j = 2,1 V.V. Bozhidarnik, V.K. Opanasovych, P.V. Gerasymchuk BENDING OF A PLATE WITH TWO EQUAL SYMMETRIC CRACKS ALONG A CIRCULAR ARCH WITH ALLOWANCE FOR THE CONTACT OF THEIR FLANKS В . В . Божидарнік , В . К . Опанасович , П . В . Герасимчук ЇХ БЕРЕГІВ ТР

ТРІЩИНАМИ ПО ДУЗІ КОЛА З УРАХУВАННЯМ КОНТАКТУ

ЇХ БЕРЕГІВ

В.В. Божидарнік

1

, В.К. Опанасович

2

, П.В. Герасимчук

1

BENDING OF A PLATE WITH TWO EQUAL SYMMETRIC CRACKS

ALONG A CIRCULAR ARCH WITH ALLOWANCE

FOR THE CONTACT OF THEIR FLANKS

V.V. Bozhidarnik, V.K. Opanasovych, P.V. Gerasymchuk

1

Луцький державний технічний університет, Луцьк, Україна

2

Львівський національний університет ім. Івана Франка, Львів, Україна

розв’язок якого матиме вигляд

(

2 2 2 2

)

1 5 . 1 R t t R A N_r = − δ + , t∈L, (13) і умову Γ β = ′ β + ₀ 0 Re ReA A , (14) де A – невідома дійсна стала; δ₁=−Γ′βh

(

2mβh2−~κ

)

. Підставляючи (13) у (12) та розв’язуючи відповідні задачі лінійного спряження, отримаємо

( )

=

(

+ +

)

−

[

(

+γ

) (

+ +γ +γ

) (

+ −

)

− Φ 2 2 4 17 2 15 2 5 15 2 3 2 5 2 4 3 3 z 0.5q q z q z 0.5q z q z z q 1 R z

]

X

( )

z z c₂ 2 2 2 − Γ − , (15)

( )

=

(

δ + δ

(

+

)

)

−

{

δ

(

+γ

)

− + δ

[

(

+γ +γ

)

+ Φ 2 17 2 15 4 1 1 15 2 4 2 2 2 2 1 4 0.75 0.5 2 0.75 5 . 0 R z z R h z c z z R z

]

h

}

z R R2− 4 2 + , де c₁ і c₂ – невідомі сталі, h A A₀ 0.5 4 =− − δ , q₃=

(

mAh+~κΓ+A′₀

)

κ~, q₅=−3mhδ₁

( )

2~κR2 , κ + κ δ − = _1.5 2 ~ _0.5 ~ 1 4 hm R P q , γ₁₅ =−R2cos2ϕ. γ₁₇ =0.5R4sin22ϕ. Для визначення невідомих сталих введемо позначення 0 1 A x = , x₂ =A₀′, x₃= A R, x₄ =c₁ R2, x₅=c₂, і для їх знаходження скористаємося співвідношенням (14), на основі (15) знайдемо залежності

( )

0 3 0 = A′ Φ , Φ

( )

0 = A₀, а також умовами однозначності прогину, кутів повороту, переміщень у плоскій задачі при обході контурів тріщин. Після перетворень приходимо до такої системи лінійних алгебраїчних рівнянь i j j ijx b a =

∑

= 5 1 , i=1,5, де

( )

∫

ϕ θ ϕ θ ρ = 0 11 2 , d a , a₁₂=0, a₁₃=0.5a₁₁R h,

∫

( )

ϕ − _{θ ϕ θ} ρ = 0 1 14 4 , d a , a₁₅=0,

( )

θ ϕ = θ− ϕ ρ , cos2 cos2 ,

(

δ

)

_∫

ϕ

(

θ− ϕ θ+ ϕ− θ+

)

ρ

( )

θ ϕ θ = 0 2 1

1 1.5 h cos4 cos2 cos2 0.5sin 2 cos2 1 , d

b , 1 21= a , a₂₂=β, a₂₃=a₂₄ =a₂₅=0, b₂ =βΓ, a₃₁=1+sin2ϕ, a₃₂ =0, h R

a₃₃=0.5 sin2ϕ , a₃₄=1, a₃₅=0, b₃ =0.75δ₁sin2ϕ

(

1+cos2ϕ

)

h,

0 41= a , a₄₂=a₁₁R2 κ~, a₄₃=R3mha₁₁ ~κ, a₄₄ =0, a₄₅ =−a₁₄,

( )

(

)

[

∫

ϕ − ϕ + θ ϕ − θ + ϕ θ ρ Γ − = 0 2 4 5 2 2

4 2 R , q R cos4 cos2 cos2 0.5sin 2

(

) (

)

    Γ + − +γ −  +γ +γ + −  ϕ = − ₂ 1 17 1 15 1 4 15 1 3 2 1 1 23 13 2 1 2 sin 2R b c q b q b b b b iK K , (15)

(

)

                    − + γ + γ + δ − γ + δ − ϕ − = − 2 12₂ 2 17 2 1 15 4 1 1 15 2 1 4 1 1 2 1 1 4 3 2 2 sin 2 2 R a R R b b h b c R b hi ik k . Наведемо розв’язок цієї задачі без врахування контакту берегів тріщин. На основі формул (5), повторивши подібні викладки, приходимо до таких виразів для функцій

( )

z 3 Φ і Ω₃

( )

z

( )

_{( )}

(

)

        + Γ − + − ϕ − −       + = Φ ₂ 5 2 1 2 1 2 2 0 2 1 0 3 cos2 2 2 2 1 2 1 r z c z R r R z r z X z r r z ,

( )

3

( )

₂ 0 3 ~ 2 ~ ~ _A z P z z =κΦ −κΓ− − ′ Ω , де c – невідома стала, ₅

( )

0 ~ 3 0′ =Φ A , r₁=0.5P κ~, r₀ =Γ+A~₀′ ~κ. (17) Беручи до уваги умову однозначності кутів повороту при обході контурів тріщин, а також (17), отримаємо систему рівнянь для знаходження невідомих сталих c і ₅ A~₀′ 7 14 5 42 0 ~ b a c a A′ − = , A~₀′a₅₂+c₅R−2 =b₈, де

(

+Γ

)

ϕ = −2 2 1 8 rR sin b ,

∫

[

(

)

]

( )

ϕ θ ϕ θ ρ θ − ϕ + θ Γ = 0 2 1 2

7 2 R cos2 cos2 2r sin , d