Poj˛ecie funkcji. Funkcja liniowa dr Mariusz Grz ˛adziel Wykład 1; 1 pa´zdziernika 2013

Poj˛ecie funkcji. Funkcja liniowa

dr Mariusz Grz ˛ adziel Wykład 1; 1 pa´zdziernika 2013

1 Matematyka w naukach przyrodniczych

Zale˙zno´sci funkcyjne w naukach przyrodniczych

Rozwój algebry i analiza matematycznej w 16 i 17 wieku: opis zjawisk takich jak:

• ruch jednostajnie przy´spieszony; Droga s, jak ˛a przemierzy kulka ołowiana upusz- czona z wysokiej wie˙zy po czasie t:

s =gt² 2 , gdzie g ≈ 9,81_s^m2;

• eliptyczne trajektorie, po których poruszaj ˛a si˛e planety;

• wychylenie wahadła w zale˙zno´sci od czasu (przy małym k ˛acie wychylenia pocz ˛at- kowego).

Rachunek ró˙zniczkowy i całkowy — narodziny fizyki klasycznej (newtonowskiej) Je´sli pr˛edko´s´c v punktu materialnego dana jest wzorem v(t) = gt, łatwo jest obliczy´c:

• drog˛e przebyt ˛a na przedziale czasowym [t1, t₂], t1, t₂­ 0 (jest ona równa polu trapezu:^g₂(t²₂− t²₁));

• przy´spieszenie: jest ono równe g.

Problem: w jaki sposób wykonywa´c analogiczne obliczenia, gdy funkcja v = v(t) ma bardziej skomplikowan ˛a posta´c? Np. gdy v(t) = t²?

• Niezb˛edne jest skorzystanie z poj˛e´c i metod rachunku ró˙zniczkowego i całkowe- go.

• poj˛ecie pochodnej, całki oznaczonej, twierdzenie Newtona-Leibniza: rozwój fi- zyki klasycznej w XVII i XVIII wieku.

Pole trapezu krzywoliniowego

Załó˙zmy, ˙ze funkcja f jest nieujemna i ci ˛agła na przedziale [a, b] (czyli jej wykres mo˙zna „narysowa´c bez odrywania r˛eki”). Figur˛e ograniczon ˛a wykresem funkcji f oraz prostymi: x = a, x = b i y = 0 b˛edziemy nazywa´c trapezem krzywoliniowym odpo- wiadaj ˛acym odcinkowi[a, b] i funkcji f .

Pole (wy˙zej okre´slonego) trapezu krzywoliniowego: całka na przedziale [a, b] z f : notacjaRb

af (x) dx.

Interpretacja fizyczna: droga przebyta przez punkt materialny poruszaj ˛acy si˛e z pr˛ed-

x y

y=f(x)

0 a b

Rysunek 1: Trapez krzywoliniowy

Poj˛ecie funkcji

Kluczowym poj˛eciem w analizie matematycznej (i naszym kursie) jest poj˛ecie funkcji.

Definicja 1. Niech b˛ed ˛a dane dwie zmienne x i y o obszarach zmienno´sci X i Y.

Zmienna f jest funkcj ˛a zmiennejx w jej obszarze zmienno´sci X je´sli istnieje prawo przypisuj ˛ace ka˙zdej warto´scix dokładnie jedn ˛a warto´s´cy (z Y).

Obszar zmienno´sci X mo˙ze by´c np. przedziałem lub podzbiorem płaszczyzny.

Funkcje jednej zmiennej

Definicja 2 (funkcji jednej zmiennej). Funkcj ˛a (jednej zmiennej) okre´slon ˛a na zbio- rze X ⊂ R o warto´sciach w zbiorze Y ⊂ R nazywamy przyporz ˛adkowanie ka˙zde- mu elementowix ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y . Funkcj˛e tak ˛a oznaczamy f : X → Y . Warto´s´c funkcji f w punkcie x oznaczamy przez f (x).

Definicja 3 (dziedziny i przeciwdziedziny). Niech f : X → Y . Wtedy zbiór X nazy- wamy dziedzin ˛a funkcjif i oznaczamy przez D_f, a zbiórY nazywamy zbiorem warto-

´sci funkcjif i oznaczamy przez Wf. Je˙zeli dany jest tylko wzór okre´slaj ˛acy funkcj˛e, to zbiór tych elementów z R, dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedzin ˛a naturaln ˛a funkcji.

Definicja 4 (równo´sci funkcji). Mówimy, ˙ze dwie funkcje s ˛a sobie równe, je´sli: (i) ich dziedziny s ˛a sobie równe; (ii) dla wszystkich elementów (wspólnej) dziedziny przybie- raj ˛a równe warto´sci.

Przykłady. (i) funkcje f (x) = 1 + x, g(x) = ^1−x_1−x² nie s ˛a sobie równe- poniewa˙z ich dziedziny naturalne Df i Dgnie s ˛a sobie równe. (ii) funkcje f (x) = x²i g(x) =√

x⁴ s ˛a sobie równe.

Definicja 5 (wykresu funkcji). Wykresem funkcji f : X → Y nazywamy zbiór par (x, f (x)) utworzony dla wszystkich elementów x zbioru X.

Przykład. Dla funkcji f : [−1, 1] → R okre´slonej wzorem f (x) = √

1 − x² wy- kresem jest „górna połówka okr˛egu” o ´srodku w pocz ˛atku układu współrz˛ednych i o promieniu 1

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

0.00.20.40.60.81.0

x

sqrt(1 − x^2)

Rysunek 2: Wykres funkcji f (x) =√ 1 − x²

Funkcja liniowa

Dla danych a, b ∈ R funkcj˛e liniow ˛a f definiujemy wzorem:

f (x) = ax + b. (1)

Współczynnik a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, a współczynnik b wyrazem wolnym.

Prosta MNK

Problem: do danych empirycznych chcemy dopasowa´c funkcj˛e liniow ˛a f (x) = ax + b w sensowny „sposób”.

Przykład Dane przestawiaj ˛a pomiary cech: x i y (x mo˙ze oznacza´c zmierzony czas, a y poło˙zenie punktu materialnego — jego współrz˛edn ˛a poziom ˛a).

x -1.0 2.0 5.0 6.0 8.0 10.0 y 1.0 -1.0 8.0 4.0 11.0 10.0 W ogólnym przypadku: mamy n pomiarów (x1, y₁), . . . , (xn, y_n).

−2

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

y

5 10

x

Rysunek 3: Prosta MNK jest dobrana tak, aby suma pól kwadratów przedstawionych na rysunku była minimalna

Prosta MNK — c.d.

Innymi słowy: szukamy współczynników a, b takich, aby suma S

S(a, b) ≡

n

X

k=1

(yi− axi− b)²

była minimalna. Zauwa˙zmy, ˙ze S jest funkcj ˛a dwóch zmiennych! Je´sli nie wszystkie xis ˛a równe tej samej liczbie, współczynniki a i b spełniaj ˛ace ten warunek sa równe:

a = Pn

i=1x_i(y_i− ¯y) Pn

i=1(xi− ¯x)² , oraz

b = 1 n

n

X

i=1

yi− a

n

X

i=1

xi
,

gdzie

¯ x = 1

n

n

X

i=1

x_i, y =¯ 1 n

n

X

i=1

y_i.

Dla danych z przykładu: a = 1,05, b = 0,25.

Program wykładu – szkic

Pierwsze jedena´scie wykładów b˛ed ˛a po´swi˛econe rachunkowi ró˙zniczkowemu i całko- wemu jednej zmiennej.

Na ostatnich cztrech wykładach zostan ˛a omówione podstawowe poj˛ecia rachunku praw- dopodobie´nstwa.

Metody oceny — ocena z wykładu

Podczas semestru zostan ˛a zorganizowane dwa egzaminy połówkowe (poza godzinami

´cwicze´n i wykładów). Studenci, którzy zdob˛ed ˛a odpowiedni ˛a liczb˛e punktów z tych egzaminów, to znaczy: zalicz ˛a test obejmuj ˛acy materiał z trzech ostatnich wykładów (pisany na ostatnim wykładzie) i zdob˛ed ˛a ocen˛e pozytywn ˛a z ´cwicze´n, otrzymaj ˛a ocen˛e pozytywn ˛a z egzaminu w „terminie zerowym”.

Egzaminy ´sródsemestralne i termin zerowy: za ka˙zdy z „egzminów ´sródsemestralnych”

mo˙zna b˛edzie otrzyma´c 20 pkt. Za test pisany na ostatnim wykładzie 3 pkt. Za ocen ˛a z zaliczenia: dobr ˛a 1 pkt, dobr ˛a plus 2 pkt, bardzo dobr ˛a 3 pkt. Student mo˙ze otrzyma´c ocen˛e pozytywn ˛a w terminie zerowym, je˙zeli:

• zdobył w sumie co najmniej 22 pkt;

• z ka˙zdego „egzaminu ´sródsemestralnego” otrzymał co najmniej 7 pkt;

• otrzymał z quizu pisanego na ostatnim wykładzie co najmniej 1 pkt.

Studentów, posiadaj ˛acych zaliczenie, którzy nie otrzymali oceny z egzaminu w termi- nie zerowym, obowi ˛azuje pisemny egzamin w sesji egzaminacyjnej. Podczas egzami- nu, trwaj ˛acego 100 minut, studenci rozwi ˛azuj ˛a zadania oraz odpowiadaj ˛a na pytania testowe (tzw. otwarte pytania). Je´sli egzamin nie zostanie zaliczony w pierwszym ter- minie student ma prawo ponownie go zdawa´c w terminie poprawkowym.

Metody oceny — ocena z ´cwicze ´n

4 kolokwia (30 minutowe), bie˙z ˛aca ocena na aktywno´sci (polegaj ˛acej np. na rozwi ˛azy- waniu zada´n „przy tablicy”). Za kolokwia, sprawdziany oraz odpowiedzi przy tablicy studenci b˛ed ˛a otrzymywali odpowiedni ˛a liczb˛e punktów. Ocena na zaliczenie b˛edzie wystawiona na podstawie sumy punktów (punkty otrzymane za egzaminy ´sródseme- stralne te˙z mog ˛a by´c brane pod uwag˛e przez prowadz ˛acych ´cwiczenia).

Obecno´s´c na ´cwiczeniach jest obowi ˛azkowa, student mo˙ze mie´c tylko jedn ˛a nieobec- no´s´c nieusprawiedliwion ˛a.

Propozycja punktacji. Za ka˙zde kolokwium 10 pkt; za poprawnie rozwi ˛azane zadanie z listy przy tablicy 1 pkt.

Literatura

[Bed04] Bednarski, T., Elementy matematyki w naukach ekonomicznych. Oficyna Ekonomiczna. Kraków 2004.

[Bod10] Bodnar, D., Zbiór zada´n z matematyki dla biologów. Wydawnictwo Uni- wersytetu Warszawskiego. Warszawa 2010.

[KM01] Koronacki, J., Mielniczuk, J., Statystyka dla studentów kierunków tech- nicznych i przyrodniczych. WNT 2001.

[Kur08] Kuratowski, K., Rachunek ró˙zniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmien- nej. PWN, Warszawa 2008.

[Wrz10] Wrzosek, D., Matematyka dla biologów. Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego. Warszawa 2010.

[ZZ00] Zakrzewscy, D. i M., Repetytorium z matematyki. Wydawnictwo Szkolne PWN, Warszawa 2000.

[ZZ ˙Z05] Zakrzewscy, D. i M., ˙Zak, T., Matematyka. Matura na 100%. Wydawnic- two Szkolne PWN, Warszawa 2005.