Wyznacznik macierzy kwadratowej 1.
Przypomnienie: wyznacznik jest funkcją, która macierzy kwadratowej przyporządkowuje liczbę.
Dotyczy wyłącznie macierzy kwadratowych (liczba wierszy jest taka sama jak liczba kolumn).
Tak więc, najmniejszą macierzą kwadratową jest macierz stopnia 1 (jedna kolumna i jeden wiersz).
Np..: [𝑎 ]
Wtedy wyznacznik tej macierzy jest równy liczbie 𝑎 Na przykład: det [3]=3; det [-2]= -2; det [2i]=2i; itd.
Pamiętajmy, że zamiast symbolu "det", możemy użyć prostych kresek zamiast nawiasu kwadratowego w macierzy, czyli np.
1 2
3 4 zamiast det 1 2 3 4 . Zadanie 1
1 5
−3 4 = 1 ⋅ 4 − 5 ⋅ (−3) = 19 1.
2i −1
1 − i 0 = 2i ⋅ 0 − (−1) ⋅ (1 − ı̇) = 1 − i 2.
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 3.
Obliczyć następujące wyznaczniki macierzy stopnia drugiego (będziemy mówić wyznaczniki stopnia drugiego):
Uwaga! Wzór 3 obowiązuje tylko w przypadku wyznaczników stopnia 2.
Zadanie 2
Obliczyć następujące wyznaczniki stopnia trzeciego: 1 −1 2
−1 0 3
2 2 −2
,
0 10 5
−1 5 1
0 2 0
. Użyjemy tzw. metody Sarrusa,
Jak widać, w metodzie Sarrusa, dopisujemy albo pierwszą i drugą kolumnę z prawej strony wyznacznika (jak w przykładzie pierwszym), albo pierwszy i drugi wiersz pod wyznacznikiem
I wykonujemy "mnożenie po skosie", dodawaniei odejmowanie.
Uwaga! Metodę Sarrusa stosujemy tylko w przypadku wyznaczników stopnia trzeciego!
Zadanie 3 Obliczyć następujące wyznaczniki:
1)
−1 2 3 −2
0 1 1 3
2 −1 0 4
0 3 −3 0
2)
1 2 3 4
0 −2 −2 −2
2 4 6 8
3 7 1 0
Zastosujemy tzw. rozwinięcie Laplace'a, najpierw przekształcając czwarty wiersz aby była w nim tylko jedna liczba niezerowa.
1) Ćwiczenia 15, 17 kwietnia
Nowa sekcja 2 Strona 1
Wynik właściwie był wiadomy już od początku, gdyż w wyznaczniku wyjściowym wiersz pierwszy oraz trzeci są proporcjonalne.
Uwaga! Rozwinięcie Laplace'a można stosować również dla wybranej kolumny.
Rząd macierzy 2.
Przypomnienie: rząd macierzy jest stopniem jej największego niezerowego minora (wyznacznika powstałego po skreśleniu pewnej liczby wierszy i/lub kolumn)
Uwaga! Inaczej niż w przypadku wyznacznika, rząd znajdujemy dla macierzy dowolnego wymiaru!
Zadanie 4 Wyznaczymy rzędy macierzy:
𝐴 = 1 −3 5
2 4 7
a)
Macierz A jest wymiaru 2 x 3, więc jej rząd jest równy co najwyżej 2 (nie ma w niej minora większego niż 2 x 2).
Znajdujemy minor stopnia 2 niezerowy, np.. Przez skreślenie ostatniej kolumny i otrzymujemy 1 −32 4 = 10 ≠ 0.
Tak więc rz A = 2.
𝐵 = 2 −1 3
−2 1 −3
b)
Macierz B jest również wymiaru 2 x 3, ale łatwo sprawdzić, że wszystkie minory stopnia drugiego są zerowe. Tak więc rz B = 1.
Uwaga! Szukając rzędu macierzy jeden z dwóch proporcjonalnych wierszy (lub jedną z dwóch proporcjonalnych kolumn) można wykreslić.
Tak więc, 𝑟𝑧 2 −1 3
−2 1 −3 = 1.
c)
𝐶 = 1 2 −1
2 4 0
3 6 0
Macierz C jest kwadratowa stopnia 3-go, jej rząd może być maksymalnie równy 3. Jest tak, jeśli det C ≠ 0. Obliczamy wyznacznik macierzy metodą Sarrusa i okazuje się, że jest on równy zero. Tak więc rz C < 3, czyli rz C ≤ 2.
Nowa sekcja 2 Strona 2
metodą Sarrusa i okazuje się, że jest on równy zero. Tak więc rz C < 3, czyli rz C ≤ 2.
Znajdujemy niezerowy minor stopnia 2, np. 2 −1
4 0 = 0 − (−4) = 4 ≠ 0 i wobec tego rz C = 2
Rozumujemy jak powyżej. Det D = 0 oraz wszystkie minory stopnia drugiego macierzy D są zerowe. Tak więc rz D = 1
lub
Skreślamy np. drugą kolumnę, bo jest proporcjonalna z pierwszą, wtedy 𝑟𝑧𝐷 = 𝑟𝑧 1 3 2 6 I następnie skreślamy np. trzecią kolumnę jako proporcjonalną z pierwszą, 3 9
Wtedy 𝑟𝑧𝐷 = 𝑟𝑧 1 2 3 = 1 d) 𝐷 =
1 2 3
2 4 6
3 6 9
𝐸= 1 −1 2 4 −1
2 −2 −3 −3 2
3 −3 −1 1 1
a)
Skreślamy drugą kolumnę jako proporcjonalna do pierwszej, a następnie dodajemy wiersz pierwszy do drugiego:
𝑟𝑧𝐸= 𝑟𝑧 1 2 4 −1
2 −3 −3 2
3 −1 1 1 = 𝑟𝑧 1 2 4 −1
3 −1 1 1
3 −1 .1 1
Skreślamy wiersz drugi (lub trzeci) jako identyczne i otrzymujemy:
𝑟𝑧𝐸= 𝑟𝑧 1 2 4 −1
3 −1 1 1
Otrzymana macierz ma wymiar 2 x 4 więc jej rząd wynosi co najwyżej 2. Tak jest, ponieważ z łatwością znajdujemy niezerowy minor
stopnia 2, np. 2 −1
−1 1 = 2 − 1 = 1 ≠ 0.
Mamy wobec tego rz E = 2.
Praca samodzielna:
Nowa sekcja 2 Strona 3
Nowa sekcja 2 Strona 4
