TEORIA GIER - Lista 8 - gry komnbinatoryczne
Zad 1. Znajd¹ P-pozycje dla gry odejmowania ze zbiorem odjemników a) S = {1, 3, 5, 7}.
b) S = {1, 3, 6}.
c) S = {1, 2, 4, 8, 16, . . .} - pot¦gi liczby 2.
Który z graczy ma strategi¦ wygrywaj¡c¡ dla n = 100 ?
Zad 2. Znajd¹ strategi¦ wygrywaj¡c¡ dla pierwszego gracza w grze "trzy- dzie±ci jeden".
Zad 3. Oblicz sum¦ nim dla liczb 27 i 17. Wiemy, »e suma nim liczb 38 i x wynosi 25. Oblicz x.
Zad 4. Znajd¹ pierwsze ruchy wygrywaj¡ce w grze nim dla wie» zªo»onych z x, y, z i w klocków gdy
a) (x, y, z, w) = (12, 19, 27, 0).
b) (x, y, z, w) = (13, 17, 19, 23).
Opisz optymalne reakcje na nast¦puj¡ce zagrania drugiego gracza: gracz usuwa 2,5 lub 7 klocków.
Zad 5. Nimble. Nimble to gra, której plansz¡ jest wiersz zªo»ony z przy- legaj¡cych do siebie n-tu kwadracików. Przed rozpocz¦ciem gry w s-tym kwadraciku umieszczamy ks czarnych kropek, gdzie ks mo»e by¢ równe zero (dopuszczamy nie umieszczanie »adnej kropki jak równie» wielu kropek w jednym kwadracie). Gracze wykonuj¡ ruchy naprzemiennie. Ruch polega na przesuni¦ciu dowolnej kropki w lewo do dowolnego innego ni» zajmowany kwadracik. Wygrywa gracz, który wykona ruch jako ostatni. Który z graczy (rozpoczynaj¡cy czy zaczynaj¡cy jako drugi) mo»e zagwarantowa¢ sobie wy- gran¡ w grze dla n = 14 i k5 = 1, k9 = 2, k10 = 1, k11 = 1i k14 = 1(pozostaªe ks = 0)? Jaki byªby ruch pocz¡tkowy ?
Zad 6. Znajd¹ funkcj¦ Sprague-Grundy dla grafu zaª¡czonego do listy zada«.
Zad 7. Rozwa»my gr¦ odejmowania z zasad¡, »e mo»na odj¡¢ co najwy»ej poªow¦ klocków. Ko«cowe pozycje to 0 i 1. Dla n = 10 i n = 15 narysuj odpowiedni graf i znajd¹ funkcj¦ Sprague-Grundy. Który gracz mo»e sobie zapewni¢ wygran¡ ? Jaki powinien by¢ pierwszy ruch gracza wygrywaj¡cego?
