S TOPNIE D OST˛EPNO´SCI O BIEKTÓW M ATEMATYCZNYCH

(1)

S

^TOPNIE

D

^{OST ˛}^{EPNO ´SCI}

O

^BIEKTÓW

M

ATEMATYCZNYCH

JERZYPOGONOWSKI

Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl

Chcemy podzielić si˛e ze słuchaczami refleksjami na temat tego, które obiekty matematyczne s ˛a łatwiej, a które trudniej dost˛epne poznawczo. Rozumiemy przy tym ow ˛a dost˛epno´sć jako charakteryzowan ˛a wewn ˛atrz samej matematyki. Nie ozna- cza to, ˙ze całkowicie od˙zegnujemy si˛e od rozwa˙zań filozoficznych, dotycz ˛acych np. epistemologii i ontologii matematyki, a tak˙ze tego, czy matematyka jest two- rzona czy odkrywana. Nie pomijamy równie˙z rozwa˙zań z nauk kognitywnych, dotycz ˛acych poznania matematycznego. Główny nacisk poło˙zony jednak b˛edzie na mo˙zliwo´sci ustalania, nazwijmy to tak, skal dost˛epno´sci obiektów matematycznych przy u˙zyciu aparatu poj˛eciowego samej matematyki. Za przykłady takich skal uwa˙zamy np.:

1. Logiczn ˛a klasyfikacj˛e poj˛e´c (hierarchia arytmetyczna i analityczna).

2. Rozszerzenia systemów liczbowych (od liczb naturalnych, przez całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone, a˙z do ogólniejszych jeszcze systemów).

Ró˙zne stopnie dost˛epno´sci przypisywa´c mo˙zemy liczbom: konstruowalnym, algebraicznym, przest˛epnym, obliczalnym, normalnym.

3. Hierarchi˛e Baire’a funkcji (wychodz ˛ac ˛a od funkcji ci ˛agłych i konstruuj ˛ac ˛a pi˛etra hierarchii z wykorzystaniem zbie˙zno´sci ci ˛agów funkcyjnych).

4. Hierarchi˛e stopni nieobliczalno´sci znan ˛a z teorii rekursji.

5. Hierarchi˛e du˙zych liczb kardynalnych w teorii mnogo´sci.

Oprócz omówienia wybranych przykładów matematycznych b˛edziemy starali si˛e równie˙z sformułowa´c pewne refleksje natury filozoficznej, dotycz ˛ace np.: roli intuicji matematycznej w kontek´scie odkrycia, problemu bł ˛adzenia w matematyce, ustalania co jest standardem, wyj ˛atkiem lub patologi ˛a, mo˙zliwo´sciami jednoznacz- nej charakterystyki modeli zamierzonych wybranych teorii, zwi ˛azków matematyki z naukami empirycznymi.

Praca nad odczytem została wykonana w ramach projektu badawczego NCN nr 2015/17/B/HS1/02232 Aksjomaty ekstremalne: aspekty logiczne, matematyczne i kognitywne.