ZASTOSOWANIE FUNKCJI HÖLDERA DO MODELOWANIA DANYCH PRZESTRZENNYCH

Adrianna Mastalerz-Kodzis

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Katedra Matematyki

adrianna.mastalerz-kodzis@ue.katowice.pl

ZASTOSOWANIE FUNKCJI HÖLDERA DO

MODELOWANIA DANYCH PRZESTRZENNYCH

Wprowadzenie

Celem artykułu jest pokazanie możliwości modelowania przestrzennego na podstawie wybranych metod i pojęć geometrii fraktalnej. U schyłku XX w. uka- zało się wiele prac na temat modelowania szeregów czasowych (w tym ekono- micznych, finansowych) za pomocą wybranych metod fraktalnych. W ostatnich latach szybki rozwój modelowania przestrzennego (ekonometrii i statystyki przestrzennej) doprowadził także do powstania technik opartych na pojęciach geometrii fraktalnej zastosowanych do opisu danych przestrzennych. W począt- kach XXI w. zaczęto używać własności fraktalnych do modelowania w wyż- szych wymiarach. Prac o tej tematyce jest jednak nadal niewiele, szczególnie w kontekście modelowania danych ekonomicznych.

W literaturze z zakresu ekonometrii i finansów powszechnie stosuje się procesy stochastyczne ruchów Browna. Jest to tematyka, jak się wydaje, dobrze zbadana i opisana przez naukowców, a także mająca szerokie zastosowanie w praktyce. Modeluje się finansowe szeregi czasowe jako realizacje multiułam- kowych procesów ruchów Browna. Wykres szeregu ma płaszczyźnie ma wymiar topologiczny równy 1, zaś wymiar fraktalny z przedziału (1,2). Zmienność wy- kresu mierzą punktowe wykładniki Höldera (zdefiniowane w punkcie 2 niniej- szego artykułu) zależne wyłącznie od czasu.

W artykule autorka przybliża nowe podejście do modelowania, jeszcze sła- bo opisane w literaturze, a mianowicie uogólnia się modelowanie za pomocą ru- chów Browna na przypadek 2- i 3-wymiarowy. Wówczas punktowe wykładniki Höldera zależą od położenia punktu na płaszczyźnie, co pozwala na przestrzenne modelowanie zmienności. Mogą także zależeć od miejsca na płaszczyźnie i pa-

rametru czasowego i wtedy modelowanie ma charakter przestrzenno-czasowy.

Takie spojrzenie na przestrzeń i charakteryzujące ją wielkości jest w nauce inte- resujące z co najmniej dwóch względów. Po pierwsze można precyzyjnie mode- lować zmienność powierzchni w czasie i przestrzeni, po drugie zastosowanie podejścia fraktalnego umożliwia w interesujący sposób zaprezentować zmiany badanych charakterystyk.

1. Zmienność według Höldera i multifraktalne szeregi czasowe

Modelowanie losowych szeregów czasowych za pomocą procesów stocha- stycznych jest powszechnie stosowane w analizach ekonomicznych. Jedną z me- tod wykorzystywanych do opisu szeregów jest zastosowanie ruchu Browna¹.

Niech

(

X ,dx

)

i

(

Y ,dY

)

będą przestrzeniami metrycznymi².

Funkcję f :X →Y nazywamy funkcją Höldera o wykładniku

α ( α ^{> 0} )

^,

jeśli dla każdych x,y∈X takich, że ^dX

( )

^x

^,

^y

^{< 1}

funkcja spełnia nierówność (1) z dodatnią stałą c

( ) ( ) (

^{f x f y}

) ^≤

d_Y

,

^c

⋅ (

^dX

( )

^x

,

^y

)

^{α. (1)}

Jeżeli funkcja Höldera jest klasy C¹, to wymiar fraktalny wykresu funkcji jest równy jeden. Gdy założy się jedynie ciągłość, to wykres może być frakta- lem, mieć ułamkowy wymiar.

Niech będzie dana funkcja f :D→ℜ

(

^D

^{⊂ ℜ} )

oraz parametr

^{α ∈} ( ) ^{0 , 1}

^.

Funkcja f :D→ℜ jest funkcją klasy C^α Höldera, jeżeli istnieją stałe c>0 oraz h₀

> 0

takie, że dla każdego x oraz wszystkich h takich, że

0 <

h

≤

h₀ spełniona jest nierówność

(

^{x h}

) ( )

^{f x chα}

f + − ≤ ^{. (2)}

Niech x₀ będzie dowolnym punktem z dziedziny funkcji f

(

^x0

^{∈ D ⊂ ℜ} )

. Funkcja f :D→ℜ jest w punkcie x₀ funkcją klasy ^α

x0

C Höldera, jeżeli ist-

1 Zastosowanie procesów stochastycznych do modelowania szeregów finansowych opisano m.in.

w pracach [1], [2], [10], [11].

2 Definicje zaczerpnięto z prac: [1], [4], [10], [11].

Zastosowanie funkcji Höldera do modelowania… 39

nieją stałe

ε

,c>0 takie, że dla każdego x

∈ (

x₀

− ε , x

₀

+ ε )

spełniona jest nierówność

( ) ( )

x f x0 c x x0 ^α

f

− ≤ −

^{. (3)}

Punktowym wykładnikiem Höldera funkcji f w punkcie x₀ nazywa się liczbę

α

_f

( )

x0 daną wzorem

^α

_f

( )

x₀

= sup { ^α :

f

∈

C_x^α0

}

. Funkcją Höldera dla funkcji f nazywa się funkcję, która każdemu punktowi x

∈

D przyporząd- kowuje liczbę

α

f

( )

^{x .}

Niech Ht

^: [ ^{0 , ∞} ) ^→ ( ) ^{0 , 1}

będzie funkcją Höldera o wykładniku

α > 0

^. Uogólnionym multiułamkowym procesem ruchu Browna z parametrem funkcyj- nym H_t i

λ

– liczbą rzeczywistą nazywa się proces

{

BH_,λ

( )

t

}

t_∈ℜtaki, że dla każdego t

∈ ℜ

( )

_{( )}

( ) ξ

ξ

ξ

λ e dB

t B

n D H t

it H

n n

∑ ∫ −

=

^∞

=0 +0,5

,

1

, (4)

gdzie:

B – standardowy proces ruchu Browna,

{ ^{: 1} }

0

= ξ ξ <

D oraz dla wszystkich n

≥ 1

^{Dn =}

{ ^ξ

^:

^λ

^{n−1 ≤}

^ξ

^<

^λ

ⁿ

}

^.

Punktowe wykładniki Höldera determinują własności procesu³. Można wymienić kilka z nich:

• im wartości funkcji Höldera są bliższe zera, tym większa zmienność wykre- su, dla wartości funkcji bliskich jedynki proces jest gładszy,

• lokalny wymiar trajektorii procesu ^BH,λ

( )

^t dla każdego t₀

≥ 0

wynosi

( )

0

2 −

H t ^,

• regularność procesu mierzona punktowymi wykładnikami Höldera zmienia się w przedziale (0,1).

Multiułamkowy proces ruchu Browna może być generowany za pomocą metody losowego przemieszczaniu środka odcinka⁴. Odcinek [0,1]

zostaje podzielony w połowie i przypisuje się mu wartość

( )

( ) ( ) ( )

^{( )}

( )^1/2

1 2 2 / 1 2 2

/

1 2

2 1 2

1 2 0

/

1 _H

H

H B B G

B = + + − _⋅ ^{⋅ −} dla zadanej wartości H(1/2).

3 Szczegółowe własności procesów wymieniono w pracach [1], [11].

4 Metodę opisano m.in. w pracach [10], [11].

O

g t

R

c k

2

p m s

5

Ogó

gdz t – d

Rys.

czas ków

2. Z z

prac met stan

5 M re 0 1 H(

ólni

zie:

d or

. 1. F

D sow w H

Zas zm

Sp ce [ trii no m

Metod egach 0 1

1 (t)

ie w

raz

Funk

la weg Höld

sto ien

poś [7], frak m.in

dę e h wy

w i-

t +

kcja

dan go is dera

oso nno

śród [13 ktal n. z

stym ygen

tym

+ d s

a Hö

nego stni a⁵. E

owa ośc

d lit 3].

lnej z pra

macji nerow

m kr

B_H

są p

ölder

o ( ieje Esty

ani ci d

tera Nie j. W ac [

i opi wan

roku

( )^t

H

pop

ra H

wcz e tak yma

H

ˆ

Sk

e f dan

atur e w W n [3],

isano nych

u st

( )

^t

prze

H(t) =

ześ kże ator

ˆ

( H_i/

,n k

fun nyc

ry z wyko inie [5]

o m.

kom

tosu

= B edni

= 0,9

niej e w r pr

(n−¹

( )

ⁱ

kcj ch p

z z orzy ejsz ], [6

.in. w mput

uje

(

^t

B

imi

98 [

j w lite rzyj

)

1

=

=

n

ji H prz

zakr ystu zym

6],

w pr terow

się

− d

pun

sin ²

wyg erat mu

−

=

−

n

m

Höl zes

resu uje m ar [8],

racac wo o

wz

)

⁺

2 d

nkt

2 (12

gene turz uje p

log

1

= i j

lde strz

u ek się rtyk , [9

ch [1 oraz

5

zór + 2

B

tam

2t) +

erow ze m pos

(

lo

g π

+

∑

−

= / k i

k i

era zen

kon ę jed kule

], [

10], na d

500 t

(

^t+

B

mi po

+ 0,0

wan met

tać

(

og π /

∑

^/2

2 / k

do nny

nom dna e zap

12]

[11]

dany t

+ d

odz

01] i

neg oda :

2 /

−

n

S

B

o ge ych

metr ak w apre

.

]. Ro ych r

)

₊

ziału

i mu

o c a es

)

1

,

−

S_kn

+1

Bj

ene h

rii p w ni ezen

ozwa rzecz

+ G u od

ultiuł

czy stym

( )

ⁱ

n

,

−

1 n

ero

prze ich ntow

ażan zywi

1

dcin

łamk

też mac

) )

− B

owa

estr poj wan

nia n istyc

i

− 2

2 1

nka

kow

ż rz cji p

d

,n

Bj

ani

rzen ojęć no n

a tem ch m

(^t

H i

H

⋅

2

²⋅

a cz

wy pr

zecz pun

dla .

ia

nnej zac now

mat m możn

( ) )

t t

H −

asu

roce

zyw nkto

j m cze we p

meto na zn

−2

,

u [0

es ru

wist owy

moż erpn pod

ody naleź

,

,1].

uchu

tego ych

żna nięty dejśc

esty źć w

.

u Bro

o) s wy

wy ych cie,

ymac prac

own

szer ykła

ymi h z , ko

cji n cy [1

(5

na

reg adni

(6

(7

ieni geo orzy

a sze 10].

5)

gu i-

6)

7)

ić o- y-

e-

Zastosowanie funkcji Höldera do modelowania… 41

W punkcie 1 opisano zachowanie się losowych szeregów czasowych. Natural- ne wydaje się przeniesienie metodologii na przypadek płaszczyzny 2-wymiarowej i przestrzeni 3-wymiarowej. Multifraktalne ruchy Browna w ujęciu przestrzennym można wykorzystać jako narzędzie umożliwiające wielokierunkowe badania na- ukowe, w tym także społeczno-ekonomiczne. Można np. analizować rozwój prze- strzenny miast, rozkład populacji na obszarze miast, wartości dowolnej cechy prze- strzennej na danym obszarze. Interesujące jest także badanie intensywności badanego zjawiska zależnie od miejsca i czasu, na przykład zanieczyszczenia śro- dowiska, opadów deszczu, zmian temperatury. Za pomocą wartości funkcji Höldera można także opisać skutki wybuchu czy też występowanie złóż surowców natural- nych na danej głębokości wewnątrz Ziemi.

Dwuwymiarowy ruch Browna ze stałym wykładnikiem Höldera H na całej po- wierzchni to proces dla każdego

( )

^x

^,

^y

^∈

^R2o funkcji kowariancji danej wzorem⁶:

( ) ( )

(

BH x BH y

)

x ^H y ^H x y ^H

E

, =

²

+

²

− −

^{2 (8)}

Niech H będzie ciągłą funkcją z R² w R. W sensie topologicznym, dwuwymia- rowy multiułamkowy proces ruchu Browna ma funkcję kowariancji daną wzorem:

( )

( )

_{( )}

( )

(

^{BH x BH y}

)

^{x H( ) ( )x H y y H( ) ( )x H y x y H( ) ( )x H y}

E _.

,

_.

=

⁺

+

⁺

− −

⁺ (9)

Tak jak w przypadku jednowymiarowym, wykładnik Höldera determinuje wła- sności powierzchni m.in.:

• mierzy regularność powierzchni; jest ona w każdym punkcie deterministycz- ną funkcją amplitudy (wysokości),

• jeżeli założy się, że H jest funkcją różniczkowalną, to z prawdopodobień- stwem 1 zachodzi równość

α

B_{H( )x,y}

( )

^x

,

^y

=

^H

( )

^x

,

^{y .}

Kolejny krok polega na rozważaniu generowania za pomocą funkcji Höld- era przestrzeni 3-wymiarowej (w sensie topologicznym!). Jest to najciekawszy z przypadków, trzeci wymiar (parametr) może być bowiem traktowany jako wartość cechy dla punktu płaszczyzny (x,y). Dokładając parametr czasowy otrzymuje się modelowanie czasowo-przestrzenne dla dowolnego argumentu (x,y,t), trudne do pokazania w artykule, znacznie bardziej efektowne np. w pre- zentacji multimedialnej.

Na bazie metody generowania losowego przemieszczania środka odcinka można także skonstruować metodę generowania powierzchni multifraktalnych [12].

6 Prace na temat zastosowania wykładników w przestrzeni to: [2], [3], [5], [6], [8].

A k w

N I R Ź

k i d z w j r d s t n o r Alg ku 2 wej

Nota Im w Rys.

Źród

kwa itera drat zad war jest ry o drat się tów nich obli ry, k

gory 2 p dla

a:

wyższ . 2. P dło: [

W adra acji tów any rtoś

los A o ty ty, t

zna w po h pu iczo któr

ytm poka

a za

za w Pow 12].

W pi atów i lic w je

ym ści m

sow Algo ym

trój ajdo otrz unk one

rą p my m

azan adan

artoś wierz

ierw w, czba est p par mia we n orytm

sam jkąt owa zebn któw e no

pon mają

no nej

ść H zchn

wsz gdz a ty przy ram ar, i na k m j mym

ty lu ać w nyc w i owe now

ą zb wiz wa

, tym nia d

zym zie ych

ypi metr ich każd jest m k

ub wier ch d mo e wy wnie

bliż zua arto

m „gł dla st

m kr b t kw isyw rze

roz dym rek szta sze rzch do k ody

yso e się

żoną aliza ści

ładsz tałeg

roku to d wadr

wan h ( złoż m kr kure ałci eścio

hoł kole yfiku okoś

ę dz ą m ację par

za” p go H

u it dow rató na m

0 <

żen roku enc ie. T

oką łki f ejn uje ści, zieli

meto ę ko ram

powi H rów

tera woln ów mia

< h nie ku it

cyjn Tym ąty.

figu ego się na i.

odol omp metr

ierzc wne

acji na l wy ara

<

w p tera ny, p

mi o Lo ury, o po ę ją ależ

log pute ru H

hnia ego k

np.

licz ynos

(int 1) o polu acji.

pol obs osow

, a odz ą o y u

ię, erow H.

a, ma kole

. kw ba si ju tens oraz u p .

ega szar wo nas ziału

war użyć

róż wą

ająca ejno

wad nat uż ሺ syw z d pow a na ram prz stęp u. O

rtoś ć ic

żnic los

a mni 0,3;

drat tura ሺܾ^௜ሻ wno dwu wsta a po mi m zypi pnie Obl ść l ch j

cą je sow

iejsz

; 0,9

t jed alna

ሻ^ଶ. ość) umia

łym odzi mog

isuj e na licz loso

ako est wej

zy wy 9

dno a w

Ka ), kt anie m w iale ą by je s ależ a s ową o w

licz pow

ymia

ostk więk ażde

tóre e N w w e ob yć ię w ży o

ię ś ą. W wierz

zba wie

ar fra

kow ksza emu ej d New wyni bsza dow wys obli śred W k

zch wy erzc

aktaln

wy j a od u z defi wton iku aru wol soko iczy dnią kole hołk

ymi chni

ny.

est d 1.

pow inic na.

po na lne

ośc yć w

ą w ejny ków

iaró i 2

dz . W wst cja

Po odzi mn figu ci, n

wys wyso

ym w dla

ów.

i 3

ielo W i-t tają

opi wy iału niej ury na ja

soko oko

kro a n

Na wy

ony tym ącyc iera yzna u kw sze y, np

akic ośc ość oku ow

a ry ymi

y na m kr ch k a się

acz wad e ob p. k ch b ci pu sąs , m ej f

ysun iaro

a b rok kwa

ę n zeni drat bsza kwa będ unk sied mają figu n- o-

2

ku a- na

iu tu a- a- dą

k- d- ąc u-

Zastosowanie funkcji Höldera do modelowania… 43

Dla wyższych wymiarów przestrzeni istnieje metoda estymacji punktowych wykładników Höldera. Jest ona jednak dość skomplikowana matematycznie, zo- stała opisana w pracach [5], [8]. Dla łamanej wystarczył przedział na osi czasu, w wyższych wymiarach to koło, kula.

Podsumowanie

Wykorzystanie metodologii geometrii multifraktalnej do modelowania pro- cesów zachodzących w otaczającym nas świecie jest obecnie w literaturze przedmiotem zarówno teoretycznych rozważań naukowców, jak i eksperymen- talnych doświadczeń praktyków, także w dziedzinie finansów i ekonomii. Anali- za fraktalna pozwala określać w sposób ilościowy stopień nieregularności po- wierzchni. Połączenie wybranych metod geometrii fraktalnej z elementami modelowania przestrzennego jest interesujące z graficznego punktu widzenia, ale także użyteczne z uwagi na możliwość wykorzystania metodologii do mode- lowania ekonomicznego oraz do analizy zmienności w czasie i przestrzeni.

Literatura

[1] Ayache A., Lévy Véhel J., Generalized Multifractional Brownian Motion: Defini- tion and Preliminary Results, [w:] Fractals: Theory and Applications in Engine- ering, eds. M. Dekking, J. Lévy Véhel, E. Lutton, C. Tricot, Springer Verlag, New York 1999.

[2] Ayache A., Taqqu M.S., Multifractional Processes with Random Exponent, „Sto- chastic Processes and their Applications” 2004, 111(1), s. 119-156.

[3] Barrière O., Synthèse et estimation de mouvements browniens multifractionnaires et autres processus à régularité prescrite. Définition du processus autorégulé multifractionnaire et applications, PhD thesis, IRCCyN, Nantes 2007.

[4] Daoudi K., Lévy Véhel J., Meyer Y., Construction of Continuous Functions with Prescribed Local Regularity, „Journal of Constructive Approximations” 1998, Vol. 014(03), s. 349-385.

[5] Echelard A., Barrière O., Lévy-Véhel J., Terrain Modelling with Multifractional Brownian Motion and Self-Regulating Processe, Computer Vision and Graphics:

Proceedings, ICCVG 2010, Vol. 6374, eds. L. Bok, R. Tadusiewicz, L.J. Chmie- lewski, Warsaw 2010, s. 342-351.

[6] Falconer K.J., Lévy-Véhel J., Multifractional, Multistable and Other Processes with Prescribed Local Form, „Journal of Theoretical Probabilisty” 2008, Vol. 21.

[7] Kopczewska K., Ekonometria i statystyka przestrzenna, Wydawnictwo CeDeWu, Warszawa 2007.

[8] Lévy-Véhel J., Mendivil F., Multifractal and Higher Dimensional Zeta Func- tions, „Nonlinearity” 2011, Vol. 24(1), s. 259-276.

[9] Lévy-Véhel J., Seuret S., The 2-Microlocal Formalism, Fractal Geometry and Applications: A Jubilee of Benoit Mandelbrot, „Proceeding of Symposia in Pure Mathemathics” 2004, Vol. 72 (2), s. 153-215.

[10] Mastalerz-Kodzis A., Modelowanie procesów na rynku kapitałowym za pomocą multifraktali, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Katowice 2003.

[11] Peltier R.F., Lévy Véhel J., Multifractional Brownian Motion: Definition and Preliminary Results, INRIA Recquencourt, Rapport de recherche No. 2645, 1995.

[12] Perfect E., Tarquis A.M., Bird N.R.A., Accuracy of Generalized Dimensions Est- imated from Grayscale Images Using the Method of Moments, „Fractals” 2009, Vol. 17, No. 3, s. 351-363.

[13] Suchecki B., Ekonometria przestrzenna, Wydawnictwo C.H. Beck, Warszawa 2010.

APPLICATION OF HÖLDER FUNCTION TO DESCRIPTION SPATIAL DATA

Summary

The aim of his article is to use the Hölder function to analysis spatial data. We show the method of generate spatial data with Hölder exponents. The article consists of two parts: the first one presents elements of analysis the Hölder function, and the second consist results of analysis in spatial dimension.