Analiza matematyczna komórki pszczelej.

M A T E R I A Ł Y I R E C E N Z J E

R O C Z N I K I F IL O Z O F IC Z N E T o m X X V I , ze s zy t 3 — 1878

S T A N IS Ł A W M A Z I E R S K I

A N A L IZ A M A T E M A T Y C Z N A K O M Ó R K I P S Z C Z E L E J

J u ż w starożytności greckiej i rzym skiej (Arystoteles, P liniusz Starszy i inni) w zbudzała podziw budow ana przez pszczoły kom órka na m iód. Plaster, w którym pszczoła m a grom adzić m iód, składa się z dwóch w arstw kom órek — na pozór dość dziw nych kształtów — połączonych denkam i nie będącym i płaszczyznami. Jedna i druga w arstw a jest ta k zbudow ana, że pom iędzy ściankam i poszczególnych kom ó­

rek nie m a w olnych miejsc, a ito świadczy o ekonom icznym w ykorzystaniu miejsca ograniczonego rozm iaram i ram ki.

P rzy wyborze kształtu i rozm iarów kom órek pszczoła realizuje następujące po­

stulaty: (1) zagospodarować dany „teren” ograniczony wielkością ram ki w ta ki sposób, ażeby m ożna było um ieścić w n im m aksym alną objętość m iodu, (2) zużyć na ten cel m in im a ln ą ilość tw orzyw a (wosku). Z ba d a jm y , ja k pszczoła realizu je swój program.

W e -wstępnej fazie rozw ażań dla uproszczenia przyjm iem y, że denko kom órki jest płaskie. W ty m przypadku kom órka m a kształt graniastosłupa prawidłowego 0 podstawie sześciokąta foremnego. B u d u jąc tego rodzaju po jem nik na m iód, pszczo­

ła e lim in u je ew entualne prześw ity m iędzy kom órkam i. Prześwity takie w ystąpiłyby, gdyby graniastosłuipy zastąpić np. w alcam i o tej samej wysokości i tej samej po­

w ierzchni podstaw y (czyli o tej samej objętości).

J u ż Pitagoras odkrył, że istnieją tylko trzy figu ry prawidłowe, które „szczelnie”

do siebie przylegają, a m ianow icie: tró jk ą t, k w ad rat i sześciokąt forem ny. Nasuw a się pytanie, dlaczego pszczoła „wybiera” — spośród innych graniastosłuów — gra- niastosłup o podstawie sześciokąta foremnego. Czy przez to coś zyskuje? Aby na te pytania odpowiedzieć, zestawmy i po rów najm y ze sobą obwody trzech figur geome­

trycznych o ty m sam ym polu S: obwód tró jk ą ta równobocznego

( Pa)

kw ad ratu (P ) 1 sześciokąta foremnego (PQ ). Prosty rachunek pokazuje, że m iędzy w y m ienionym i obw odam i zachodzą następujące relacje: P /;- : P p p P o 1 : 0,905 : 0,816.

A zatem obw ód sześciokąta jest najm niejszy. W konsekwencji przy stałej wyso­

kości graniastosłupa n a jm n ie jszą pow ierzchnię boczną m a graniastosłup o podstawie sześciokąta foremnego. Jeże li więc chcemy zbudow ać graniastosłup o danej objętości i zużyć na niego m in im u m m ateriału, to m usim y w ybrać graniastosłup o podstawie sześciokąta foremnego.

N astępny stap ekonom icznej konstrukcji kom órki w yraża się w tym, że pszczoła zam iast denka płaskiego b ud uje denko złożone z trzech rom boidalnych ścianek (od­

stępujem y obecnie od wyżej przyjętego dla uproszczenia założenia, że denko grania- stosłuipa jest płaskie), dzięki czemu zyskuje dodatkow ą oszczędność na tworzywie bez zm ian y objętości naczynia. Z an a liz u jm y dokładniej ten elem ent konstrukcji.

W ty m celu ze tnijm y naroże graniastosłupa płaszczyzną^ przechodzącą przez A C K

1 5 4 MATERIAŁY I RECENZJE

S

F C

K

A B'

C'

(rysunek). W ten sposób otrzym am y ostrosłup A C K B , który ustaw iam y n a reszcie gra- niastosłuipa tak, aby B pokryw ało się z O . N atom iast A i C pozostają w ty m sa­

m ym miejscu, a K zajm ie miejsce H. Jeże li podobnych cięć dokonam y w zd łuż osi AE i EC i pościnane ostrosłupy ustaw im y podobnie ja k poprzedni, wówczas otrzymamy ostateczną postać k o m ó rk i pszczelej. Takie ustaw ienie ostrosłupów jest możliwe, gdyż A C i O B jako przekątne rom bu A O C B dzielą się n a połow y (stąd O G = B G ).

D la dwóch pozostałych ostrosłupów rozw ażania są takie same. N ależy zaznaczyć, że bez względu n a to, gdzie um ieścim y p u n k t K (dotyczy to rów nież pozostałych ostro­

słupów), objętość bryły nie ulegnie zm ianie, poniew aż utw orzona została z danego graniastosłupa o ustalonej objętości V. Nie jest zaś niezależna od w yboru tego pu nktu powierzchnia całkowita, rozpatrywanej bryły (Sc całkowite).

Nasuw a się zatem pytanie, w któ ry m m iejscu należy dokonać cięcia (określonego przez odoinek B K = O H = x), przy k tórym b ry ła o objętości V p rzy jm ie m in im aln ą powierzchnię całkow itą. Zadanie to m ożna rozwiązać za pomocą rach unku różniczko­

wego, jeśli tylko ustalim y zależność pow ierzchni Sc od x : Sc = f (x>. Łatwo zauważyć, że całkow ita powierzchnia bryły bez dolnej podstawy składa się z pow ierzchni 6 tra ­ pezów (powierzchnia boczna) oraz z 3 rom bów (pow. górna).

Jeże li bok sześciokąta foremnego oznaczymy przez r, wysokość zaś graniastosłu­

pa przez h, (x = BK ), to bez tru d u obliczym y pow ierzchnię boczną Sb = 3r (2)h—■ x).

3j/ 3 r l/4x2+ r 2 Pow ierzchnia zaś denka złożonego z 3 rom bów wynosi Sa = --- --- .

"Wobec tego powierzchnia ko m órki bez denka przyjm ie następującą wartość:

Z załączonego rysunku w idać, że od x będą zależały kąty romlbu A H C K . Wobec tego zadanie w ybrania odpowiedniego x 0 m ożna zastąpić zadaniem w yboru odpowied­

(1)

MATERIAŁY I RECENZJE 155

n ich, n a j ekonomi m niejszych k ątó w rom bu. Jeśli zatem x-owi przyporządkujem y jeden z k ą tó w rom bu A S C K , nip. a, i oprzemy się n a w zajem nych relacjach pomiędzy elem entam i tego rom bu oraz rom bu A O C B otrzym am y:

P odstaw iając x i 4x2 + r* z powyższego w zoru do (1), po prostych przekształceniach algebraicznych otrzym ujem y

dla których fu n k c ja S (a> p rzy jm u je wartości extremalne. W w arunkach fizycznych interesuje nas bezw zględna w artość kąta, która się rów na 109° 28'. W y n ik | a 1/21 = 180° e lim in u je m y , poniew aż wtedy nie byłoby rom bu. O bliczając d rug ą pochodną Sc w zględem a i podstaw iając do niej w artości (5), dochodzim y do w niosku, że dla I a I = 109° 28' pole pow ierzchni k o m ó rk i S przyjm ie wartość najm niejszą.

P aryski astronom M a ra ld i ( X V I II w.) zm ierzył k ąty rom bów i otrzym ał następu­

jące w y n ik i: 109° 28' i 70° 32'. Z kolei R . A. R e aum u r zaproponow ał m atem atykow i K ón igo w i rozw iązanie interesującego nas zadania, a m ianowicie, jakie param etry pow inno m ieć naroże, ażeby m ożna było otrzym ać m in im u m pow ierzchni przy za­

chow aniu tej samej pojemności. K orzystająe z rach un ku różniczkowego K onig w y k a ­ zał <1732 r.)„ że romiby takiego naroża p o w in ny m ieć k ąty o w artościach 10EP26’

i 70° 34'. W cztery la ta później M ac L a u rin w y k ry ł drobny b łąd w obliczeniach Kond- ga i podał popraw ione wartości owych k ątów : 109° 28' i 70° 32', a w ięc takie w a r­

tości, które odp ow iad ają rzeczywistej budow ie rom boidalnej ścianki denka kom órki pszczelej.

W końcow ym w niosku stwierdzam y, że pszczoły b u d u ją k o m órki na m ió d z po­

d ziw u godną ekonom ią. U ży w a jąc do tego celu m in im u m m a teria łu (tworzywa — wosku) osiągają m aksym alną pojem ność kom órek.

G K g 2 j / 4x2+ r2 A G £ a r 1/3

^ o _/“—^ :

( 2 ⁾

, /Jg

Po prostych przekształceniach otrzym ujem y z (2) pochodną — , która wynosi:

(3) d, _s 1

d 4

cos2 2 ^{y '} 3 ^{- tg:} _•2 ^a

P rzy ró w n ując ostatnie w yrażenie (3) do zera otrzym ujem y rów nanie:

(4)

R o zw iązanie tego ró w n a n ia pozw ala wyznaczyć k ąty

(5) Q i /2 = ±180° i ct3/4 = ±10S°28’,