Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem praw rządzącymi zdarzeniami losowymi. Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne i przestrzeń zdarzeń elementarnych związane z doświadczeniem losowym

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem praw rządzącymi zdarzeniami losowymi. Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne i przestrzeń zdarzeń elementarnych związane z doświadczeniem losowym D polegającym na realizacji określonego zespołu warunków, Poszczególne wyniki  doświadczenia losowego traktujemy jako zdarzenia elementarne i zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych jako przestrzeń zdarzeń elementarnych  .

Przykład I. Rzucamy kostką do gry - doświadczenie losowe D. Zdarzenie elementarne  - liczba wyrzuconych oczek.  = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

Przykład II. Losujemy element z populacji generalnej Z tak aby każdy element miał jednakowe szansę wylosowania - doświadczenie losowe D. Zdarzenie elementarne  - wylosowany element z populacji generalnej.  - zbiór wszystkich możliwych elementów populacji generalnej tzn.  =Z. Tak będziemy traktować populację generalną za pomocą rachunku prawdopodobieństwa.

Praktycznie interesują nas nie pojedyncze zdarzenia elementarne  doświadczenia D lecz podzbiory przestrzeni  . W przypadku gdy przestrzeń  jest skończona lub przeliczalna to każdy podzbiór przestrzeni  nazywamy zdarzeniem losowym. W przypadku gdy przestrzeń

 jest nieprzeliczalna to nie każdy podzbiór jest zdarzeniem losowym.

-ciałem zdarzeń losowych przestrzeni  nazywamy rodzinę podzbiorów  przestrzeni

 spełniających warunki (aksjomaty):

1^o   

2^o Jeżeli A   to A^’   gdzie A^’ =  - A dopełnieniem (przeciwne) zdarzenia A.

3^o Suma przeliczalnej lub skończonej liczby zbiorów z rodziny  należy do rodziny , tzn. jeżeli A1   ,………, An  ,….. to (A1…. An…… ) .

Każdy zbiór A należący do -ciała zdarzeń losowych  (A  ) będziemy nazywać zdarzeniem losowym.

W przypadku przestrzeni  skończonej lub przeliczalnej =2^ = { A   ; A podzbiór  } Czyli każdy podzbiór przestrzeni  jest zdarzeniem losowym należącym do rodziny  .

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa

Funkcje P :   R przyporządkowującą każdemu zdarzeniu losowemu A   liczbę P(A)  R nazywamy prawdopodobieństwem jeżeli są spełnione warunki (aksjomaty):

P1: P(A)≥0 dla dowolnego zdarzenia losowego A   P2: P()=1

P3: Jeżeli A1   ,………, An  ,….. jest ciągiem parami rozłącznych zdarzeń losowych to P(A1…. An…… )= P(A1)+….+P( An)+..…

Uwaga Zdarzenia A1   ,………, An  ,….. są parami rozłączne jeżeli część wspólna dowolnej pary zdarzeń jest pusta tzn. AiAj= dla i  j i  zbiór pusty.

Z definicji prawdopodobieństwa wynikają następujące własności prawdopodobieństwa.

1^o P( )=0 2^o Jeżeli zdarzenie losowe A pociąga zdarzenie B (A  B ) to P(A)  P(B ).

3^o P(A)  1 dla dowolnego zdarzenia losowego A  

4^o Jeżeli zdarzenie losowe A pociąga zdarzenie B (A  B ) to P(B - A) =P(B ) - P(A).

5^o Jeżeli A1   ,………, An   są parami rozłącznymi zdarzeniami losowymi to P(A1…. An)= P(A1)+….+P( An)

6^o P(A)+P( A’) =1 a stąd P(A)=1 - P( A’) i P(A’)=1 - P( A)

7^o P(A  B)  P(A)+P(B)-P(AB) dla dowolnych zdarzeń losowych A ,B   .

8^o Jeżeli przestrzeń zdarzeń elementarnych  jest skończona lub przeliczalna. Wtedy prawdopodobieństwa pi = P({i})  0 dla i  i

P1+….+ pn=1 gdy przestrzeń  jest skończona n – elementowa P1+….+ pn+…..=1 gdy przestrzeń  jest przeliczalna

9^o a) Jeżeli przestrzeń zdarzeń elementarnych  jest n – elementowa tzn. n

b) zdarzenia elementarne {i} są jednakowo prawdopodobne tzn.

P({1})= P({2})=…….= P({n})=

n 1

to prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A składającego się z k zdarzeń elementarnych tzn. A k wyraża się wzorem

P(A)=

 A =

n

k =^liczba_liczba^zdarzen_wszystkich^elementarn _zdarzen^ych _elementarn^sprzyjajac_ych^ych _przestrzen^zdarzeniu_{i }^A Jest to klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

Tak określoną trójkę ( ,  , P ) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.

Prawdopodobieństwo warunkowe.

Niech B   i P(B)>0.

Definicja. Prawdopodobieństwem warunkowym pod warunkiem zdarzenia B dowolnego zdarzenia A   nazywamy liczbę ^P(AB) określoną wzorem:

) (

) ) (

( P B

AB B p

A

P 

A, B 

 ^P(B)0. Stąd

0 ) ( ) ( ) ( )

(AB P B P AB P B 

P ; ^{P(AB) P(A)P(B A) P(A)0} Definicja. Zdarzenia

A, B 

 są niezależne  ^{P(AB) P(A)} 

) ( ) ( )

(AB P A P B

P  .

Definicja. Zdarzenia

A

₁

, A

₂

,..., A

_n



 są niezależne  każdego m i n rosnącego ciągu liczb naturalnych 1ⁱ₁ⁱ₂ ...ⁱm ⁿ

) ( )...

( ) ( ) ...

(A_i1A_i2 A_im P A_i1 P A_i2 P A_im

P  .

Twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym.

Jeżeli B jest dowolnym zdarzeniem i A₁,A₂,...,An są zdarzeniami spełniającymi warunki:

a). Parami rozłączne tzn. ^{AiAj   i j}

b). Pokrywają zdarzenie B tzn. B A₁A₂...An i ^P(^Ai)0 ⁱ1,2,....,ⁿ to ^{P(B) P(A1)P(BA1)P(A2)P(B A2)....P(An)P(BAn)}

Twierdzenie Bayesa.

Jeżeli zdarzenia ^{B,A1,A2,...,An} spełniają założenia twierdzenia o

prawdopodobieństwie zupełnym i ^P(B)0 to prawdopodobieństwo warunkowe

) (A B

P _k zdarzenia ^Ak pod warunkiem zdarzenia B wyraża się wzorem

^{k n}

B P

A B P A B P

A

P _k ^{k k} 1,2,..., )

(

) ( ) ) (

(  

Wariancje i kombinacja

Jeżeli ^{A{a1,a2,...,an}} jest zbiorem różnych elementów.

Wariancją bez powtórzeń nazywamy każdy k – wyrazowy ciąg k różnych elementów zbioru A. Taki k – wyrazowy ciąg k różnych elementów zbioru A powstaje ciągnąc k razy z zbioru A bez zwracania elementów. Liczba wszystkich k – wyrazowych wariancji bez powtórzeń n – elementowego zbioru A wynosi

n k k

n n

n n

V_n^k  ( 1)( 2)...(  1)  .

Wariancją z powtórzeniami nazywamy każdy k – wyrazowy ciąg k elementów zbioru A.

Taki k – wyrazowy ciąg k elementów zbioru A powstaje ciągnąc k razy z zbioru A z zwracaniem wylosowanych elementów do zbioru A. Liczba wszystkich k – wyrazowych wariancji z powtórzeniami n – elementowego zbioru A wynosi Vn^k n^k.

Kombinacja bez powtórzeń nazywamy każdy k – wyrazowy ciąg k różnych elementów zbioru A w którym kolejność występowania wyrazów jest nie istotna czyli każdy k elementowy podzbiór zbioru A. Liczba wszystkich k – wyrazowych kombinacji bez

powtórzeń n – elementowego zbioru A wynosi

nk knk n k

knnnn k

C _n ^k n 

 

 



 



 

)!(!

!

! )1)...(2)(1(

.

Kombinacja z powtórzeniami nazywamy każdy k – wyrazowy ciąg k elementów zbioru A w którym kolejność występowania wyrazów jest nie istotna . Liczba wszystkich k – wyrazowych kombinacji z powtórzeniami n – elementowego zbioru A wynosi

! k C n

k k

n  .

Zmienne losowe jednowymiarowe

Niech ( ,  , P ) będzie dowolną przestrzenią probabilistyczną

Definicja. Zmienną losową nazywamy dowolną funkcję ^X:^R określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych  o wartościach ze zbioru liczb rzeczywistych R jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej

x

zbiór zdarzeń elementarnych ^X()x jest zdarzeniem losowym tzn.

{    : X (  )  x } 

 dla każdego ^xR.

Gdy przestrzeń  jest skończona lub przeliczalna to każda funkcja ^X:R jest zmienną losową.

Zmienne losowe będziemy oznaczać dużymi literami np. X , Y, S, T, Z…… a odpowiadające im wartości odpowiednio małymi literami x , y, s, t, z……

Prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową wartości ze zbioru A podzbioru liczb rzeczywistych R.

Gdy X jest zmienną losową to zdarzeniami losowymi są zbiory zdarzeń elementarnych }

) ( :

{ X  A gdy np. A^{x0^},

A  b a , 

,^{Aa, b)},

A  b ( a , 

^,

) , ( ba

A ,^{A(,b)}, ^{A a,)}, ^{A a( ,)}, ^{A N} itd.

Również w przypadku gdy

A 

 gdzie  jest najmniejszym -ciałem zdarzeń losowych przestrzeni =R zawierających różnego rodzaju przedziały liczbowe / zbiory Borelowskie / zbiory ^{{:X()A}} są zdarzeniami losowymi .

Wtedy określone są prawdopodobieństwa ^P(XA) przyjęcia przez zmienną losową X wartości ze zbioru A, określone w następujący sposób:

}) ) ( : ({

)

(X A P X A

P      .

A więc np. gdy ^{Aa, b)}. Wtedy

}) ) ( :

({

) (

)) ,

(X a b P a X b P a X b

P         

Tak określone prawdopodobieństwa określają rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X .

Definicja. Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję ^F:^R^R określoną na zbiorze liczb rzeczywistych R taką , że ^{F(x)P(X x)} dla każdego ^x^R.

Dystrybuanty rozkładów prawdopodobieństwa pewnych zmiennych losowych są stablicowane i z tablic możemy znaleźć najważniejsze prawdopodobieństwa zmiennej losowej X . Np.

) ( ) ( )

(a X b F b F a

P     ; ^{P(X a)1F(a)} .

W badaniu statystycznym populacji generalnej ze względu na jedną cechę zmiennymi losowymi będą funkcje ^{X:ZR} przyjmujące wartości – wartość cechy elementu populacji.

Zmienne losowe określone na tym samym zbiorze zdarzeń elementarnych można dodawać(mnożyć) – dodając(mnożąc) ich wartości dla zdarzenia elementarnego.

Zmiennymi losowymi są funkcje stałe tzn. przyjmujące tylko ustaloną określoną wartość - dlatego też zmienne losowe można mnożyć i dzielić przez liczbę i dodawać lub odejmować liczbę do zmiennej.

Zmienne losowe typu skokowego

Zmienna losowa X jest typu skokowego (dyskretnego) jeżeli istnieje skończony zbiór

} ,..., ,

{ _{1 2 n}

X x x x

W  lub przeliczalny WX ^{x1^,x2^,...,xn^,...} jej wartości taki, że:

n i

p x X

P(  _i) _i 0 1,2,...., i ... 1

1 2

1   





 n i

i

n p

p p

p w przypadku

skończonym

N i p

x X

P(  _i) _i 0  i ^{... .... 1}

1 2

1    



^ 

 i

i

n p

p p

p w przypadku przeliczalnym

Zmienną losową X typu skokowego i jej rozkład prawdopodobieństwa można zapisać za pomocą tabelki:

. ...

) (

. ...

2 1

2 1

n i

i

n i

p p

p p x X P

x x

x x

X





 w przypadku skończonym

...

. ...

) (

...

. ...

2 1

2 1

n i

i

n i

p p

p p x X P

x x

x x

X







w przypadku przeliczalnym

Wtedy:









A x

i

i

p A

X

P( ) i dystrybuanta







x x

i

i

p x

F( ) Wartość oczekiwana ^{m E( X)} określa się wzorem















 ⁿ

i i i n

np x p

x p

x p x X E m

1 2

2 1

1 ...

)

( w przypadku skończonym



^

















1 2

2 1

1 ... ....

) (

i i i n

np x p

x p

x p x X E

m w przypadku przeliczalnym

Wariancja ^{2  D2(X)} określa się wzorem























 ⁿ

i

i i

n

n m p x m p

x p

m x p m x X D

1

2 2

2 2 2 1 2 1 2

2 ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )

 w przypadku

skończonym



^

























1

2 2

2 2 2 1 2 1 2

2 ( ) ( ) ( ) ... ( ) .. ( )

i

i i

n

n m p x m p

x p

m x p m x X

 D w przypadku

przeliczalnym Twierdzenie

2 1

2 2 2

2 2 2 1 2 1 2

2 D (X) x p x p ... x p m ⁿ x p m

i i i n

n   















 w przypadku skończonym

2 1

2 2 2

2 2 2 1 2 1 2

2 D (X) (x p x p ... x p ....) m x p m

i i i n

n    













^



 w przypadku

przeliczalnym

Odchylenie standardowe ^{ D( X)} określa się wzorem  D⁽X⁾ ²

Przykład wykorzystania i interpretacja obliczonych parametrów patrz plik „ Wartość oczekiwana w multi lotku” na mojej stronie internetowej.

Przykład

Rzucamy kostką do gry tak długo aż wypadnie szóstka. Wyznaczyć zmienną losową X przyjmującą wartości - liczbę rzutów kostką do momentu wyrzucenia szóstki oraz rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej. Ponadto wyznaczyć wartość oczekiwaną m tej zmiennej losowej i prawdopodobieństwo, że liczba rzutów będzie większa niż 4.

Niech zdarzenie losowe Ai oznacza zdarzenie losowe, że w i – tym rzucie wypadnie szóstka iN. P(Ai)= ¹₆ i P(Bi)= ₆⁵ gdzie Bi zdarzenie losowe przeciwne zdarzenia Ai a więc zdarzenie, że w i – tym rzucie wypadnie inna liczba oczek niż 6. Ciąg zdarzeń Z1 , Z2 ,

…… , Zk Z=A lub Z =B dla dowolnego kN jest niezależny. Do momentu wyrzucenia szóstki w k – tym rzucie w poprzednich rzutach zachodzi zdarzenie Bi i=1,2,3,….,k-1 a w k – tym rzucie wystąpi zdarzenie Ak. A więc zdarzenie, że zmienna losowa X przyjmie wartość k, tzn.

{X=k}=B1B2…..Bk-1Ak . Z niezależności ciągu zdarzeń mamy pk=P(X=k)=P(B1B2…..Bk-1Ak)= P(B1)P(B2)…..P(Bk-1)P(Ak)= _k

k k k

6 5 6 1 6

5 ¹

1

1 



  . Stąd tabelka zmiennej losowej X typu skokowego przeliczalnego ma postać:

....

6 ...5 6

5 6 1 )

(

...

. ...

2 1

1

2 k

k i

i i

p x

X P

k x

X

 





Uwaga

p q

p k

p q k X P

p_k  (  ) ^k1 1,2,3,.... 0 1 1 - rozkład geometryczny z parametrem ^{0 p1}. W naszym przypadku

6 1 ,....;

3 , 2 , 1 6 1 6 ) 5 (

1



 



 









p k

k X P

k

. Ponieważ



^



  0

1 1

n

xn

x stąd



^



 

 





 





 1

1

)2

1 (

1 1

1

n

nxn

x

x dla ^{x 1} jako suma

wyrazów postępu geometrycznego dla q x i a1 ¹ oraz można różniczkować obie strony równości a prawą stronę wszystkie wyrazy szeregu potęgowego w obszarze zbieżności.

A więc

1 6 1 5

1 6 1 6 5 6 1 6

5 6 1 6 1 6 5

0 1

1

1 1

1





 



 



 



 



 



 









 



^







 



 

 k

k

k k

k k

k

pk

Wartość oczekiwana



^

















1 2

2 1

1 ... ....

) (

i i i n

np x p

x p

x p x X E m

6 6 1 5

1 6 1 6

5 6

1 6 ) 5

( ₂

1

1 1

1 



 

 

 



 



 





 

















^k

k

k k

k

k k

X E m

Prawdopodobieństwo, że liczba rzutów będzie większa niż 4.

P(X>4)=1-P(X4)=1-P({X=1}{X=2}{X=3}{X=4})=1-(P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)) 4823 , 0 5177 , 0 1296 1 1 671 6

5 6 5 6 5 1 6

6 ) 5 6 5 6

5 6 (1 1 ) 4

( ₄

3 2

2 3

4 3 3 2

2              







 X P

Analogicznie P(X>5)=0,4119 ; P(X>6)=0,3349 ; P(X>90)=

13375568

1 ; P(X>91)=

16050678

1

Stąd prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, że rzucimy co najmniej 90 razy kostką do gry i nie pojawi się szóstka jest takie same a nico większe co prawdopodobieństwo trafienia szóstki w dużym lotku , które wynosi

13983816

1 .

Niektóre rozkłady skokowe.

Rozkład zero-jedynkowy.

Zmienna losowa X typu skokowego ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p , p(0,1) jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa ma postać:

p p q

q p x

i

i  1

.

. 1 0

p p p X

E

m ( )0(1 )1  ^{2 D2(X)pq} Rozkład dwumianowy (Bernoulliego )

Zmienna losowa X typu skokowego ma rozkład dwumianowy z parametrami N

n i p

p , (0,1)  , jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa ma postać:

Wartościami zmiennej są liczby ^{k 0,1,2,...,n} i n

k q k p k n X P

p_k ( )  ^{k n k} 0,,12,....,

 







 ^ gdzie ^{q 1 p}

Wtedy ^{mE(X)np 2 D2(X)npq}

Zmienna losowa X o rozkładzie dwumianowym jest związana z schematem Bernoulliego z n niezależnymi doświadczeniami D1 , D2, …..,Dn w których prawdopodobieństwo

wystąpienia sukcesu A wynosi p . Wartościami zmiennej losowej X jest liczba sukcesów w n doświadczeniach.

Rozkład Poissona

Zmienna losowa X typu skokowego ma rozkład Poissona z parametrami >0 jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa ma postać:

Wartościami zmiennej są liczby k =0,1,2,……,n,…N0 i

 

0

) !

(    

 ^ k N

e k k X P

p_k  ^k

e2,72



E( X)

m ² D²(X)

Zmienna losowa X rozkładu Poissona zastępuje z dużą dokładnością rozkład

dwumianowy dla dużej liczby doświadczeń n i małym prawdopodobieństwem sukcesu p.

W rozkładzie Poissona =np. .

Zmienne losowe typu ciągłego.

Zmienne losowe X jest typu ciągłego jeżeli istnieje funkcja ^{y f(x) f :RR} taka, że:

1⁰ Przyjmuje wartości nieujemne tzn. ^{f(x) 0 xR}

2⁰ Pole zawarte między wykresem funkcji ^{y f(x)} a osią OX jest równe 1 .

3⁰ Prawdopodobieństwa P(a X b) ab a,bR, jest równe polu zawartemu między wykresem funkcji ^{y f(x)} , prostymi ^{x a , xb} i osią OX.

Funkcja ^{y f(x) f :RR} spełniająca powyższe własności nazywa się funkcją gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X .

Dla zmiennej losowej typu ciągłego ^{P(X  x0)0} dla dowolnej ustalonej wartości x0. Stąd w prawdopodobieństwach

) (

) (

) (

)

(a X b P a X b P a X b P a X b

P            .

Dla zmiennej losowej typu skokowego rodzaj nierówności ma znaczenie.

Dla tych co nie znają teorii całek podstawowe parametry nie można zdefiniować i poszczególne parametry będą podawane dla poszczególnych rozkładów którymi będziemy posługiwać się i które są stablicowane.

Dla tych co znają całki poszczególne wzory są następujące:

Własność 2⁰ w definicji funkcji gęstości ma postać ^





 1 ) (x dx f

Własność 3⁰ w definicji funkcji gęstości ma postać ^{  }



^b

a

dx x f b X a

P( ) ( )









E X xf x dx

m ( ) ( ) ^









D²(X) (x m)² f(x)dx

2

Dystrybuanta











P X x ^x f d x

F( ) ( ) ( )  .

Niektóre rozkłady typu ciągłego

.

Rozkład równomierny (jednostajny , prostokątny).

Zmienna losowa X typu ciągłego ma rozkład równomierny skoncentrowany na przedziale < a , b > jeżeli funkcja gęstości tego rozkładu jest określona wzorem:



 

  

 

x h pozostalyc dla

b x a a dla

x b f

0

1 )

(

Wtedy

 



 







 







b x dla

b x a a dla

b a x

a x dla x

F

1

0 ) (

( ) a2b X

E

m  

12 ) ) (

(

2 2

2 b a

X

D  

  Rozkład normalny.

Zmienna losowa X typu ciągłego ma rozkład normalny (gaussowski) jeżeli funkcja gęstości tego rozkładu jest określona wzorem:

2 2

2 ) (

2 ) 1

( ^





m x

e x

f

 

 dla x gdzie ^_n^lim_^{(1 1)n 2,72} e n

Parametrami rozkładu są liczby ^{m,R i  0}

Zmienna losowa X typu ciągłego mająca rozkład normalny oznaczać będziemy symbolem )

, (m 

N . Zapis ^{X ~N(m,)} oznacza, że zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami ^{m,R i  0}.

Wtedy :

wartość oczekiwana ^mE(X)m ; wariancja ^{2 D2(X)2} ; odchylenie standardowe

  

_;

współczynnik asymetrii (skośności) g3 ⁰ ; współczynnik spłaszczenia (eksces) g₄ 0 ;

Współczynnik spłaszczenia dla dowolnej zmiennej losowej porównuje skupienie rozkładu wokół jego wartości oczekiwanej

m

z rozkładem skupienia rozkładu ^N(m,). Jeżeli g4 ⁰ to rozkład jest bardziej skupiony (stromy) niż odpowiedni rozkład normalny. Jeżeli g₄ 0 to jest przeciwne.

Jest to najważniejszy i najczęściej występujący w zastosowaniach i w przyrodzie rozkład typu ciągłego.

Twierdzenie

Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny (^{X ~ N(m,)}) to zmienna losowa

 m

U  X  ma rozkład normalny standaryzowany ^N(0,1) (^{U ~ N(0,1)}).

Twierdzenie to pozwala na sprowadzenie obliczania zagadnień związanych z zmienną losową ^{X ~ N(m,)} do obliczania tych zagadnień związanych z zmienną losową

) 1 , 0 (

~ N

U który jest stablicowany. Np. jeżeli ^{X ~ N(m,)} to

) ( ) ( ) (

) (

)

(       

m a m

b m

U b m P a m b m X m P a b X a

P 



 



 



 

 

 

 







Gdzie wartości ^(b_^m),(a_^m) są wartościami dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego ^{U ~ N(0,1)} który jest stablicowany.

Twierdzenie

% 73 , 99 9973 , 0 ) 3 3

( ) 3

(X m   P m  X m    P

% 45 , 95 9545 , 0 ) 2 2

( ) 2

(X m   P m  X m    P

^{P(X m )P(m X m)0,682768,27%}

Oznacza to np. że wszystkich wartości jakie przyjmie zmienna losowa X ~ N(m,) z przedziału







 m 3 m  , 3 

będzie w przybliżeniu 99,73%

Ponieważ np.

9973 , 0 00135 , 0 99965 , 0 ) 3 ( ) 3 ( ) 3 3

( ) 3 3

( ) 3 3

(        X m  P  U       

P m

X m

P   

Inne rozkłady które będziemy wykorzystywać i które są stablicowane:

Rozkład chi-kwadrat