Wyk lad 1 Poj ecie grupy

Literatura:

1. R.R.Andruszkiewicz, ,,Wyk lady z algebry og´olnej I”, Wydawnictwo UwB, Bia lystok 2005.

2. Cz. Bagi´nski, ,,Wstep do teorii grup”, Wydawnictwo Script, Warszawa 2002._, 3. M. Bry´nski i J. Jurkiewicz, ,,Zbi´or zada´n z algebry”, PWN, Warszawa 1978.

4. K. Szymiczek, ,,Zbi´or zada´n z teorii grup”, PWN, Warszawa 1989.

5. J. Rutkowski, ,,Algebra abstrakcyjna w zadaniach”, PWN, Warszawa 2006.

Oznaczenia:

Dodatnie liczby ca lkowite nazywamy liczbami naturalnymi. Zbi´or wszystkich liczb na- turalnych oznaczamy symbolem N. Zatem N = {1, 2, 3, . . .}. Ponadto N0 = {0, 1, 2, 3, . . .}.

Dla m ∈ N i liczby ca lkowitej a przez [a]m oznaczamy reszte z dzielenia a przez m._, UWAGA! Ten wyk lad opiera sie bardzo mocno na znajomo´sci Elementarnej teorii_, liczb! Bedziemy te˙z wykorzystywali wiedz_, e z Algebry liniowej i troszk_, e wiedzy z geometrii_, elementarnej ze szko ly ´sredniej.

Wyk lad 1 Poj ecie grupy

Definicja 1.1. Dzia laniem w niepustym zbiorze A nazywamy ka˙zde odwzorowanie zbioru A × A w zbi´or A. Je˙zeli ◦ jest dzia laniem w zbiorze A i a, b ∈ A, to ◦((a, b)) oznaczamy przez a ◦ b i nazywamy wynikiem dzia lania ◦ na parze (a, b).

Dzia lania bedziemy oznaczali symbolami: ◦, ·, +, ⊕, itd._,

Definicja 1.2. Systemem algebraicznym nazywamy uk lad postaci (A,◦₁, . . . ,◦_n, e₁, . . . , e_k), w kt´orym A jest niepustym zbiorem, ◦₁, . . . , ◦_n sa dzia laniami w A oraz e_{, 1}, . . . , e_k ∈ A sa wyr´_, o˙znionymi elementami zbioru A.

Dzia laniu w zbiorze sko´nczonym A mo˙zna przyporzadkowa´_, c tabelke_,

◦ a b c . . .

a a ◦ a a ◦ b a ◦ c . . . b b ◦ a b ◦ b b ◦ c . . . c c ◦ a c ◦ b c ◦ c . . . ... ... ... ... . ..

wpisujac w lewym g´_, ornym rogu oznaczenie dzia lania i wypisujac dwukrotnie elementy_, zbioru A: raz w pierwszym rzedzie poziomym i raz w pierwszym rz_, edzie pionowym, a_, nastepnie wpisuj_, ac na przeci_, eciu rz_, edu poziomego odpowiadaj_, acego elementowi a i rz_, edu_, pionowego odpowiadajacego elementowi b wynik omawianego dzia lania na parze (a, b)._, Odwrotnie, ka˙zda tabelka, kt´ora w pierwszym rzedzie poziomym i pierwszym rz_, edzie_, pionowym zawiera wszystkie elementy danego sko´nczonego zbioru A napisane tylko jeden raz, a na pozosta lych miejscach ma wpisane w dowolny spos´ob pewne elementy zbioru A, okre´sla w A dzia lanie. Wynikiem tego dzia lania na parze (a, b) jest element stojacy_, w rzedzie poziomym odpowiadaj_, acym a i rz_, edzie pionowym odpowiadaj_, acym b. Wynika_, stad w szczeg´_, olno´sci, ˙ze w zbiorze n-elementowym mo˙zna okre´sli´c dok ladnie nⁿ² r´o˙znych dzia la´n.

Zagadka 1. Wypisz tabelki wszystkich dzia la´n w zbiorze dwuelementowym A = {0, 1}.

Zagadka 2. Za l´o˙zmy, ˙ze potrafimy wypisa´c jedna tabelk_, e dzia lania w zbiorze 3-_, elementowym A w ciagu 10 sekund. Ile czasu zajmie nam wypisanie tabelek wszystkich_, dzia la´n w tym zbiorze?

Niech ◦ bedzie dzia laniem w zbiorze A. Powiemy, ˙ze_,

(1) dzia lanie ◦ jest laczne, je˙zeli ∀_{, a,b,c∈A} (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c),

(2) dzia lanie ◦ jest przemienne, je˙zeli ∀_a,b∈Aa ◦ b = b ◦ a,

(3) e ∈ A jest elementem neutralnym dzia lania ◦, je˙zeli ∀_a∈Ae ◦ a = a ◦ e = a.

Zagadka 3. Czy dzia lanie ◦ w zbiorze N dane wzorem a ◦ b = a^b jest laczne? Czy ◦_, jest przemienne? Czy ◦ posiada element neutralny?

Zagadka 4. Jak na podstawie tabelki dzia lania w zbiorze sko´nczonym rozpozna´c element neutralny tego dzia lania?

Twierdzenie 1.3. Je˙zeli ◦ jest dzia laniem lacznym w zbiorze A, to wynik tego_, dzia lania na uk ladzie element´ow a₁, a₂, . . . , a_n ∈ A nie zale˙zy od sposobu rozstawienia nawias´ow.

Dow´od. Zastosujemy indukcje wzgl_, edem n przy dowolnych a_{, 1}, . . . , a_n ∈ A. Dla n = 1 przyjmijmy formalnie, ˙ze wynik dzia lania ◦ na uk ladzie a1 jest r´owny a1. Dla n = 2 teza te˙z zachodzi, bo mamy tylko jedna mo˙zliwo´s´_, c: a₁ ◦ a₂. Dla n = 3 mamy dwie mo˙zliwo´sci rozstawienia nawias´ow w uk ladzie a₁, a₂, a₃: a₁◦ (a₂◦ a₃) i (a₁◦ a₂) ◦ a₃, kt´ore prowadza do tego samego wyniku na mocy l_, aczno´sci dzia lania ◦ i ten wynik oznaczymy_, przez a₁ ◦ a₂◦ a₃.

Niech teraz n > 3 bedzie tak_, a liczb_, a naturaln_, a, ˙ze dla ka˙zdego naturalnego k < n wynik_, dzia lania ◦ na dowolnych elementach x1, . . . , xk ∈ A nie zale˙zy od sposobu nawias´ow i jego warto´s´c oznaczmy symbolem x₁ ◦ . . . ◦ x_k. We´zmy dowolne a₁, a₂, . . . , a_n ∈ A.

Niech a bedzie wynikiem dzia lania ◦ na uk ladzie element´_, ow a₁, a₂, . . . , a_n przy pewnym rozstawieniu nawias´ow. Je´sli w tym rozstawieniu nawias´ow za elementem a_n z prawej strony stoi nawias ), to a = b ◦ (... ◦ a_n)...), gdzie b jest wynikiem dzia lania ◦ na uk ladzie a₁, . . . , a_k dla pewnego naturalnego k < n − 1, za´s c = (... ◦ a_n)...) jest wynikiem dzia lania

◦ na uk ladzie ak+1, . . . , an. Zatem na mocy za lo˙zenia indukcyjnego i laczno´sci dzia lania_,

◦ mamy, ˙ze a = b ◦ ((a_k+1 ◦ . . . ◦ a_n−1) ◦ a_n) = (b ◦ (a_k+1 ◦ . . . ◦ a_n−1)) ◦ a_n = (a₁ ◦ . . . ◦ a_n−1) ◦ a_n. Je´sli za´s za elementem a_n nie ma nawiasu ), to a = c ◦ a_n, gdzie c jest wynikiem dzia lania ◦ na uk ladzie a₁, . . . , a_n−1 przy pewnym rozstawieniu nawias´ow.

Zatem z za lo˙zenia indukcyjnego c nie zale˙zy od sposobu rozstawienia nawias´ow, wiec_, c = a₁◦ . . . ◦ a_n−1 i a = (a₁◦ . . . ◦ a_n−1) ◦ a_n. Ko´nczy to dow´od tego, ˙ze wynik dzia lania

◦ na uk ladzie element´ow a1, a2, . . . , an nie zale˙zy od sposobu rozstawienia nawias´ow.  Twierdzenie 1.3 pozwala na pomijanie nawias´ow dla dzia lania lacznego ◦ i u˙zywanie_, zapisu a₁◦ a₂◦ . . . ◦ a_n dla dowolnej liczby naturalnej n. Ponadto w´owczas dla a ∈ A i n ∈ N mo˙zemy stosowa´c zapis aⁿ = a ◦ a ◦ . . . ◦ a

| {z }

n

(oczywi´scie a¹ = a).

Wniosek 1.4. Je˙zeli ◦ jest dzia laniem lacznym w zbiorze A, to dla dowolnego a ∈ A_, i dla dowolnych n, m ∈ N:

(i) aⁿ◦ a^m = a^n+m oraz (ii) (aⁿ)^m = a^nm.

Dow´od. (i) W zapisie aⁿ◦ a^m element a wystepuje dok ladnie n + m razy, wi_, ec na_,

mocy Twierdzenia 1.3, aⁿ◦ a^m = a^n+m.

(ii) W zapisie (aⁿ)^m element aⁿ wystepuje dok ladnie m razy, za´s w zapisie a_, ⁿ element a wystepuje dok ladnie n razy. Zatem w zapisie (a_, ⁿ)^m element a wystepuje dok ladnie nm_, razy, wiec na mocy Twierdzenia 1.3, (a_, ⁿ)^m = a^nm. 

Wniosek 1.5. Niech ◦ bedzie dzia laniem l_, acznym w zbiorze A i niech a, b ∈ A b_, ed_, a_, takie, ˙ze a ◦ b = b ◦ a. Wtedy dla dowolnych m, n ∈ N:

(i) a ◦ b^m = b^m◦ a, (ii) aⁿ◦ b^m = b^m◦ aⁿ, (iii) (a ◦ b)ⁿ= aⁿ◦ bⁿ.

Dow´od. (i). Stosujemy indukcje wzgl_, edem m. Dla m = 1 teza wynika wprost z_, za lo˙zenia. Za l´o˙zmy, ˙ze dla pewnego m ∈ N jest a ◦ b^m= b^m◦ a. Wtedy na mocy Wniosku 1.4, b^m+1 = b^m ◦ b, wiec na mocy l_, aczno´sci ◦ i za lo˙zenia indukcyjnego, a ◦ b_, ^m+1 = (a ◦ b^m) ◦ b = (b^m◦ a) ◦ b = b^m◦ (a ◦ b) = b^m ◦ (b ◦ a) = (b^m ◦ b) ◦ a = b^m+1◦ a. Zatem teza zachodzi dla liczby m + 1.

(ii). Wynika od razu z (i). (iii). Stosujemy indukcje wzgl_, edem n. Dla n = 1 teza jest_, oczywista. Za l´o˙zmy, ˙ze teza zachodzi dla pewnego n ∈ N. Wtedy na mocy Twierdzenia 1.3 i za lo˙zenia indukcyjnego oraz (i), (a ◦ b)ⁿ⁺¹ = (a ◦ b)ⁿ◦ (a ◦ b) = aⁿ◦ bⁿ ◦ a ◦ b = aⁿ◦ a ◦ bⁿ◦ b = aⁿ⁺¹◦ bⁿ⁺¹, czyli teza zachodzi dla liczby n + 1. 

Zagadka 5. Spo´sr´od dzia la´n z zagadki 1 wypisz wszystkie dzia lania (a) laczne, (b) przemienne, (c) posiadaj_, ace element neutralny._,

Uwaga 1.6. Latwo zauwa˙zy´c, ˙ze dzia lanie w zbiorze sko´nczonym jest przemienne wtedy i tylko wtedy, gdy jego tabelka jest symetryczna wzgledem g l´_, ownej przekatnej. W_, szczeg´olno´sci w zbiorze n-elementowym istnieje dok ladnie n^n(n+1)2 r´o˙znych dzia la´n prze- miennych.

Uwaga 1.7. Ka˙zde dzia lanie w zbiorze A mo˙ze posiada´c co najwy˙zej jeden element neutralny. Rzeczywi´scie, niech e i f bed_, a elementami neutralnymi dzia lania ◦ w zbiorze_, A. Wtedy w szczeg´olno´sci e ◦ a = a oraz b ◦ f = b dla dowolnych a, b ∈ A. Podstawiajac_, a = f i b = e uzyskamy stad, ˙ze e ◦ f = f i e ◦ f = e, sk_, ad e = f ._,

Definicja 1.8. Grupa nazywamy system algebraiczny (G, ◦, e) spe lniaj_, acy nast_, epuj_, ace_, warunki (aksjomaty):

(G1.) ∀_a,b,c∈G (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c), (G2.) ∀_a∈G e ◦ a = a ◦ e = a,

(G3.) ∀a∈G∃x∈Ga ◦ x = x ◦ a = e.

Definicja 1.9. Grupe (G, ◦, e) nazywamy abelow_, a, je˙zeli dzia lanie ◦ jest przemienne._, Nazwa grupa abelowa pochodzi od nazwiska norweskiego matematyka Nielsa Henrika Abela (1802-1829), kt´ory jako pierwszy prowadzi l systematyczne badania wykorzystujace_, w lasno´sci grup przemiennych.

Uwaga 1.10. W dowolnej grupie (G, ◦, e) zachodza nast_, epuj_, ace prawa skracania r´_, ow- no´sci:

(I) ∀_a,b,c∈G [a ◦ b = a ◦ c ⇒ b = c] oraz (II) ∀_a,b,c∈G [b ◦ a = c ◦ a ⇒ b = c].

Rzeczywi´scie, na mocy (G3) istnieje x ∈ G taki, ˙ze x ◦ a = a ◦ x = e, wiec je˙zeli_, a ◦ b = a ◦ c, to x ◦ (a ◦ b) = x ◦ (a ◦ c), skad z (G1) (x ◦ a) ◦ b = (x ◦ a) ◦ c, czyli e ◦ b = e ◦ c._, Zatem z (G2) b = c, co dowodzi (I). Dow´od (II) jest analogiczny.

Uwaga 1.11. Element x w aksjomacie (G3) jest wyznaczony jednoznacznie przez element a, gdy˙z je˙zeli dodatkowo y ∈ G spe lnia warunek a ◦ y = y ◦ a = e, to a ◦ x = a ◦ y, wiec z Uwagi 1.10, x = y. Ten dok ladnie jeden element x nazywamy elementem_, odwrotnym (przeciwnym) do a i oznaczamy przez a⁻¹ (przez −a, gdy ◦ = +). Z Uwagi 1.8 wynika od razu, ˙ze x jest elementem odwrotnym do a wtedy i tylko wtedy, gdy a ◦ x = e.

Poniewa˙z a⁻¹◦ a = e, wiec a jest elementem odwrotnym do a_, ⁻¹, skad mamy wz´_, or (a⁻¹)⁻¹ = a dla ka˙zdego a ∈ G.

Ponadto dla dowolnych a, b ∈ G zachodzi wz´or:

(a ◦ b)⁻¹ = b⁻¹◦ a⁻¹.

Rzeczywi´scie, wystarczy zauwa˙zy´c, ˙ze (a◦b)◦(b⁻¹◦a⁻¹) = e. Z laczno´sci dzia lania ◦ mamy_, (a ◦ b) ◦ (b⁻¹◦ a⁻¹) = ((a ◦ b) ◦ b⁻¹) ◦ a⁻¹= (a ◦ (b ◦ b⁻¹)) ◦ a⁻¹ = (a ◦ e) ◦ a⁻¹ = a ◦ a⁻¹ = e.

Przez prosta indukcj_, e uzyskujemy st_, ad, ˙ze dla dowolnej liczby naturalnej n i dla do-_, wolnych element´ow a₁, . . . , a_n grupy G zachodzi wz´or:

(a1◦ a2◦ . . . ◦ an)⁻¹ = a⁻¹_n ◦ . . . ◦ a⁻¹₂ ◦ a⁻¹₁ .

Uwaga 1.12. Niech (G, ◦, e) bedzie grup_, a i niech a ∈ G. Oznaczmy przez l_{, a} odwzo- rowanie zbioru G w siebie dane wzorem l_a(x) = a ◦ x dla x ∈ G oraz oznaczmy przez r_a odwzorowanie zbioru G w siebie dane wzorem ra(x) = x ◦ a dla x ∈ G. Poka˙zemy,

˙ze w´owczas l_a i r_a sa bijekcjami G na G._, Z Uwagi 1.10 wynika od razu, ˙ze prze- kszta lcenia l_a i r_a sa r´_, o˙znowarto´sciowe. Ponadto dla ka˙zdego b ∈ G jest l_a(a⁻¹ ◦ b) =

= a ◦ a⁻¹◦ b = e ◦ b = b oraz r_a(b ◦ a⁻¹) = b ◦ a⁻¹◦ a = b ◦ e = b, wiec przekszta lcenia l_{, a} i r_a sa ,,na”._,

Rzedem grupy (G, ◦, e) nazywamy moc zbioru G._, Rzad grupy (G, ◦, e) b_, edziemy_, oznaczali przez |G|. Je´sli |G| jest liczba naturaln_, a, to m´_, owimy, ˙ze grupa (G, ◦, e) jest sko´nczona. Z Uwagi 1.12 wynika, ˙ze je˙zeli (G, ◦, e) jest grupa sko´_, nczona, to w ka˙zdym_, wierszu i w ka˙zdej kolumnie tabelki dzia lania ◦ wystepuj_, a wszystkie elementy zbioru G._,

Zagadka 6. W oparciu o podane wy˙zej wiadomo´sci utw´orz tabelke dzia lania ◦ w_, zbiorze 3-elementowym A = {a, b, c} wiedzac, ˙ze (A, ◦, a) jest grup_, a._,

1 Ca lkowita potega elementu grupy_,

I. Niech (G, ·, e) bedzie grup_, a. W´_, owczas dla a ∈ G, a⁻¹ jest elementem odwrotnym do a. Ca lkowita pot_, eg_, e elementu a okre´slamy nast_, epuj_, aco:_,

1. a⁰ = e, 2. a¹ = a,

3. aⁿ⁺¹ = aⁿ· a dla n = 1, 2, . . . 4. a⁻ⁿ= (a⁻¹)ⁿ dla n = 1, 2, . . .

Zatem dla n = 1, 2, . . .

aⁿ= a · a · . . . · a

| {z }

n

.

Twierdzenie 1.13. Dla dowolnego elementu a grupy (G, ·, e) i dla dowolnych k, l ∈ Z zachodza wzory:_,

(a) a^k· a^l = a^k+l, (b) (a^k)^l = a^kl.

Dow´od. (a). Na mocy Wniosku 1.4 wz´or (a) zachodzi dla wszystkich k, l ∈ N. Dla k = 0, a^k · a^l = e · a^l = a^l = a^k+l. Dla l = 0, a^k · a^l = a^k · e = a^k = a^k+l. Je´sli k, l < 0, to k = −n i l = −m dla pewnych m, n ∈ N. Zatem na mocy Wniosku 1.4, a^k· a^l = a⁻ⁿ· a^−m = (a⁻¹)ⁿ· (a⁻¹)^m = (a⁻¹)^n+m = a^−(n+m) = a^k+l. Pozostaje zatem do rozwa˙zenia przypadek, gdy liczby ca lkowite k i l sa r´_, o˙znych znak´ow. Ale a · a⁻¹ = a⁻¹· a, wiec na mocy Wniosku 1.5 mo˙zemy zak lada´_, c, ˙ze k > 0 i l < 0. Stad l = −m dla pewnego_, m ∈ N i k ∈ N. Je´sli k = m, to na mocy Wniosku 1.5, a^k· a^l = a^k· a^−k = a^k· (a⁻¹)^k = (a·a⁻¹)^k= e^k = e = a^k+l. Je´sli k > m, to a^k·a^l= a^k−m·a^m·a^−m = a^k−m·e = a^k−m = a^k+l. W ko´ncu, je´sli k < m, to a^k· a^l= a^k· a^−k· a^−(m−k) = e · a^k−m = a^k−m = a^k+l. Ko´nczy to dow´od wzoru (a).

(b). We´zmy dowolne ustalone k ∈ Z. Wtedy (a^k)⁰ = e i a^k·0 = a⁰ = e, wiec wz´_, or (b) zachodzi dla l = 0. Za l´o˙zmy, ˙ze wz´or (b) zachodzi dla pewnego l ∈ N0. Stad i na mocy_, (a): (a^k)^l+1 = (a^k)^l· a^k= a^kl· a^k = a^kl+k = a^k(l+1), czyli wz´or (b) zachodzi w´owczas tak˙ze dla liczby l + 1. Zatem przez indukcje mamy, ˙ze wz´_, or (b) zachodzi dla dowolnych k ∈ Z i l ∈ N0. Dalej, na mocy (a) mamy, ˙ze a^k· a^−k = a^k−k = a⁰ = e, wiec (a_, ^k)⁻¹ = a^−k. Wobec tego dla ka˙zdego n ∈ N: (a^k)⁻ⁿ = [(a^k)⁻¹]ⁿ = (a^−k)ⁿ = a^(−k)n = a^k(−n), czyli wz´or (b) zachodzi te˙z dla wszystkich ca lkowitych liczb ujemnych l. Ko´nczy to dow´od wzoru (b).



Twierdzenie 1.14. Niech a, b bed_, a elementami grupy G takimi, ˙ze a · b = b · a._, W´owczas dla dowolnych k, l ∈ Z zachodza wzory:_,

(a) a^l· b^k= b^k· a^l, (b) (a · b)^k = a^k· b^k.

Dow´od. Mno˙zac r´_, owno´s´c a · b = b · a z lewej strony przez a⁻¹, a nastepnie mno˙z_, ac_, otrzymana r´_, owno´s´c z lewej strony przez a⁻¹ uzyskamy, ˙ze b · a⁻¹ = a⁻¹ · b. Podobnie pokazujemy, ˙ze a · b⁻¹ = b⁻¹· a i a⁻¹· b⁻¹ = b⁻¹· a⁻¹.

(a). Dla l = 0, a^l · b^k = e · b^k = b^k = b^k · e = b^k · a^l. Podobnie dla k = 0, a^l· b^k = a^l · e = a^l = e · a^l = b^k · a^l. Ponadto na mocy Wniosku 1.5 wz´or (a) zachodzi dla wszystkich k, l ∈ N. Je´sli k, l < 0, to k = −n i l = −m dla pewnych m, n ∈ N. Zatem na mocy Wniosku 1.5, a^l· b^k = a⁻ⁿ· b^−m = (a⁻¹)^m· (b⁻¹)ⁿ = (b⁻¹)ⁿ· (a⁻¹)^m = b^k· a^l. Je´sli k < 0 i l > 0, to k = −n dla pewnego n ∈ N. Ale a · b⁻¹ = b⁻¹ · a, wiec na_, mocy Wniosku 1.5, a^k · b^l = a^k · (b⁻¹)ⁿ = (b⁻¹)ⁿ· a^l = b^k · a^l. W ko´ncu dla k > 0 i l < 0, l = −m dla pewnego m ∈ N. Ale a⁻¹ · b = b · a⁻¹, wiec na mocy Wniosku 1.5,_, a^l· b^k= (a⁻¹)^m· b^k = b^k· (a⁻¹)^m= b^k· a^l.

(b). Dla k = 0 nasz wz´or zachodzi, bo (a · b)⁰ = e i a⁰ · b⁰ = e · e = e. Ponadto na mocy Wniosku 1.5 nasz wz´or zachodzi dla k ∈ N. Je´sli k < 0, to k = −n dla pewnego n ∈ N. Ale a⁻¹· b⁻¹ = b⁻¹· a⁻¹, wiec na mocy Wniosku 1.5 oraz (a), (a · b)_, ^k = (a · b)⁻ⁿ = ((a · b)⁻¹)ⁿ = (b⁻¹· a⁻¹)ⁿ= (b⁻¹)ⁿ· (a⁻¹)ⁿ = b^k· a^k = a^k· b^k. 

Zapis u˙zyty w I nazywamy multiplikatywnym (od laci´nskiego mutiplicare — mno˙zy´c).

W tym zapisie czesto element neutralny e oznacza si_, e przez 1, chocia˙z nie musi to by´_, c liczba naturalna 1.

II. Niech (G, +, 0) bedzie grup_, a. W´_, owczas dla a ∈ G, −a jest elementem przeciwnym do a. Ca lkowita wielokrotno´s´_, c elementu a okre´slamy nastepuj_, aco:_,

1’. 0 · a = 0, 2’. 1 · a = a,

3’. (n + 1) · a = n · a + a dla n = 1, 2, . . . 4’. (−n) · a = n · (−a) dla n = 1, 2, . . .

Taki zapis nazywamy addytywnym (od laci´nskiego addere — dodawa´c) i z regu ly jest on stosowany jedynie w przypadku grup abelowych. W tym zapisie element neutralny grupy jest oznaczany przez 0, chocia˙z nie musi to by´c liczba ca lkowita 0.

Z I wynika, ˙ze dla dowolnych liczb ca lkowitych m, n i dla ka˙zdego a ∈ G zachodza_, wzory:

(1)’ n · a + m · a = (n + m) · a oraz (2)’ n · (m · a) = (nm) · a.

Je˙zeli napiszemy niech G bedzie grup_, a, to b_, edziemy mieli na my´sli grup_, e multiplika-_, tywna z dzia laniem oznaczonym kropk_, a, kt´_, ora — tak jak w przypadku wyra˙ze´_, n algebra- icznych — czesto b_, edziemy pomija´_, c.

2 Przyk lady grup

Przyk lad 1.15. Niech G = {a} bedzie dowolnym zbiorem jednoelementowym. W_, zbiorze tym mo˙zna okre´sli´c tylko jedno dzia lanie: a · a = a. W´owczas (G, ·, a) jest grupa._, Nazywamy ja grup_, a trywialn_, a._,

Przyk lad 1.16. Addytywne grupy liczbowe. Tak bedziemy nazywa´_, c grupy, kt´orych elementami sa pewne liczby zespolone, a dzia laniami — zwyk le dodawanie liczb._, Najbardziej typowymi przyk ladami takich grup sa: addytywna grupa liczb ca lkowitych_, (Z, +, 0) oznaczana przez Z⁺, wymiernych (Q, +, 0) oznaczana przez Q⁺, rzeczywistych (R, +, 0) oznaczana przez R⁺ i zespolonych (C, +, 0) oznaczana przez C⁺.

Przyk lad 1.17. Multiplikatywne grupy liczbowe. Elementami takich grup sa_, pewne niezerowe liczby zespolone, natomiast dzia laniem — zwyk le mno˙zenie liczb. W´sr´od nich najbardziej typowymi sa:_,

({−1, 1}, ·, 1), (Q^∗, ·, 1), (R^∗, ·, 1), (C^∗, ·, 1), (Cn, ·, 1), (C^∞, ·, 1),

gdzie K^∗ = K \ {0} dla K = Q, R, C, natomiast Cn jest zbiorem wszystkich zespolonych pierwiastk´ow stopnia n z 1, tzn.

Cn= {cos^2kπ_n + i sin^2kπ_n : k = 0, 1, . . . , n − 1}

i wreszcie C^∞ =

∞

[

n=1

Cⁿ. Z algebry liniowej wiemy, ˙ze |Cⁿ| = n. Wa˙znym przyk ladem z

punktu widzenia klasyfikacji grup abelowych sa grupy C_, p^∞ =

∞

[

n=1

Cpⁿ, dla liczb pierwszych p.

Przyk lad 1.18. Je˙zeli V jest przestrzenia liniow_, a nad cia lem K, to V z dodawaniem_, wektor´ow + i wyr´o˙znionym elementem θ (wektor zerowy) tworzy grupe abelow_, a (V, +, θ)._, Stad mamy np. grupy (K_, ⁿ, +, θ) dla n = 1, 2, . . ..

Przyk lad 1.19. Je˙zeli K jest cia lem, to (K \ {0}, ·, 1) tworzy grupe abelow_, a. Nazy-_, wamy ja grup_, a multiplikatywn_, a cia la K i oznaczamy przez K_, ^∗.

Przyk lad 1.20. Addytywna grupa reszt modulo m. Niech m bedzie dowoln_, a_, liczba naturaln_, a i niech Z_, m = {0, 1, . . . , m − 1}. W zbiorze Zm okre´slamy dodawanie modulo m, ⊕_m przyjmujac, ˙ze dla dowolnych a, b ∈ Z_, m:

a ⊕_mb = reszta z dzielenia a + b przez m.

W oparciu o w lasno´sci kongruencji latwo wykaza´c, ˙ze (Zm, ⊕_m, 0) jest grupa abelow_, a i_,

|Zm| = m. Grupe t_, e b_, edziemy oznaczali przez Z_, ⁺m.

Przyk lad 1.21. Multiplikatywna grupa reszt modulo m. Przy oznaczeniach Przyk ladu 1.20 niech

Z^∗m = {k ∈ Zm : N W D(k, m) = 1}.

W zbiorze Z^∗m okre´slamy mno˙zenie modulo m, _m przyjmujac, ˙ze dla dowolnych a, b ∈_, Z^∗m:

a _mb = reszta z dzielenia a · b przez m.

W oparciu o elementarna teori_, e liczb mo˙zna latwo wykaza´_, c, ˙ze dla m > 1, (Z^∗m, _m, 1) tworzy grupe abelow_, a. Grup_, e t_, e b_, edziemy oznaczali przez Z_, ^∗m. Z elementarnej teorii liczb wiadomo, ˙ze |Z^∗m| = ϕ(m), gdzie ϕ jest funkcja Eulera._,

Przyk lad 1.22. Niech K bedzie cia lem i niech n ∈ N oraz niech GL_, n(K) oznacza zbi´or wszystkich odwracalnych macierzy kwadratowych stopnia n nad K. W´owczas z algebry liniowej wiadomo, ˙ze macierz kwadratowa A stopnia n nad K nale˙zy do GL_n(K) wtedy i tylko wtedy, gdy det(A) 6= 0. Stad latwo wyprowadzi´_, c (przy pomocy twierdzenia Cauchy’ego), ˙ze GLn(K) ze zwyk lym mno˙zeniem macierzy i macierza jednostkow_, a I_, n

tworzy grupe. Oznaczamy j_, a przez GL_{, n}(K). Dla n > 2 ta grupa nie jest abelowa.

Rzeczywi´scie, niech A oznacza macierz, kt´ora ma jedynke na g l´_, ownej przekatnej oraz na_, drugim miejscu w pierwszym wierszu, a na pozosta lych miejscach same zera i niech B oznacza macierz, kt´ora ma same jedynki na g l´ownej przekatnej oraz na drugim miejscu w_, pierwszej kolumnie. Wtedy det(A) = det(B) = 1, wiec A, B ∈ GL_{, n}(K). Ale A·B 6= B·A, gdy˙z macierze A · B i B · A maja inne elementy stoj_, ace w lewym g´_, ornym rogu.

Przyk lad 1.23. Niech X bedzie dowolnym niepustym zbiorem. Oznaczmy przez_, S(X) zbi´or wszystkich bijekcji f : X −→ X. Niech ◦ oznacza sk ladanie przekszta lce´n w S(X), tzn. dla f, g ∈ S(X) i x ∈ X: (f ◦ g)(x) = f (g(x)). Niech ponadto id_X oznacza przekszta lcenie to˙zsamo´sciowe zbioru X na siebie. Ze wstepu do matematyki wynika,_,

˙ze w´owczas (S(X), ◦, id_X) tworzy grupe. Nazywamy j_, a grup_, a symetryczn_, a zbioru X i_, oznaczamy przez S(X). Mo˙zna wykaza´c, ˙ze je´sli zbi´or X ma co najmniej 3 elementy, to grupa S(X) nie jest abelowa. Je˙zeli X = {1, 2, . . . , n}, to zamiast S({1, 2, . . . , n}) piszemy S_n i S_n nazywamy grupa permutacji zbioru n-elementowego. Oczywi´scie |S_{, n}| = n!.

Przyk lad 1.24. Izometria p laszczyzny Π nazywamy ka˙zde odwzorowanie Π na Π_, zachowujace odleg lo´s´_, c punkt´ow. Je˙zeli F ⊆ Π, to izometria w lasn_, a figury F nazywamy_, taka izometri_, e f p laszczyzny Π, ˙ze f (F ) = F . Niech ◦ oznacza sk ladanie przekszta lce´_, n i niech I bedzie przekszta lceniem to˙zsamo´sciowym Π na siebie. W´_, owczas dla ka˙zdej figury F ⊆ Π zbi´or I(F ) wszystkich izometrii w lasnych figury F tworzy grupe ze wzgl, edu_, na sk ladanie przekszta lce´n z wyr´o˙znionym elementem id_Π. Dla n = 3, 4, . . . przez D_n bedziemy oznaczali grup_, e izometrii w lasnych n-k_, ata foremnego._, Latwo zauwa˙zy´c, ˙ze

|D_n| = 2n oraz grupa D_n nie jest abelowa. Ponadto grupa I(Π) jest niesko´nczona i nie jest abelowa.

(a) Grupa izometrii w lasnych tr´ojkata r´_, ownobocznego. Niech bedzie dany_, na p laszczy´znie tr´ojkat r´_, ownoboczny ABC. Oznaczmy przez a symetralna odcinka_, BC, przez b-symetralna odcinka AC, przez c-symetraln_, a odcinka AB i przez O punkt_, przeciecia tych trzech prostych (czyli ´srodek ci_, e˙zko´sci tego tr´_, ojkata)._, Poniewa˙z izo-

metrie w lasne figury geometrycznej zachowuja wierzcho lki tej figury oraz dwie izome-_, trie p laszczyzny przyjmujace te same warto´sci w trzech niewsp´_, o lliniowych punktach sa_, r´owne, wiec grupa D_{, 3} izometrii w lasnych tr´ojkata r´_, ownobocznego ABC ma rzad 6 oraz_, D₃ = {e, S_a, S_b, S_c, O₁, O₂}, gdzie S_a jest symetria osiow_, a wzgl_, edem prostej a, S_{, b} jest symetria osiow_, a wzgl_, edem prostej b, S_, c jest symetria osiow_, a wzgl_, edem prostej c, O_, 1 jest obrotem wzgledem punktu O o k_, at 120 stopni, za´s O_{, 2} jest obrotem wok´o l punktu O o kat 240 stopni. Nietrudno sprawdzi´_, c, ˙ze tabelka sk ladania przekszta lce´n w grupie D₃ wyglada nast_, epuj_, aco:_,

◦ e S_a S_b S_c O₁ O₂ e e S_a S_b S_c O₁ O₂ Sa Sa e O1 O2 Sb Sc

S_b S_b O₂ e O₁ S_c S_a Sc Sc O1 O2 e Sa Sb

O₁ O₁ S_c S_a S_b O₂ e O₂ O₂ S_b S_c S_a e O₁

(b) Grupa czw´orkowa Kleina. Niech dany bedzie na p laszczy´_, znie prostokat ABCD_, nie bed_, acy kwadratem. Niech a b_, edzie symetraln_, a odcinka AB i niech b b_, edzie symetraln_, a_, odcinka BC oraz niech O bedzie punktem przeci_, ecia si_, e prostych a i b. Rozumuj_, ac_, podobnie jak w przyk ladzie (a) mo˙zna wykaza´c, ˙ze grupa K izometrii w lasnych prostokata_, ABCD ma rzad 4 i K = {e, S_{, a}, S_b, S_O}, gdzie S_a jest symetria osiow_, a wzgl_, edem prostej_, a, Sb jest symetria osiow_, a wzgl_, edem prostej b, za´s S_, O jest symetria ´srodkow_, a wzgl_, edem_, punktu O. Tabelka sk ladania przekszta lce´n w grupie K wyglada nast_, epuj_, aco:_,

◦ e S_a S_b S_O e e S_a S_b S_O S_a S_a e S_O S_b S_b S_b S_O e S_a S_O S_O S_b S_a e

Otrzymana w ten spos´_, ob grupe K nazywamy grup_, a czw´_, orkowa Kleina lub grup_, a_, izometrii w lasnych prostokata nie b_, ed_, acego kwadratem i oznaczamy przez K._,

(c) Grupa izometrii w lasnych kwadratu. Niech bedzie dany na p laszczy´_, znie kwa- drat ABCD. Rozumujac podobnie jak w przyk ladzie (a) mo˙zna wykaza´_, c, ˙ze grupa D₄ izometrii w lasnych kwadratu ma rzad 8 i D_{, 4} = {e, S₁, S₂, S₃, S₄, O₁, P₂, P₃}, gdzie S₁ jest symetria osiow_, a wzgl_, edem prostej AC, S_{, 2} jest symetria osiow_, a wzgl_, edem prostej_, BD, S₃ jest symetria osiow_, a wzgl_, edem symetralnej odcinka AB, S_{, 4} jest symetria osiow_, a_, wzgledem symetralnej odcinka BC, O_, 1, O2 i O3 sa obrotami wok´_, o l ´srodka tego kwadratu o katy odpowienio r´_, owne 90, 180 i 270 stopni. Nietrudno sprawdzi´c, ˙ze tabelka sk ladania przekszta lce´n w grupie D₄ wyglada nast_, epuj_, aco:_,

◦ e S₁ S₂ S₃ S₄ O₁ O₂ O₃ e e S₁ S₂ S₃ S₄ O₁ O₂ O₃ S₁ S₁ e O₂ O₃ O₁ S₄ S₂ S₃ S₂ S₂ O₂ e O₁ O₃ S₃ S₁ S₄ S₃ S₃ O₁ O₃ e O₂ S₁ S₄ S₂ S₄ S₄ O₃ O₁ O₂ e S₂ S₃ S₁ O1 O1 S3 S4 S2 S1 O2 O3 e O₂ O₂ S₂ S₁ S₄ S₃ O₃ e O₁ O3 O3 S4 S3 S1 S2 e O1 O2

Przyk lad 1.25. Grupa kwaternion´ow. Niech Q8 = {e, −e, i, −i, j, −j, k, −k}

bedzie podzbiorem zbioru M_{, 2}(C), gdzie

e = 1 0 0 1

 , i =

 i 0 0 −i

 , j =

 0 1

−1 0



, k = 0 i i 0



. (1)

Latwo zauwa˙zy´c, ˙ze ka˙zda z macierzy nale˙zacych do Q_{, 8} ma wyznacznik r´owny 1. Wobec tego Q₈ ⊆ GL₂(C). Proste sprawdzenie pokazuje, ˙ze mno˙zenie macierzy jest wykonalne w zbiorze Q8 i mamy nastepuj_, ac_, a tabelk_, e:_,

· e −e i −i j −j k −k

e e −e i −i j −j k −k

−e −e e −i i −j j −k k

i i −i −e e k −k −j j

−i −i i e −e −k k j −j

j j −j −k k −e e i −i

−j −j j k −k e −e −i i

k k −k j −j −i i −e e

−k −k k −j j i −i e −e

Poniewa˙z mno˙zenie macierzy jest laczne i jest wykonalne w zbiorze Q_, 8, e ∈ Q8 i e jest elementem neutralnym mno˙zenia macierzy nawet w M₂(C) oraz dla ka˙zdego x ∈ Q₈ mamy, ˙ze x⁻¹ ∈ Q₈, wiec Q_{, 8} jest grupa. Nazywamy j_, a grup_, a kwaternion´_, ow i oznaczamy przez Q₈.

Uwaga 1.26. Niech (G, ·, e) bedzie grup_, a i niech f : G → A b_, edzie bijekcj_, a zbioru G_, na zbi´or A. W zbiorze A wprowadzamy dzia lanie ◦ przy pomocy wzoru:

a ◦ b = f (f⁻¹(a) · f⁻¹(b)) dla a, b ∈ A.

Niech  = f (e). W´owczas (A, ◦, ) jest grupa. Rzeczywi´scie, dla dowolnych a, b, c ∈ A_, mamy