Analiza matematyczna, 2016/2017 ćwiczenia 4. – rozwiązania

Analiza matematyczna, 2016/2017 ćwiczenia 4. – rozwiązania

17 listopada 2016

Zadania

1. Udowodnij, że następujące ciągi są rozbieżne do nieskończoności:

ˆ an= ⁴

n

n³

Ponieważ dla każdego n ≥ 10 mamy 2ⁿ > n³, to ⁴_nⁿ₃ > 2ⁿ dla n ≥ 10. Zatem mając dane m, jeśli N = max(10, ⌈log₂m⌉), to dla n > N mam ⁴_nⁿ₃ > ²

n

> m.

ˆ bn= ((−1)ⁿ+2)n + n²

Oczywiście ((−1)ⁿ+2)n + n²≥n²+n =≥ n² dla n > 0. Zatem jeśli m > 0, to niech N = ⌈√

m + 1⌉, to jeśli n > N , to m ≤ n²≤b_n.

ˆ cn=n³−n − 1

Oczywiście cn ≤n²(n − 1) − 1 ≤ (n − 1)³−1, dla n > 0. Zatem jeśli m > 0, niech N = ⌈√³

m + 1 + 1⌉.

Wtedy, jeśli n > N , to m ≤ (n − 1)³−1 ≤ cn.

2. Korzystając z twierdzenia związanego z arytmetyką granic, oblicz granice ciągów (dopuszczamy nieskoń- czoności):

an= −3n⁴+n²−4 + 2

Zatem an = n⁴(−3 +_n¹2+_n²₄). Wyrażenie w nawiasie zbiega do −3, więc z twierdzenia o arytmetyce nieskończonych granic, całość rozbiega do −∞.

b_n= 3n + 2

−n − 2 b_n= ⁿ⁽³⁺

2 n) n(−1−²_n) = ³⁺

2 n

−1−_n² → ₋₁³ = −3.

cn=

3n³+2n²−5

−n⁴−2 cn= ¹_n⋅

3 n+²

n2−⁵

n4

−1−²

n4

→0 ⋅₋₁⁰ =0

d_n=

4ⁿ⁺²−3ⁿ

−5ⁿ+ (−1)ⁿ⁺¹ dn= (⁴₅)

n

⋅

16−(³₄)ⁿ

−1−(⁻¹₅)ⁿ →0 ⋅¹⁶₋₁ =0.

en=

4ⁿ⁺²−3ⁿ

−4ⁿ+ (−1)ⁿ⁺¹ en= ⁴

n+2

4ⁿ ⋅

1−(³₄)ⁿ

−1−(⁻¹₄)ⁿ =16 ⋅ ¹⁻⁽³⁴⁾

n

−1−(⁻¹₄)ⁿ →16 ⋅₋₁¹ = −16.

fn=

√

n + 1 −√ n

1

fn =

(

√ n+1−√

n)(√ n+1+√

n)

√ n+1+√

n = ^√n+1−n

n+1+√

n = ^{√ 1}

n+1+√

n. Ponieważ mianownik rozbiega do nieskończoności to całość zbiega do zera.

gn=

√n(√

2n + 1 −√ 3n − 1) g_n=

√n(√ 2n+1−√

3n−1)(√ 2n+1+√

3n−1)

√ 2n+1+√

3n−1 =

√n⋅(−n)

√n(

√ 2+_n¹+

√ 3−√

1n) =^{√ −n}

2+¹_n+

√ 3−√

1n. Ponieważ licznik zbiega do −∞, a mianownik do pewnej skończonej dodatniej liczby, to całość zbiega do −∞.

3. Korzystając z tego, że lim_n→∞(1 +_n¹)

n

=e, oblicz granice:

an= (1 + 1 n)

2n

a_n= (1 +_n¹)

n⋅ (1 +¹_n)

n

=e².

bn= (1 + 1 2n)

2n

b_n jest podciągiem ciągu (1 +_n¹)

n, zatem również zbiega do e.

cn= (1 +1 n)

2n+3

c_n= (1 +_n¹)

2n⋅ (1 +_n¹)

3

→e²⋅1 = e².

dn= (1 + 1 3n)

n

d_n= ³

√

(1 + _3n¹ )

3n

→ ³

√e. (Znów stosujemy fakt o podciągu).

en= (1 − 1 n)

n

e_n= (ⁿ⁻¹_n )

n

= ¹

( ⁿ

n−1)ⁿ = ¹

(1+_n−1¹ )ⁿ⁻¹⋅(1+_n−1¹ )

→ _e⋅1¹ = ¹_e.

fn= (3n + 2 3n + 1)

3n

f_n=⁽¹⁺

1 3n+1)³ⁿ⁺¹

(1+_3n+1¹ ) → ^e₁ =e. (Znów stosujemy fakt o podciągu).

4. Czy następujące ciągi są ciągami Cauchy’ego. Odpowiedź uzasadnij na podstawie definicji.

ˆ an= ⁽⁻¹⁾

n

n+1 ,

Tak. Niech ε > 0. Wtedy niech N = ⌈²_ε+1⌉. Jeśli n, m > N , to ∣a_n−a_m∣ ≤ ∣a_n∣ + ∣a_m∣ ≤ _{N +1}² ≤ε.

ˆ bn= (1 + (−1)ⁿ)ⁿ.

Nie. Niech ε = 1. Dla każdego N , niech n będzie parzystą liczbą większą od N i od 1 oraz m = n + 2.

Wtedy ∣b_n−b_m∣ =2ⁿ⁺²−2ⁿ≥2 > ε = 1.

2