 22 minuty. Wylosowano 16 stanowisk roboczych, dla których średni czas obróbki wynosił 24 minuty. Jednocześnie z przeprowadzonego badania generalnego wiadomo, że odchylenie standardowe σ czasu obróbki wynosi 4 minuty. Zakła- dając, że czas obróbki ma rozkład normalny, zweryfikuj na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę H0 : a = 22 wobec hipotezy alternatywnej H1 : a 6= 22
Ćw. 8.2 Liczbę sprzedanych biletów MZK w Toruniu w kolejnych niedzielach maja i czerwca przedstawia tabelka.
Numer niedzieli 1 2 3 4 5 6 7 8
Liczba sprzedanych biletów w tysiącach 2,9 3,3 3,2 3,2 3,2 3,0 2,9 3,1 Na podstawie tych danych, na poziomie istotności α = 0, 1, przetestuj hipotezę, że średnia liczba sprzedawanych biletów w niedziele jest równa 3, 2 tys. przeciw hipotezie, że średnia sprzedawanych biletów jest
(a) mniejsza niż 3, 2 tys., (b) różna od 3, 2 tys.,
jeżeli wiadomo, że liczba sprzedawanych biletów ma rozkład normalny.
Ćw. 8.3 Na pudełkach zapałek jest napisane „średnio 64 zapałki”. Wylosowano 1000 pudełek, dla których średnia liczba zapałek wyniosła 65 sztuk, a wariancja s2 wynosiła 625. Zweryfikuj na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę H0 : a = 64 wobec hipotezy alternatywnej H1 : a > 64.
Ćw. 8.4 Producent płatków mydlanych wysunął hipotezę, że stopień wyprania tkaniny wełnianej płatkami mydlanymi jest wyższy od stopnia wyprania płynem do prania. W celu sprawdze- nia tej hipotezy wykonano pomiary stopnia wyprania 10 wycinków tkaniny pranej płatka- mi, otrzymując w procentach wyniki 74, 4; 75, 1; 73, 0; 72, 8; 76, 2; 74, 6; 76, 0; 73, 4; 72, 9; 71, 6, oraz 7 wycinków pranych płynem do prania, otrzymując 56, 8; 57, 8; 54, 6; 59, 0; 57, 1; 58, 2; 57, 6.
Zakładając, że stopień wyprania tkaniny ma rozkład normalny i wiedząc, że test równości wariancji wykonany dla powyższych próbek nie pozwolił na odrzucenie hipotezy zerowej, na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikuj hipotezę wysunietą przez producenta.
Ćw. 8.5 Średnia prędkość tramwaju (w km/h) obliczona na podstawie zmierzonych w środę prędkości 200 tramwajów była równa 15, 1, natomiast średnia prędkość obliczona dla 120 tramwajów w niedzielę wynosiła 16, 4. Wariancja prędkości wynosiła odpowiednio s21 = 6, 8, s22 = 4, 2. Na podstawie uzyskanych danych zweryfikuj na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę, że średnia prędkość tramwajów w środę jest mniejsza niż w niedzielę.
Ćw. 8.6 Zmierzono ciśnienie tętnicze wśród losowo wybranej grupy chorych na pewną chorobę przed i po podaniu takiego samego leku każdemu z badanych pacjentów. Otrzymano nastę- pujące wyniki:
Nr pacjenta 1 2 3 4 5 6 7 8
Ciśnienie przed 210 180 260 270 190 250 180 200 Ciśnienie po 180 160 220 260 200 230 180 190
Statystyka matematyczna
Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikuj hipotezę, że stosowany lek nie powoduje zmiany ciśnienia u pacjentów, wobec hipotezy alternatywnej, że wartość przeciętna ciśnienia przed podaniem leku jest wyższa niż po jego podaniu, wiedząc, że ciśnienie tętnicze ma rozkład normalny.
Ćw. 8.7 W czasie sondażu przeprowadzonego przez pracownię badania opinii społecznej spośród 1100 ankietowanych dorosłych Polaków 1090 odpowiedziało, że w ubiegłym miesiącu nie przeczytali żadnej książki, a pozostali potwierdzili, że przeczytali przynajmniej jedna książkę.
Na podstawie tych danych, na poziomie istotności 0, 01, przetestuj hipotezę, że odsetek dorosłych Polaków, którzy nie przeczytali w ubiegłym miesiącu żadnej książki wynosi 99%, przeciw hipotezie, że odsetek ten jest inny. Użyj testu dla jednej średniej oraz testu chi- kwadrat zgodności.
Ćw. 8.8 Tabela przedstawia dane dotyczące liczby roślin ostu na poletkach doświadczalnych.
Liczba roślin ostu 0 1 2 3 4 5 6 i więcej Liczba poletek 24 57 65 35 10 6 3
Na poziomie istotności 0,05 zweryfikuj hipotezę, że rozkład ten jest rozkładem Poissona.
Ćw. 8.9 Generator liczb losowych wygenerował 20 liczb z rozkładu wykładniczego E(2). Liczby są uporządkowane niemalejąco:
0, 02 0, 03 0, 04 0, 04 0, 06 0, 11 0, 11 0, 18 0, 22 0, 26 0, 27 0, 44 0, 46 0, 60 0, 65 0, 80 0, 85 0, 95 1, 20 2, 00
Za pomocą testu χ2oraz testu Kołmogorowa na poziomie istotności 0,05 przetestuj zgodność tych danych z rozkładem E(2).
Ćw. 8.10 Z populacji pobrano 1000 elementową próbkę. Wyniki jej badania ze względu na cechę X przedstawia tabelka
Przedział [0, 1) [1, 2) [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6) [6, 7) [7, 8)
Liczność 120 273 280 192 92 34 7 2
Na poziomie istotności 0,01 testem Kołmogorowa zweryfikować hipotezę, że cecha X ma rozkład o dystrybuancie
F (x) =
0, x ¬ 0,
1 − e−x2/2, x > 0.
Ćw. 8.11 Wybrano losowo 780 mieszkańców Torunia, których zapytano o najchętniej oglądany rodzaj seriali. Poniższa tabela przedstawia wyniki sondażu. Za pomocą testu chi-kwadrat niezależności, przyjmując poziom istotności 0,05, zbadaj czy płeć telewidza i rodzaj seriali przez niego oglądanych są niezależne.
Rodzaj seriali
Płeć telenowele seriale kryminalne seriale komediowe Razem
Kobieta 210 90 160 460
Mężczyzna 50 150 120 320
Razem 260 240 280 780
Statystyka matematyczna
8’. Testowanie hipotez statystycznych Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 8’.1 W celu ustalenia stopnia wykonania normy przez pracowników z dwóch zakładów włó- kienniczych wylosowano po 25 robotników pracujących systemem akordowym. Średnie mie- sięczne wykonanie normy dla zakładu pierwszego wynosiło 118%, zaś dla zakładu drugiego 121%. Ponadto odchylenia próbkowe dla obu zakładów wynosiły odpowiednio 7, 3% oraz 7, 7%. Zakładając, że rozkład wykonania normy jest w obu zakładach zbliżony do rozkładu normalnego i wiedząc, że test równości wariancji wykonany dla powyższych próbek nie po- zwolił na odrzucenie hipotezy zerowej, na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikuj hipotezę, że średnie wykonanie normy w obu zakładach jest jednakowe wobec hipotezy, że jest ono różne.
Zad. 8’.2 Liczba ocen niedostatecznych uzyskanych na egzaminie z pewnego przedmiotu przez jednakowo liczne grupy studenckie I roku Wydziału Włókienniczego Politechniki Łódzkiej były następujące
Grupa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Liczba ocen ndst. 14 18 28 12 4 22 14 16 10 8 18 6 12
Na poziomie istotnosci 0, 05 testem chi-kwadrat zweryfikuj hipotezę, że prawdopodobieństwa występowania ocen niedostatecznych w tych grupach były jednakowe.
Zad. 8’.3 Kandydatów na kierowców poddano badaniom sprawdzającym refleks. Każdy kandy- dat miał wykonać określone czynności na czterech typach aparatów. Przebadano 100 osób otrzymując wyniki
Liczba wykonanych zadań 0 1 2 3 4
Liczba osób 10 25 40 20 5
Na poziomie istotności α = 0, 01 zweryfikuj hipotezę, że rozkład ten jest rozkładem dwu- mianowym.
Zad. 8’.4 Dochody pewnego supermarketu z ostatnich 25 miesięcy wynoszą (w tys. zł.) 4, 0 5, 2 5, 9 6, 9 3, 8 5, 9 9, 2 8, 1 7, 3 7, 1 7, 5 5, 8 6, 7
7, 0 7, 5 4, 1 6, 5 6, 9 8, 0 9, 0 4, 9 6, 7 6, 0 8, 9 6, 3.
Za pomocą testu Kołmogorowa na poziomie istotnosci α = 0, 01 zweryfikuj hipotezę, że rozkład dochodów supermarketu jest rozkładem normalnym N (6, 4).
Zad. 8’.5 200 osób zapytano ile minut dziennie zajmuje im poranna toaleta. Otrzymane wyniki przedstawia poniższa tabela
Czas poświęcony na poranną toaletę [0, 1) [1, 2) [2, 3) [3, ∞)
Liczba ankietowanych 10 40 52 98
na poziomie istotności α = 0, 01 testem Kołmogorowa zweryfikuj hipotezę, że czas poświę- cony na poranną toaletę ma rozkład jednostajny U (1, 4).
Statystyka matematyczna
Zad. 8’.6 Spytano 1000 respondentów o średni dzienny czas spędzany przed telewizorem. Na podstawie wyników przedstawionych w poniższej tabeli kontyngencji, przetestuj na pozio- mie istotności 0,025 niezależność liczby godzin spędzanych dziennie przed telewizorem od wykształcenia telewidzów.
Wykształcenie
Liczba h podstawowe zas. zawodowe średnie wyższe
0-2 65 57 63 55
2-4 68 70 62 60
4-6 78 82 68 72
powyżej 6 53 60 43 44
