Bardzo medialne zdj˛ecie

Rzadkie gazy bozonów

Tomasz Sowi ´nski

Proseminarium Fizyki Teoretycznej

15 listopada 2004

Bardzo medialne zdj˛ecie

Rok 1995. Pierwsza kondensacja. Zaobserwowana w przestrzeni p˛edów.

Eksperyment grupy prof. Andersona dla atomów rubidu (

Rb ).

Plan

Opis układu wielu cz ˛ astek Doskonałe gazy bozonów

Swobodne

w pułapce harmonicznej

Bozony oddziałuj ˛ ace w pułapce harmonicznej

Krótkie podsumowanie

Układ wielu cz ˛astek

Aby opisywa´c układ wielu atomów trzeba poda´c:

Hamiltonian układu H = X

i

 p ² _i

2m + U _ext (r _i )



+ X

i

X

j

V (|r ⁱ − r ^j |) Dodatkowe reguły (np. zakaz Pauliego dla fermionów)

Aby przewidzie´c jakie´s do´swiadczenia trzeba stosowa´c uproszczenia

zajmowa´c si˛e tylko stanami stacjonarnymi

pomin ˛ a´c oddziaływanie pomi˛edzy atomami

pomin ˛ a´c wszystko bez swobodnej dynamiki

Opis układu bozonów

Do´swiadczalnie łatwo jest utrzymywa´c temperatur˛e i obj˛eto´s´c układu. Do´s´c trudno stał ˛ a liczb˛e cz ˛ astek Stosujemy zespół wielki kanoniczny ( ^T , ^V , ^µ )

´srednie obsadzenie stanu:

n _k = 1

e ^β(

^−µ) − 1

Całkowita liczba cz ˛ astek i całkowita energia N = X

k

n _k E = X

k

 _k n _k

Potencjał chemiczny bozonów: µ ∈ (−∞, 0) .

Swobodny gaz doskonały

Swobodny gaz bozonów

Hamiltonian

H =

N

X

i=1

p ² _i 2m

Nieunormowane stany własne - problem z sumowaniem Stany własne _H s ˛ a stanami własnymi p˛edu

Bedziemy sumowa´c „po p˛edach”

X

k

= g X

p

→ g  L h

 d Z

d ^d p Energia w funkcji p˛edu

 = |p| ²

Swobodny gaz bozonów

Całkowita liczba cz ˛ astek

N = X

k

n _k → gV h ³

Z

n(p)d ³ p

= gV

h ³ 4π

Z ∞ 0

p ² dp exp h

β( _2m ^p

− µ) i

− 1

= 2 ^5/2 πgV m ^3/2 h ³

Z ∞ 0

 ^1/2 d

e ^β e ^−βµ − 1

I ten wynik powinien nas martwi´c!

Swobodny gaz bozonów

Całkowita liczba cz ˛ astek

N = X

k

n _k → gV h ³

Z

n(p)d ³ p

= gV

h ³ 4π

Z ∞ 0

p ² dp exp h

β( _2m ^p

− µ) i

− 1

= 2 ^5/2 πgV m ^3/2 h ³

Z ∞ 0

 ^1/2 d

e ^β e ^−βµ − 1

I ten wynik powinien nas martwi´c!

Swobodny gaz bozonów

Dlaczego?

N = 2 ^5/2 πgV m ^3/2 h ³

Z ∞ 0

 ^1/2 d

e ^β e ^−βµ − 1 dla _{µ → −∞} mamy _{N → 0}

dla ^{µ = 0} mo˙zna wyliczy´c: _{N ∼ V T} ^3/2 Wniosek

Najwi˛eksza liczba bozonów jaka mo˙ze si˛e pomie´sci´c w naczyniu o obj˛eto´sci V jest

sko´nczona i proporcjonalna do T

. W szczególno´sci w granicy T → 0 liczba

bozonów wynosi 0. Jest to sprzeczne z natur ˛ a bozonów, które mog ˛ a obsadza ´c

dowolny stan w dowolnej ilo´sci.

Swobodny gaz bozonów

Dlaczego?

N = 2 ^5/2 πgV m ^3/2 h ³

Z ∞ 0

 ^1/2 d

e ^β e ^−βµ − 1 dla _{µ → −∞} mamy _{N → 0}

dla ^{µ = 0} mo˙zna wyliczy´c: _{N ∼ V T} ^3/2 Wniosek

Najwi˛eksza liczba bozonów jaka mo˙ze si˛e pomie´sci´c w naczyniu o obj˛eto´sci V jest

sko´nczona i proporcjonalna do T

. W szczególno´sci w granicy T → 0 liczba

bozonów wynosi 0. Jest to sprzeczne z natur ˛ a bozonów, które mog ˛ a obsadza ´c

dowolny stan w dowolnej ilo´sci.

Swobodny gaz bozonów

Prawidłowe rozumowanie

N − N ⁰ = 2 ^5/2 πgV m ^3/2 h ³

Z ∞ 0

 ^1/2 d

e ^β e ^−βµ − 1

dla µ = 0 i T → 0 mamy N − N

→ 0 co oznacza tylko tyle, ˙ze w wszystkie bozony s ˛ a w stanie podstawowym!

Kondensacja Bosego-Einsteina temperatura krytyczna ^T 0

T ₀ = h ² 2πmk _B

n ^2/3

(2ζ( ³ ₂ )) ^2/3

Swobodny gaz bozonów

dla ^{T > T} 0 gaz zachowuje si˛e jak typowy gaz doskonały z niewielkimi poprawkami kwantowymi

dla ^{T < T} ₀

makroskopowe obsadzenie stanu podstawowego

N ₀ = N 1 −  T T ₀



!

potencjał chemiczny ^{µ = 0}

To oznacza m.in., ˙ze dokładanie kolejnych atomów do kondensatu nie kosztuje

nic energii

Swobodny gaz bozonów

dla ^{T > T} 0 gaz zachowuje si˛e jak typowy gaz doskonały z niewielkimi poprawkami kwantowymi

dla ^{T < T} ₀

makroskopowe obsadzenie stanu podstawowego

N ₀ = N 1 −  T T ₀



!

potencjał chemiczny ^{µ = 0}

To oznacza m.in., ˙ze dokładanie kolejnych atomów do kondensatu nie kosztuje

nic energii

Gaz doskonały w pułapce

Realia do´swiadczalne

Realia do´swiadczalne

Cewka Helmholtza

Energia oddziaływania momentu magnetycznego z polem: U (r) ∼ r ˆ V r

Nieoddziałuj ˛ace atomy w pułapce

hamiltonian si˛e rozpada na sum˛e

H = X

i

H ⁱ H ⁱ = p ² _i

2m + V _ext (r _i )

Pułapki magnetyczne atomów alkalicznych s ˛ a prawie jak pułapki harmoniczne

V _ext (r) = m

2 ω _x ² x ² + ω _y ² y ² + ω _z ² z ²
Warto´sci własne hamiltonianu swobodnego:

1 1 1

Nieoddziałuj ˛ace atomy w pułapce

Stan podstawowy jest iloczynowy φ(r ₁ , ...r _N ) = Y

i

ϕ(r _i ) ϕ(r _i ) =  mω

π~

 1/2

exp 

− m

2~ (ω _x x ² + ω _y y ² + ω _z z ² )  rozkład g˛esto´sci ^N bozonów:

n(r) = N |ϕ(r)|

rozmiary chmury bozonowej

a _ht =

 ~ mω

 1/2

a eksperyment ≈ 1µm

Nieoddziałuj ˛ace atomy w pułapce

Całkowita liczba cz ˛ astek układu N = g X

n

,n

,n

1

exp[β( _n

_n

_n

− µ)] − 1 Wydzielamy obsadzenie stanu podstawowego

N − N ⁰ = g X

n

,n

,n

6=0

1

exp[β( _n

_n

_n

− µ)] − 1 I zamieniamy na całkowanie (musi by´c ^k _{B T  ~Ω} )

N − N ⁰ = g

Z _∞

dn _x dn _y dn _z

Nieoddziałuj ˛ace atomy w pułapce

Kondensacja atomów w pułapce

N − N ⁰ = ζ(3)  k _B T

~ Ω

 3

Ω = √

ω _x ω _y ω _z temperatura krytyczna

gdy T → T

to obsadzenie makroskopowe stanu podstawowego znika N

→ 0

k _B T ₀ = ~Ω

 N ζ(3)



= 0.94 ~Ω N ^1/3 Nowa granica termodynamiczna

N → ∞ oraz Ω → 0 tak ˙ze NΩ

= const .

N ₀ = N 1 −  T T

 3 !

Małe porównanie

Wielko´s´c Gaz swobodny Gaz w pułapce

Temp. krytyczna T

=

2πmk_B

N^2/3

(2V ζ(³₂))^2/3

T

=

k_B





Obsadz. stanu podst. N

N = 1 − 

T T

 3/2

N

N = 1 − 

T T

 3

Energia układu

BT0

=

2ζ(3/2)





E N k_BT0

=

ζ(3)





Granica termodyn. N

V = const N Ω ³ = const

Kondensacja D > 2 D > 1

Eksperyment vs. teoria

Ułamek atomów kondesuj ˛ acych w funkcji temperatury dla układu w pułapce harmonicznej.

Eksperyment grupy prof. Enshera dla 40 ty´s. atomów.

Eksperyment vs. teoria

G˛esto´s´c kolumnowa dla 80 ty´s. atomów sodu (

Na ).

Eksperyment grupy prof. Hau z 1998 roku.

Gaz rzeczywisty

teoria pola ´sredniego

Układ oddziałuj ˛acych bozonów

hamiltonian układu w j˛ezyku drugiej kwantyzacji H = ˆ

Z

dr Ψ ^† (r)



− ~ ²

2m ∇ ² + V _ext (r)



Ψ(r) + +

Z

dr Z

dr ⁰ Ψ ^† (r)Ψ ^† (r ⁰ )V (r − r ⁰ )Ψ(r ⁰ )Ψ(r) Ewolucja operatorów pola

i~∂ _t Ψ(r, t) = h

Ψ, ˆ H i

=

= h

− ^~ _2m

^∇

+ V _ext (r) + R dr ⁰ Ψ ^† (r ⁰ , t)V (r ⁰ − r)Ψ(r ⁰ , t) i

Ψ(r, t)

Równanie Grossa-Pitaevskiiego

Przybli˙zenie oddziaływania punktowego

V (r ⁰ − r) = 4π~ ² σ

m δ(r ⁰ − r)

Takie przybli˙zenie oznacza, ˙ze gaz musi by´c bardzo rzadki i wtedy operator pola mo˙zemy zast ˛ api´c przez klasyczne pole.

Równanie na ewolucje bardzo si˛e upraszcza

i~∂ _t Φ(r, t) =



− ~ ² ∇ ²

2m + V _ext (r) + λ |Φ(r, t)| ²



Φ(r, t)

Czy to ma sens??

Gaz powinien by´c rzadki, tzn.

n|σ| ³  1

σ - parametr zderzenia, n - ´srednia g˛esto´s´c gazu

Dane do´swiadczalne

Co? Kto? Kiedy? ^σ [nm]

23 N a Tiesinga 1996 2.75

87 Rb Boesten 1997 5.77

7 Li Abraham 1995 -1.45

G˛esto´sci s ˛ a w przedziale 10

- 10

cm

co oznacza,

˙ze n|σ|

jest mniejsze ni˙z 10

.

Czy to ma sens??

Gaz powinien by´c rzadki, tzn.

n|σ| ³  1

σ - parametr zderzenia, n - ´srednia g˛esto´s´c gazu

Dane do´swiadczalne

Co? Kto? Kiedy? ^σ [nm]

23 N a Tiesinga 1996 2.75

87 Rb Boesten 1997 5.77

7 Li Abraham 1995 -1.45

G˛esto´sci s ˛ a w przedziale 10

- 10

cm

co oznacza,

˙ze n|σ|

jest mniejsze ni˙z 10

.

Zasada wariacyjna

Zasada wariacyjna dla Równania G-P

i~ ∂

∂t Φ(r, t) = δE δΦ ^∗ Funkcjonał energii

E[Φ] = Z

dr  ~ ²

2m |∇Φ| ² + V _ext (r) |Φ| ² + λ

2 |Φ| ⁴



Jest to zatem kwantowa wersja teorii „ ^{φ 4} ”.

Stan stacjonarny

Równanie Grossa-Pitaevskiego

i~∂ _t Φ(r, t) =



− ~ ² ∇ ²

2m + V _ext (r) + λ |Φ(r, t)| ²



Φ(r, t) Rozwi ˛ azania szukamy w postaci:

Φ(r, t) = φ(r) exp(−iµt/~) Równanie stacjonarne



− ~ ² ∇ ²

2m + V _ext (r) + λ |φ(r)| ²



φ(r) = µφ(r)

Stan stacjonarny

Parametry bezwymiarowe

a → jednostka długo´sci a ⁻³ → jednostka g˛esto´sci

~ Ω → jednostka energii Równanie G-P w tych jednostkach



− ˜ ∇ ² + ˜ r ² + 8π N σ

a φ ˜ ² (˜r)



φ(˜r) = 2˜ ˜ µ ˜ φ(˜r)

Kluczowy jest parametr bezywmiarowy ^{N σ} _a

Rozwi ˛azania numeryczne

σ < 0

Rozwi ˛ azanie GPE dla sił przyci ˛ agaj ˛acych

Rozwi ˛azania numeryczne

σ > 0

Rozwi ˛azania numeryczne

G˛esto´s´c kolumnowa dla 80 ty´s. atomów sodu (

Na ).

Linia ci ˛ agła - rozwi ˛ azanie numeryczne GPE!

Podsumowanie

Kondensacja Bosego-Einsteina jest obserwowalna do´swiadczalnie

Opis jako´sciowy mo˙zliwy jest przy pomini˛eciu wzajemnego oddziaływania

W analizie ilo´sciowej nie mo˙zna pomin ˛ a´c oddziaływania atom-atom gdy˙z prowadzi to wniosków sprzecznych z do´swiadczeniem

Bardzo prost ˛ a i dobr ˛ a analiz˛e mo˙zna przeprowadzi´c metod ˛ a pola ´sredniego wprowadzaj ˛ ac tzw. równanie Grossa-Pitaevskiego

Równanie Grossa-Pitaevskiego pozwala równie˙z

bardzo dobrze opisywa´c dynamik˛e kondensatu, a nie