Hipoteza Zariskiego - Lipmana Andrzej Nowicki, Toruń, Maj 1995

Hipoteza Zariskiego - Lipmana

Andrzej Nowicki, Toruń, Maj 1995

k - ciało charakterystyki zero (algebraicznie domknięte, na wszelki wypadek);

R - lokalny pierścień punktu P na rozmaitości afinicznej nad k;

Ω_k(R) - moduł różniczek;

Derk(R) - moduł wszystkich k-derywacji z R do R.

Twierdzenie Punkt P jest prosty ⇐⇒ Ωk(R) jest R-modułem wolnym.

Przypomnijmy, że punkt P jest prosty ⇐⇒ R jest pierścieniem regularnym. Przypomnijmy również, że Derk(R) = Homk(Ωk(R), R).

Z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli R jest pierścieniem regularnym, to Derk(R) jest R- modułem wolnym. Hipoteza, o której mowa, to stwierdzenie odwrotne:

Hipoteza Zariskiego - Lipmana. Jeśli R-moduł Derk(R) jest wolny, to pierścień R jest regularny.

Wyniki:

1. Lipman 1965 ([3]). Udowodnił to w pewnych specjalnych przypadkach (np. gdy R jest pier- ścieniem lokalnym punktu P = (0, 0, 0) hiperpowierzchni postaci V(z^m− f (x, y))). Udowodnił ponadto, że jeśli Der_k(R) jest modułem wolnym, to pierścień R jest normalny, tzn. jest dziedziną całkowicie domkniętą w ciele ułamków.

2. Scheja i Storch 1972 (patrz np. [4], [2], [1]) udowodnili to dla hiperpowierzchni.

3. Hochster 1977 ([2]) udowodnił w przypadku, gdy R jest pierścieniem z gradacją.

4. Dodatkowe informacje są w pracy Becker’a [1] z 1977 roku.

Prosty przykład pokazuje, że w dodatnich charakterystykach taka hipoteza nie jest prawdziwa (patrz [3] lub [4]). Takim przykładem jest początek układu współrzędnych jako punkt leżący na hiperpowierzchni V(f ), gdzie f = z^p− xy ∈ k[x, y, z], p = char(k).

W dodatnich charakterystykach Matsumura 1982 ([4]) podał następującą hipotezę.

Hipoteza Matsumury. Załóżmy, że każda k-derywacja pierścienia R jest całkowalna (ang. integrable).

Jeśli R-moduł Der_k(R) jest wolny, to pierścień R jest regularny.

Mówimy, że dana derywacja d jest całkowalna jeśli istnieje derywacja wyższa {d_n}, w sensie Hasse − Schmidta taka, że d₁= d.

Literatura

[1] J. Becker, Higher derivations and the Zariski-Lipman conjecture, Proc. Symposia in Pure Math., 30(1977), 3 - 10.

[2] M. Hochster, The Zariski-Lipman conjecture in the graded case, J. Algebra, 47(1977), 411 - 424.

[3] J. Lipman, Free derivation modules on algebraic varieties, Amer. J. Math., 87(1965), 874 - 898.

[4] H. Matsumura, Integrable derivations, Nagoya Math. J., 87(1982), 227 - 245.