b) (za 4 pkt.) Sformułowa´c wykorzystane własno´sci transformaty Laplace’a

Egzamin z TCiWdTD dn. 01.02.2010

...

Nazwisko i im i ˛e, grupa

1 2 3 4 5 6 Egz Cw´ X

Zad. 1. a) (za 6 pkt.)

Wiedz ˛ac, ˙ze wielomiany Laguerre’a wyra˙zaj ˛a si ˛e wzorem L_n,α(t) = 1

n!e^αt dⁿ dtⁿ

¡tⁿe^−αt¢ , wyznaczy´c transformat ˛e Laplace’a L {Ln,α} (s).

b) (za 4 pkt.)

Sformułowa´c wykorzystane własno´sci transformaty Laplace’a.

Zad. 2. (za 10 pkt.)

Stosuj ˛ac transformat ˛e Laplace’a rozwi ˛aza´c równanie

y⁰⁰⁰+ 3y⁰⁰+ 3y⁰+ y = 6e^−tdla t > 0, z warunkami y¡ 0⁺¢

= y⁰¡ 0⁺¢

= y⁰⁰¡ 0⁺¢

= 0.

Zad. 3. a) (za 5 pkt.)

Sformułowa´c i udowodni´c twierdzenie Borela o splocie dla transformaty Laplace’a.

b) (za 5 pkt.)

Udowodni´c, ˙ze [t · 1⁺(t)] ∗ [e^t· 1⁺(t)] = (e^t− t − 1) · 1⁺(t).

Zad. 4. a) (za 6 pkt.)

Wyznaczy´c pierwsz ˛a i drug ˛a pochodn ˛a w sensie dystrybucyjnym funkcji f (x) = |x − 2| + 2 [x]

b) (za 4 pkt.)

Poda´c definicj ˛e no´snika dystrybucji, równo´sci dystrybucji na zbiorze otwartym, definicj ˛e dystrybucji temperowanej (wolnorosn ˛acej).

Zad. 5. a) (za 7 pkt.)

Sformułowa´c i udowodni´c twierdzenie o zachowaniu si ˛e transformaty Laplace’a w niesko´nczono´sci.

b) (za 3 pkt)

Niech H^ν{f (r)} (p) = efν(p) oznacza niesko´nczon ˛a transformat ˛e Hankela funkcji f (r) w punkcie p.

Pokaza´c, ˙ze dla a > 0 zachodzi wzór

H^ν{f (ar)} (p) = 1 a²feν

³ p a

´ . Zad. 6. a) (za 8 pkt)

Rozwi ˛aza´c równanie ró˙znicowe

x_n+3+ 3x_n+2+ 3x_n+1+ x_n = 1, gdzie x₀= 0, x₁= 0, x₂= 1.

b) (za 2 pkt.)

Sformułowa´c i udowodni´c twierdzenie o splocie dla Z−transformaty.