II sem. Ćw. 8

(1)

II sem. Ćw. 8: Ciągi i szeregi funkcyjne Przykład 1. Zbadać zbieżność na przedziale A[0,1] ciągu

 

^f_{n n}^_₁^{, gdzie}

2 2 2 2 2 2

a) ( ) , b) ( ) , c) ( ) , d) ( ) sin .

1 1

n

n n n n

nx x

f x x f x f x f x n

n x n x x n

    

  

Przykład 2. Zbadać zbieżność na przedziale A ( 1,1) ciągu

 

^f_{n n}^_₁^{, gdzie}

1 1

( ) 2 .

2 2

n n

n n n

x x

f x x



 



Przykład 3. Znaleźć sumę oraz zbadać zbieżność (punktową, jednostajną) szeregu:

1

1 1 1

a) ( ), b) ( ), c) ( ) , gdzie ( ) .

( 1)2

n

n n n n n

n n n

f x f x f x dx f x x

n

   

  

 

  



Przykład 4. Korzystając z kryterium Weierstrassa udowodnić zbieżność

jednostajną szeregów ₂ ²

1 1

sin( )

a) ; b) cos( ).

2ⁿ

n n

nx n

n nx

 

 

 

Przykład 5. Obliczyć sumy

1 2

1 1 1 1 1 1

a) ... ...; b) 1 ... ( 1) ...

2 2 2 3 2 ( 1) 3 5 2 1

n

n n n

          

   

Przykład 6. Obliczyć z dokładnością 10^²:

1

0

sinx . x dx



Praca domowa

1. Zbadać zbieżność na przedziale A[0,1] podanych ciągów oraz wyznaczyć ich funkcji

graniczne:

 

1

 

1

 

1

a) , b) , c) ( ) , gdzie ( ) 1 .

n n n n n n n 1

f f f x dx f x

nx

  

    





2. Wyjaśnić czy ciąg

 

₁^{, gdzie} ^{( )} ^sin ₂ ₂ ^,

2( )

n n n

f f x

x n





 

 jest jednostajnie na zbieżny do funkcji ( ) 0f x  dla x .

3. Znaleźć sumę oraz zbadać zbieżność (punktową, jednostajną) szeregu:

1

0 1 0

a) ( ), b) ( ), c) ( ) , gdzie ( ) .

1

n

n n n n

n n n

f x f x f x dx f x x

n

   

  

 

  



4. Obliczyć sumy 1 1 1 1 1 1 1 ¹1

a) 1 ... ( 1) ...; b) 1 ... ( 1) ...

2 8 16 2 2 3 4

n n

              

5. Obliczyć

1

0

arctg x x dx



z dokładnością 10^², wskazówka

3 5 7 9

1 1 1 1

arctg

3 5 7 9

x x x  x  x  x 