dr Mariusz Grz ˛ adziel Wykład 12; 20 maja 2014

Zmienne losowe

dr Mariusz Grz ˛ adziel Wykład 12; 20 maja 2014

Definicja 1. Zmienn ˛ a losow ˛ a nazywamy dyskretn ˛ a (skokow ˛ a), je´sli zbiór jej warto´sci x

, x

, . . . , mo˙zna ustawi´c w ci ˛ ag.

Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie warto´sci z zadanego przedziału (a, b), nie jest zmienn ˛ a losow ˛ a dyskretn ˛ a, poniewa˙z elementów tego przedziału nie da si˛e ustawi´c w ci ˛ ag ("ponumerowa´c").

- G. Cantor 1873— twierdzenie— wszystkich liczb rzeczywistych nie da si˛e ustawi´c w ci ˛ ag.

Rozkład dyskretnej zmiennej losowej

Zbiór warto´sci dyskretnej zmiennej losowej X— ci ˛ ag x

, x

, . . . , (sko´nczony lub nie- sko´nczony).

Rozkład zmiennej losowej dyskretnej X jest okre´slony przez nieujemne liczby p

, p

, . . . spełniaj ˛ ace warunki:

X p

= 1, (1)

p

= P (X = x

). (2)

Dyskretne zmienne losowe— przykłady Przykłady:

• Rozkład U, sumy oczek w dwukrotnym rzucie kostk ˛ a;

• Rozkład Z, gdzie Z oznacza liczb˛e rzutów monet ˛ a, po której po raz pierwszy wypada orzeł (zdarzeniu polegaj ˛ acemu na tym, ˙ze orzeł wypadnie ju˙z w pierw- szym rzucie, odpowiada warto´s´c zmiennej Z równa 0).

z niezale˙zno´sci zdarze´n:

P (Z = k) =  1 2



, k = 0, 1, 2, . . . .

Zmienna losowa Z przykład dyskretnej zmiennej losowej, dla której zbiór warto´sci:

{0, 1, 2, . . .} nie jest sko´nczony.

Dystrybuanta rozkładu dyskretnego

Przypomnijmy, ˙ze dystrybuant˛e F

rozkładu zmiennej losowej X okre´slamy wzorem:

F

(t) = P (X ¬ t).

Mo˙zna udowodni´c, ˙ze dystrybuanta zmiennej losowej dyskretnej jest funkcj ˛ a:

• przedziałami stał ˛ a (schodkow ˛ a);

• prawostronnie ci ˛ agł ˛ a.

Przykład

Je´sli V ma rozkład Bin(2; 0,8), to jej dystrybuanta F

dana wzorem

F

(x) =



 

 

 

 

0 x < 0 0,04 x ∈ [0, 1) 0,36 x ∈ [1, 2) 1 x ∈ [2, ∞)

Funkcja kwantylowa

Je´sli zmienna losowa X ma dystrybuant˛e ci ˛ agł ˛ a i rosn ˛ ac ˛ a na R (zbiorem warto´sci F

jest (0, 1)), to funkcj˛e kwantylow ˛ a Q

okre´slamy jako funkcj˛e odwrotn ˛ a do dystrybu- anty F

.

Je´sli F

jest ´sci´sle rosn ˛ aca na przedziale I, a dla argumentów spoza tego przedziału przybiera warto´sci 0 lub 1, to funkcj˛e kwantylow ˛ a okre´slamy jako funkcj˛e odwrotn ˛ a do funkcji G

, której dziedzina jest równa I, okre´slon ˛ a wzorem

G

(t) = F

(t), t ∈ I.

Przykład

Dla zmiennej losowej Y o rozkładzie jednostajnym U (0, 1), której g˛esto´s´c g dana jest wzorem

g(x) =



 

 

0 x < 0 1 x ∈ [0, 1]

0 x ∈ (1, ∞) funkcja kwantylowa Q

jest dana wzorem:

Q

(t) = t, t ∈ (0, 1).

Przykład

Dla zmiennej losowej W typu ci ˛ agłego, której g˛esto´s´c h dana jest wzorem

 0 x < 0

funkcja kwantylowa Q

jest dana wzorem:

Q

(t) = 2 √

t, t ∈ (0, 1).

Funkcja kwantylowa — c.d.

Dla dyskretnej zmiennej losowej X(i dla zmiennych, które nie s ˛ a dyskretne, ale nie spełniaj ˛ a wy˙zej wymienionych warunków) funkcj˛e kwantylow ˛ a Q

mo˙zna okre´sli´c wzorem

Q

(u) = min{t ∈ R : F

(t) ­ u}, u ∈ (0, 1), gdzie F

oznacza dystrybuant˛e zmiennej losowej X.

Uwaga Definicj˛e t˛e mo˙zna stosowa´c dla dowolnej zmiennej losowej; w przypadku, gdy zmienna losowa ma dystrybuant˛e:

• rosn ˛ ac ˛ a na R;

• rosn ˛ ac ˛ a na przedziale I, a dla argumentów spoza tego przedziału przybiera war- to´sci 0 lub 1,

warto´sci funkcji Q

(u) s ˛ a równe warto´sciom funkcji kwantylowej zdefiniowanej uprzed- nio dla tych szczególnych klas zmiennych losowych.

Przykład

Dla zmiennej losowej V funkcja kwantylowa Q

ma posta´c

Q

(t) =



 

 

0, t ∈ (0; 0,04];

1, t ∈ (0,04; 0,36];

2, t ∈ (0,36; 1);

Zmienne losowe typu ci ˛ agłego

Definicja 2. Mówimy, ˙ze zmienna losowa X jest typu ci ˛ agłego, je´sli istnieje nieujemna funkcja g taka, ˙ze dla ka˙zdych −∞ ¬ a < b ¬ ∞

P (a ¬ X ¬ b) = Z

a

g(x)dx.

Funkcja g — to tzw. funkcja g˛esto´sci rozkładu zmiennej losowej X.

Zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym

Mówimy, ˙ze zmienna losowa typu ci ˛ agłego X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0 je˙zeli jej funkcja g˛esto´sci g ma posta´c

g(x) =

( 0, x ¬ 0,

λe

, x > 0. (3)

Zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym: zastosowania

• czas bezawaryjnej pracy pewnych przedmiotów (urz ˛ adze´n), takich jak np. ˙za- rówka;

• czas oczekiwania na rozpad cz ˛ asteczki radioaktywnej;

• warto´sci maksymalne dziennego opadu w danym roku.

Mo˙zna uzasadni´c, ˙ze je´sli X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0, to F

(t) = 1 − e

oraz

EX = λ

, V arX = λ

.

Rozkład wykładniczy: „brak pami˛eci”

Niech X b˛edzie zmienn ˛ a losow ˛ a o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ > 0. Dla dowolnych a i b dodatnich prawdziwa jest równo´s´c:

P (X > a + b|X ­ a) = P (X > b).

Istotnie

P (X > a + b|X > a) = P (X > a + b) ∧ P (X > a)

P (X > a) =

= P (X > a + b)

P (X > a) = exp [−λ(a + b)]

exp [−λ(a)] = exp [−λb] = P (X > b).

Interpretacja: X jest czasem bezawaryjnej pracy pewnego urz ˛ adzenia, to niezale˙znie od dotychczasowego czasu pracy tego urz ˛ adzenia, dalszy czas pracy ma taki sam rozkład jak „całkowity czas pracy” (czyli rozkład wykładniczy z parametrem λ).

Zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym: przykład zastosowa ´n

Czas ˙zycia ˙zarówki X jest zmienn ˛ a losow ˛ a o rozkładzie wykładniczym z warto´sci ˛ a oczekiwan ˛ a równ ˛ a 10 (jednostk ˛ a pomiaru jest miesi ˛ ac). Chcemy obliczy´c:

• prawdopodobie´nstwo, ˙ze ˙zarówka b˛edzie „bezawaryjnie funkcjonowa´c” przez 15 miesi˛ecy;

• kwantyl rz˛edu 0,95 czasu ˙zycia ˙zarówki.

Rozwi ˛ azanie Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 1/10.

P (X ­ 15) = 1 − Z

0

1

10 e

dx = 1 − [−e

]

= e

≈ 0,2231302.

Prawdopodobie´nstwo to mo˙zna obliczy´c wykorzystuj ˛ ac pakiet R w nast˛epuj ˛ acy spo-

sób:

Zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym: przykład zastosowa ´n — c.d.

Oznaczmy kwantyl rz˛edu 0,95 dla rozkładu zmiennej X maj ˛ acej rozkład wykładniczy z parametrem λ = 0,1 przez c. Stała c spełnia jest rozwi ˛ azaniem równania:

Z

1

10 e

dx = 0,95.

St ˛ ad:

1 − e

=0,95;

e

=0,05;

−c/10 = log 0,05 = − log 20;

c = 10 log 20 ≈ 29,95732.

Kwantyl ten mo˙zna obliczy´c przy u˙zyciu R:

> qexp(0.95,0.1) [1] 29.95732 Lektura uzupełniaj ˛ aca

T. Bednarski, Elementy matematyki w naukach ekonomicznych. Oficyna ekonomicz- na. Kraków 2004, str. 228–234.

Koronacki, J., Mielniczuk, J. Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przy-

rodniczych. WNT. Warszawa 2001, podrozdział 2.2.1, str. 94–110.