Piotr Obarski, Krzysztof Lech
Referat z algebry Zadanie 3.6
a) Pokazać, że G26 G16 G jest przekrojem G.
To że G1 i G2są grupami jest oczywiste, ponadto G2 faktycznie jest podgrupą G1, bo mamy x ∈ G2⇒ (x, 1) ∈ K ⇒ x ∈ G1. Zatem podpunkt sprowadza się do sprawdzenia, że G2 jest podgrupą normalną w G1. Rozważmy g1∈ G1 oraz g2∈ G2. Wtedy istnieje y ∈ H, że (g1, y) ∈ K oraz wiem, że (g2, 1) ∈ K. Stąd od razu otrzymujemy (g1, y)(g2, 1)(g1, y)−1∈ K ⇒ (g1g2g1−1, 1) ∈ K ⇒ g1g2g−11 ∈ G2, z definicji grupy G2, co wobec dowolności g1, g2 kończy dowód tego podpunktu.
b) UWAGA! Tutaj przytoczę trochę bardziej precyzyjną treść zadania ustaloną po konsultacji z pro- wadzącą ćwiczenia, ponieważ oryginalna treść jest niejasna (w szczególności nie podaje definicji grup H1 i
H2).
Treść: Niech podgrupy H1, H2 będą zdefiniowane analogicznie do grup G1, G2, z tą różnicą że są pod-
grupami H a nie G więc zamieniamy role współrzędnych. Udowodnić wtedy, że φ : G1/G2 → H1/H2 dane wzorem φ(xG2) = yH2, gdzie y jest dowolnym elementem dla którego (x, y) ∈ K, jest izomorfizmem.
Rozwiązanie: Zacznę od pokazania, że funkcja φ jest dobrze zdefiniowana. Weźmy x ∈ G1 oraz y1, y2 ∈ H1 takie, że y16= y2 oraz (x, y1) ∈ K i (x, y2) ∈ K (jeśli nie istnieją takie y1, y2 to fakt że φ jest dobrze zdefiniowana jest oczywisty).
Wtedy (x, y1)−1(x, y2) ∈ K ⇒ (1, y1−1y2) ∈ K ⇒ y1−1y2∈ H2⇒ y1H2= y2H2, co faktycznie uzasadnia słuszność definicji φ, wobec jednoznacznego określenia wartości φ(xG2) dla ustalonego x.
Pokażemy teraz, że φ jest injekcją. Niech x1, x2 ∈ G1, x1 6= x2 ale φ(x1G2) = φ(x2G2) i spróbujemy dojść do sprzeczności. Niech y1H2 = φ(x1G2) oraz y2H2 = φ(x2G2). Mamy y1H2 = y2H2 ⇒ y1−1y2 ∈ H2 ⇒ (1, y1−1y2) ∈ K co razem z (x1, y1) ∈ K daje (x1, y1)(1, y−11 y2) ∈ K ⇒ (x1, y2) ∈ K. Z ostatniego i z (x2, y2) ∈ K wynika (x1, y2)−1(x2, y2) ∈ K ⇒ (x−11 x2, 1) ∈ K ⇒ x−11 x2 ∈ G2 ⇒ x1G2 = x2G2. Co daje żądaną równość argumentów wynikającą z równości wartości funkcji i dowodzi tego, że φ jest iniekcją.
Czas na pokazanie, że φ jest surjekcją. Weźmy yH2∈ H1/H2dla y ∈ H1. Z definicji H1wiemy że istnieje x ∈ G takie, że (x, y) ∈ K. To znaczy natomiast, że x ∈ G1. Wprost z definicji φ mamy zatem φ(xG2) = yH2, co chcieliśmy pokazać.
Zatem φ jest surjekcją.
Pokazaliśmy już, że φ jest bijekcją, zostało pokazanie, że jest ono homomorfizmem. Niech x1, x2∈ G1oraz y1, y2∈ H1
i (x1, y1) ∈ K, (x2, y2) ∈ K. Z ostatnich zawierań i tego, że K jest grupą mamy od razu (x1x2, y1y2) ∈ K. Zatem
1
φ(x1G2x2G2) = φ(x1x2G2) = y1y2H2 = y1H2y2H2 = φ(x1G2)φ(x2G2), co kończy dowód że φ jest homomorfizmem, i przy okazji izomorfizmem.
c) UWAGA! Podobnie jak w podpunkcie b) lepiej będzie jeśli sformułuję treść zadania na jaką zgodzi- liśmy się z prowadzącą ćwiczenia.
Treść: Dane są przekroje G2 6 G1 6 G, H2 6 H1 6 H. Ponadto grupy G1/G2 i H1/H2 są izomorficzne.
Wywnioskować stąd że istnieje podgrupa K 6 G × H której związek z podgrupami G2, G1, H2, H1 jest taki jak w poprzednich podpunktach.
Rozwiązanie: Zdefiniujmy podgrupę K 6 GxH w następujący sposób: Niech Φ będzie izomorfizmem pomiędzy grupami ilorazowymi. Wtedy do K niech należą wszystkie elementy postaci (g1, h1) gdzie h1jest reprezentantem warstwy Φ(g1G2).
Tak zdefiniowana grupa K jest spełnia założenia z poprzednich podpunktów. Istotnie, ponieważ 1 należy do warstwy Φ(G2) to oczywiście (g2, 1) ∈ K dla każdego g2 ∈ G2. Analogicznie łatwo pokazać, że grupa H2 spełnia (1, h2) ∈ K dla każdego h2∈ H2. Weźmy teraz x ∈ G1. Wtedy oczywiście istnieje y ∈ Φ(x) takie że (x, y) ∈ K. Czyli również grupa G1
jest opisana jak w poprzednich podpunktach (analogicznie H1). To, że K jest grupą wynika od razu z faktu że G1i H1są grupami.
2
