2. Udowodni¢, »e dla ka»dego f = a 0 + . . . + a n X n ∈ K[X] , je±li a n 6= 0 , to:

Algebra 2B, Lista 7

Niech p b¦dzie liczb¡ pierwsz¡, m, n ∈ N >0 , F n wielomianem minimalnym e

nad Q i K ciaªem.

1. Niech R b¦dzie pier±cieniem charakterystyki p. Udowodni¢, »e dla ka»dych a, b ∈ R mamy (a + b) ^p = a ^p + b ^p .

2. Udowodni¢, »e dla ka»dego f = a 0 + . . . + a _n X ⁿ ∈ K[X] , je±li a n 6= 0 , to:

f = a _n Y

a∈K

(X − a) ^mlt

^(a) , gdzie mlt f (a) = 0 , je±li f(a) 6= 0.

3. Niech ϕ(n) := |Z ^∗ _n | . Udowodni¢, »e:

(a) ϕ(p ⁿ ) = p ⁿ − p ⁿ⁻¹ .

(b) Je±li (n, m) = 1, to ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m).

4. Rozªo»y¢ (Z 2

) ^∗ na produkt grup cyklicznych.

5. Nast¦puj¡ce wielomiany rozªo»y¢ nad Q na iloczyn wielomianów nierozkªadal- nych:

(a) X ⁸ − 1 , (b) X ¹² − 1 ,

(c) X ¹⁶ − 1 .

6. Napisa¢ jawnie (tzn. podaj¡c wspóªczynniki caªkowite) nast¦puj¡ce wielomiany (odpowiedzi uzasadni¢!):

(a) F ₆ , (b) F ₁₀ ,

(c) F ₁₅ , (d) F _p

, (e) F _p

, (f) F _2p .

1