9Oő=@O  JAHEE AHC@O?A

Wyk̷lady z teorii ergodycznej

Opracowa̷la J. Kotus

Spis tre´sci

0. Wstep_, 4

1. Pojecia podstawowe_, 6

2. Ergodyczno´s´c 8

2.1 R´ownowa˙zne definicje ergodyczno´sci 8

2.2 Zwiazek mi_, edzy ergodyczno´sci_, a przekszta̷lce´_, n a gesto´sci_, a orbit_, 11

3. Twierdzenia ergodyczne 12

3.1 Twierdzenia ergodyczne Birkhoffa 12

3.2 Twierdzenia ergodyczne von Neumanna 14

3.3 Maksymalne twierdzenie ergodyczne 15

3.4 Dow´od twierdzenia ergodycznego Birkhoffa 15

4. S̷labe i silne mieszanie 19

5. W̷lasno´sci spektralne przekszta̷lce´n zachowujacych miar_, e_, 20

5.1 Podstawowe w̷lasno´sci operatora 𝑈_𝑇 20

5.2 Dzia̷lanie operatora 𝑈_𝑇 na przestrzeniach Hilberta 21 5.3 Dyskretne spektrum i przekszta̷lcenia ergodyczne 24 5.4 Ciag̷le spektrum i przekszta̷lcenia s̷labo mieszaj_, ace_, 26 5.5 Przeliczalne spektrum Lebesgue’a i przekszta̷lcenia silnie mieszajace_, 28 6. Entropia metryczna przekszta̷lce´n zachowujacych miar_, e_, 29

6.1 Rozbicia mierzalne 29

6.2 Entropia rozbicia 30

6.3 Entropia warunkowa rozbi´c 30

6.4 Entropia metryczna przekszta̷lce´n 31

7. W̷lasno´sci entropii metrycznej 34

7.1 Twierdzenie Shannona-McMillana-Breimana 34

7.2 Entropia-niezmiennik przekszta̷lce´n mierzalnych 35 8. Entropia topologiczna przekszta̷lce´n ciag̷lych_, 37

9. R´ownowa ˙zne definicje entropii topologicznej 41

10. I zasada wariacyjna 46

11. Formalizm termodynamiczny 49

12. II zasada wariacyjna 54

13. Literatura 57

Wst ep

Prezentowany materia̷l stanowi wprowadzenie do teorii ergodycznej, wa˙znej i szybko rozwi- jajacej si_, e dziedziny wsp´_, o̷lczesnej matematyki. Jest adresowany g̷l´ownie do student´ow starszych lat a w zmodyfikowanej (poszerzonej wersji) mo˙ze by´c tak˙ze wyk̷ladany dla doktorant´ow naszego wydzia̷lu.

Do jego zrozumienia wymagana jest znajomo´s´c Analizy Funkcjonalnej I (g̷l´ownie teorii operator´ow zdefiniowanych na przestrzeni Hilberta, pojecia spektrum i warto´sci w̷lasnych_, operatora) a tak˙ze Rachunku Prawdopodobie´nstwa I i II (chodzi g̷lownie o dobra zna-_, jomo´sc twierdze´n granicznych).

Celem tego wyk̷ladu jest zapoznanie student´ow

∙ z twierdzeniami ergodycznymi i ich zastosowaniem w innych dzia̷lach mate- matyki. Poczatki twierdze´_, n egodycznych siegaja hipotezy Boltzmanna, znanego fizyka_, z prze̷lomu XIX i XX wieku. Cho´c okaza̷la sie nieprawdziwa, stworzy̷la podstawy teorii,_, zwanej dzi´s teoria ergodyczn_, a. To w̷la´snie twierdzenia ergodyczne pokazuj_, a kiedy i_, dlaczego zachodza lub nie postulaty Boltzmanna. Na wyk̷ladzie zostan_, a sformu̷lowane_, najwa˙zniejsze twierdzenia ergodyczne Birkhoffa i von Neumanna.

Twierdzenia ergodyczne sa przeformu̷lowaniem twierdze´_, n granicznych znanych z rachunku prawdopodobie´nstwa i takiego w̷la´snie ujecia rachunku prawdopodobie´_, nstwa powinien nauczy´c sie student. Przyk̷lady zastosowa´_, n tych twiedze´n w innych dzia̷lach matematyki zostana dobrane w zale˙zno´sci od poziomu przygotowania i stosownie do zainteresowa´_, n student´ow.

∙ z entropia metryczn_, a rozbi´_, c i przekszta̷lce´n mierzalnych. Pojecie entropii me-_, trycznej pochodzi od Ko̷lmogorowa i jest uog´olnieniem pojecia informacji. W trakcie_, wyk̷ladu prezentowane bed_, a r´_, o˙zne definicje entropii i zwiazki mi_, edzy nimi. Entropie_, mierza nieoznaczono´s´_, c uk̷ladu i sa wa˙znym narz_, edziem do badania chaotyczno´sci dy-_, namiki przekszta̷lce´n. Miedzy innymi podane b_, edzie twierdzenie Shannona-McMillana-_, Breimanna opisujace jak eksponencjalnie szybko malej_, a miary atom´_, ow kolejnych rozbi´c dla uk̷lad´ow o dodatniej entropii.

∙ z formalizmem termodynamicznym a zw̷laszca z pojeciem tzw. ci´_, snienia topo- logicznego. Jest to odpowiednik swobodnej energii w mechanice statystycznej. Dzi´s for- malizm termodynamiczny s̷lu˙zy miedzy innymi do szacowania wymiar´_, ow u̷lamkowych, g̷l´ownie wymiaru Hausdorffa fraktali. Policzenie bezpo´srednio takiego wymiaru rzadko

kiedy jest mo˙zliwe. Dla zbior´ow samopodobnych mo˙zna policzy´c wymiar Minkowskiego.

Jednak jak pokazuje geometria fraktalna wymiar Hausdorffa lepiej oddaje strukture_, fraktali ni˙z wymiar Minkowskieo. Ten bardzo wyrafinowany spos´ob liczenia wymiaru zaproponawa̷l kilkana´scie lat temu fizyk - D. Ruelle. Jako przyk̷lad zastowania mo˙zna poda´c oszacowania wymiaru Hausdorffa zbior´ow Julii w dynamice holomorficznej lub dziwnych atraktor´ow wystepuj_, acych w r´_, ownaniach r´ozniczkowych czastkowych._,

∙ W za̷laczonym materiale om´_, owiono uk̷lady ergodyczne, s̷labo i silnie mieszajace. Wyk̷lad_, mo˙ze zosta´c rozbudowany o uk̷lady Ko̷lmogorowa i Bernoulliego, zagadnienie ist- nienia i konstrukcji miar niezmienniczych a zw̷laszcza miar niezmienniczych z maksy- malna entropi_, a. S_, a to miary dla kt´_, orych osiagane jest supremum w I zasadzie waria-_, cyjnej opisanej w 10 rodziale. Mo˙zna tak˙ze om´owic miary Gibbsa, kt´ore realizuja_, supremum w II zasadzie wariacyjnej udowodnionej w 12 rodziale. Stany Gibbsa sa_, przedmiotem bada´n analizy multifraktalnej i jest to jedna z propozycji kontynuowania tego wyk̷ladu.

1 Poj ecia podstawowe

Niech (𝑋, ℬ, 𝑚) oznacza przestrze´n probabilistyczna tzn. 𝑋 jest zbiorem, ℬ 𝜎-algebr_, a_, podzbior´ow 𝑋 a 𝑚 : 𝑋 → 𝐼𝑅⁺ miara taka, ˙ze 𝑚(𝑋) = 1._,

Definicja 1.1. Dane sa dwie przestrzenie probabilistyczne (𝑋_{, 1}, ℬ₁, 𝑚₁), (𝑋₂, ℬ₂, 𝑚₂).

Odwzorowanie 𝑇 : 𝑋1 → 𝑋2 nazywamy mierzalnym je´sli dla ka˙zdego 𝐴 ∈ ℬ2 jego przeciwobraz 𝑇⁻¹(𝐴) ∈ ℬ₁.

Definicja 1.2. Dane sa dwie przestrzenie probabilistyczne (𝑋_{, 1}, ℬ₁, 𝑚₁), (𝑋₂, ℬ₂, 𝑚₂).

Mierzalne przekszta̷lcenie 𝑇 : 𝑋1 → 𝑋2 zachowuje miare, je´_, sli ∀𝐴 ∈ ℬ2

𝑚₁(𝑇⁻¹(𝐴)) = 𝑚₂(𝐴). (1.1)

Uwaga 1.3. Je´sli 𝑋₁ = 𝑋₂ to warunek (1.1) zapiszemy nastepuj_, aco_,

𝑚(𝑇⁻¹(𝐴)) = 𝑚(𝐴). (1.2)

Definicja 1.4. Dane sa dwie przestrzenie probabilistyczne (𝑋_{, 1}, ℬ₁, 𝑚₁), (𝑋₂, ℬ₂, 𝑚₂).

Przekszta̷lcenie 𝑇 : 𝑋1 → 𝑋2 nazywamy izomorfizmem je´sli 𝑇 jest bijekcja oraz 𝑇 i 𝑇_, ⁻¹ zachowuja miar_, e w sensie Definicji 1.2._,

Definicja 1.5. Przestrzenie probabilistyczne (𝑋₁, ℬ₁, 𝑚₁), (𝑋₂, ℬ₂, 𝑚₂) nazywamy izomorficznymi je´sli istnieje przekszta̷lcenie 𝑇 : 𝑋1 → 𝑋2, kt´ore jest izomorfizmem.

Przyk̷lad 1 Niech 𝑓 : [0, 1] → [0, 1] bedzie przekszta̷lceniem zdefiniowanym wzorem_, 𝑓 (𝑥) = 2𝑥∣𝑚𝑜𝑑1.

Pokaza´c, ˙ze 𝑓 zachowuje miare Lebesgue’a._,

Przyk̷lad 2 Zdefiniujemy przekszta̷lcenie Gaussa. Niech 𝜏 : [0, 1) → [0, 1), je´sli 𝑥 = 0, to 𝜏 (𝑥) = 0, je´sli 𝑥 ∕= 0 to 𝜏 (𝑥) = {_𝑥¹}, gdzie {¹_𝑥} oznacza cze´s´_, c u̷lamkowa liczby_, ¹_𝑥. Przekszta̷lcenie Gaussa definiuje rozwijanie liczb z przedzia̷lu [0, 1) w tzw. u̷lamki

̷la´ncuchowe. Znale´z´c miare niezmiennicz_, a dla przekszta̷lcenie Gaussa._,

Dla prawie wszystkich przekszta̷lce´n zachowujacych miar_, e zachodzi nat_, epuj_, ace twierdzenie_, zwane Twierdzeniem Poincar´e o powracaniu.

Twierdzenie 1.6. Niech 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 bedzie zachowuj_, acym miar_, e przekszta̷lceniem przestrzeni_, probabilistycznej (𝑋, ℬ, 𝑚). Je´sli 𝐸 ∈ ℬ oraz 𝑚(𝐸) > 0, to prawie ka˙zdy punkt 𝑥 ∈ 𝐸 w sensie miary 𝑚 powraca do zbioru 𝐸 niesko´nczenie wiele razy.

Powy˙zsze twierdzenie mo˙zna sformu̷lowa´c nastepuj_, aco:_,

∃𝐹 ⊂ 𝐸 taki, ˙ze 𝑚(𝐹 ) = 𝑚(𝐸) i ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∃ ciag liczb naturalnych {𝑛_, 𝑖}^∞_𝑖=1 o w̷lasno´sciach 𝑛1 < 𝑛2 < 𝑛3. . . , 𝑇^𝑛𝑖(𝑥) ∈ 𝐹 ∀𝑛𝑖.

Dow´od Niech

𝑁 ≥ 0, 𝐸_𝑁 :=

∞

∪

𝑛=𝑁

𝑇^−𝑛(𝐸).

Wtedy ∩∞

𝑁 =0𝐸𝑁 jest zbiorem z̷lo˙zonym z tych punkt´ow nale˙zacych do 𝑋, kt´_, orych dodatnia p´o̷ltrajektoria powraca do zbioru 𝐸 niesko´nczenie wiele razy. Niech

𝐹 = 𝐸 ∩

∞

∩

𝑁 =0

𝐸_𝑁.

Jest to zbi´or tych punkt´ow nale˙zacych do 𝐸, kt´_, ore powracaja do zbioru 𝐸 niesko´_, nczenie wiele razy. Z definicji zbioru 𝐹 wynika, ˙ze je´sli 𝑥 ∈ 𝐹 to istnieje ciag liczb naturalnych {𝑛_, 𝑖}^∞_𝑖=1 o w̷lasno´sciach

𝑛₁ < 𝑛₂ < 𝑛₃. . . , 𝑇^𝑛𝑖(𝑥) ∈ 𝐸 ∀𝑛_𝑖. Ponadto, dla ka˙zdego 𝑛_𝑖 mamy, ˙ze 𝑇^𝑛𝑖(𝑥) ∈ 𝐹 , poniewa˙z

𝑇^{𝑛𝑗−𝑛𝑖}(𝑇^𝑛𝑖(𝑥)) ∈ 𝐸 dla ∀𝑛_𝑗. Pozostaje udowodni´c, ˙ze 𝑚(𝐹 ) = 𝑚(𝐸). Poniewa˙z

𝑇⁻¹(𝐸_𝑁) ⊂ 𝐸_{𝑁 +1}

oraz 𝑇 zachowuje miare, 𝑚(𝐸_{, 𝑁}) = 𝑚(𝐸_{𝑁 +1}). W konsekwencji 𝑚(𝐸₀) = 𝑚(𝐸_𝑁) dla ∀𝑁 . Poniewa˙z

𝐸₀ ⊃ 𝐸₁ ⊃ 𝐸₂ ⊃ . . . to

𝑚(

∞

∩

𝑁 =0

𝐸_𝑁) = 𝑚(𝐸₀).

Wynika stad, ˙ze 𝑚(𝐹 ) = 𝑚(𝐸 ∩ 𝐸_{, 0}) = 𝑚(𝐸), gdy˙z 𝐸 ⊂ 𝐸₀

Uwaga 1.7. Twierdzenie Poincar´e o powracaniu nie zachodzi dla przestrzeni z niesko´nczona_, miara._,

Np. 𝑋 = 𝑍𝑍. Miare 𝑚 zdefiniujemy nast_, epuj_, aco 𝑚(𝑘) = 1 dla ∀𝑘 ∈ 𝑍𝑍. Zatem 𝑚(𝑍𝑍) = ∞._, Niech 𝑇 : 𝑍𝑍 → 𝑍𝑍, 𝑇 (𝑥) = 𝑥 + 1 oraz 𝐸 = {0}. Wtedy 𝐸_𝑁 = ∪∞

𝑛=𝑁𝑇^−𝑛({0}) ma miare_, niesko´nczona, za´s_, ∩∞

𝑁 =0𝐸_𝑁 = ∅.

2 Ergodyczno´ s´ c

W tym rozdziale zak̷ladamy, ˙ze (𝑋, ℬ, 𝑚) jest przestrzenia probabilistyczn_, a, 𝑇 : 𝑋 → 𝑋_, przekszta̷lceniem zachowujacym miar_, e, tzn._,

∀𝐴 ∈ ℬ 𝑚(𝑇⁻¹(𝐴)) = 𝑚(𝐴).

Definicja 2.1. Przekszta̷lcenie 𝑇 nazywamy ergodycznym je´sli ∀𝐵 ∈ ℬ takiego,

˙ze 𝑚(𝑇⁻¹(𝐵)) = 𝑚(𝐵) zachodzi:

𝑚(𝐵) = 0 𝑙𝑢𝑏 𝑚(𝐵) = 1.

2.1 R´ ownowa ˙zne definicje ergodyczno´ sci

R´o˙znice symetryczn_, a zbior´_, ow definiujemy nastepuj_, aco_,

𝐴 ÷ 𝐵 := (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴).

Twierdzenie 2.2. (𝑋, ℬ, 𝑚)-przestrze´n probabilistyczna, 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 przekszta̷lcenie zachowujace miar_, e. Wtedy nast_, epuj_, ace warunki s_, a r´_, ownowa˙zne.

i) T jest ergodyczne

ii) jedynymi zbiorami 𝐵 ∈ ℬ takimi, ˙ze 𝑚(𝑇⁻¹(𝐵)) ÷ 𝐵) = 0 sa takie zbiory dla kt´_, orych 𝑚(𝐵) = 0 lub 𝑚(𝐵) = 1.

iii) ∀𝐵 ∈ ℬ takiego, ˙ze 𝑚(𝐵) > 0 mamy, ˙ze 𝑚(

∞

∪

𝑛=1

𝑇^−𝑛(𝐵) = 𝑋

iv) ∀𝐴, 𝐵 ∈ ℬ takich, ˙ze 𝑚(𝐴) > 0, 𝑚(𝐵) > 0 istnieje 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 takie, ˙ze 𝑚(𝑇^−𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) > 0.

Dow´od

(i)=⇒ (ii) nie bedziemy dowodzi´_, c. Przerobi´c na ´cwiczeniach.

(ii) =⇒ (iii). Niech 𝐴 ∈ ℬ oraz 𝑚(𝐴) > 0. Zdefiniujemy 𝐴1 =

∞

∪

𝑛=1

𝑇^−𝑛(𝐴).

Zatem 𝑇⁻¹(𝐴₁) ⊂ 𝐴₁. Poniewa˙z 𝑚(𝑇⁻¹(𝐴₁)) = 𝑚(𝐴₁), to 𝑚(𝑇⁻¹(𝐴₁)) ÷ 𝐴₁) = 0. Z (ii) wiemy, ˙ze 𝑚(𝐴1) = 0 lub 𝑚(𝐴1) = 1. Przypadek 𝑚(𝐴1) = 0 nie mo˙ze zachodzi´c, bo 𝑇⁻¹(𝐴₁) ⊂ 𝐴₁ i 𝑚(𝑇⁻¹(𝐴₁)) = 𝑚(𝐴₁) > 0. Zatem 𝑚(𝐴₁) > 0.

(iii) =⇒ (iv) Niech 𝑚(𝐴) > 0 i 𝑚(𝐵) > 0. Z (iii) mamy, ˙ze 𝑚(

∞

∪

𝑛=1

𝑇^−𝑛(𝐴)) = 1, zatem

0 < 𝑚(𝐵) = 𝑚 (

𝐵 ∩

∞

∪

𝑛=1

𝑇^−𝑛(𝐴) )

= 𝑚 ( _∞

∪

𝑛=1

𝐵 ∩ 𝑇^−𝑛(𝐴) )

. Stad_,

𝑚(𝐵 ∩ 𝑇^−𝑛(𝐴)) > 0 dla pewnego 𝑛 ≥ 1.

(iv) =⇒ (i) Niech 𝐵 ∈ ℬ i 𝑇⁻¹(𝐵) = 𝐵. Je´sli 0 < 𝑚(𝐵) < 1, to 0 = 𝑚(𝐵 ∩ (𝑋 − 𝐵)) = 𝑚(𝑇^−𝑛(𝐵) ∩ (𝑋 − 𝐵)) dla 𝑛 ≥ 1 co przeczy (iv).

Oznaczenia

𝐿¹(𝑚) = 𝐿¹(𝑋, ℬ, 𝑚) = {𝑓 : 𝑋 → 𝐶𝐼 ca̷lkowalne wzgledem miary m}_, 𝐿¹(𝑋, ℬ, 𝑚) jest przestrzenia Banacha z norm_, a_,

∣∣𝑓 ∣∣₁ =

∫

𝑋

∣𝑓 ∣𝑑𝑚

Uto˙zsamiamy funkcje, kt´ore poza zbiorem miary zero sa r´_, owne.

Twierdzenie 2.3. (𝑋, ℬ, 𝑚)-przestrze´n probabilistyczna, 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 przekszta̷lcenie zachowujace miar_, e. Wtedy nast_, epuj_, ace warunki s_, a r´_, ownowa˙zne.

i) T jest ergodyczne

ii) je´sli 𝑓 jest mierzalna w sensie miary 𝑚 oraz spe̷lnia r´ownanie (𝑓 ∘ 𝑇 )(𝑥) = 𝑓 (𝑥) dla

∀𝑥 ∈ 𝑋, to 𝑓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑝.𝑤.𝑥 ∈ 𝑋 w sensie miary 𝑚

iii) je˙zeli 𝑓 jest mierzalna w sensie miary 𝑚 oraz spe̷lnia r´ownanie (𝑓 ∘ 𝑇 )(𝑥) = 𝑓 (𝑥) dla 𝑝.𝑤.𝑥 ∈ 𝑋 w sensie miary 𝑚, to f=const dla 𝑝.𝑤.𝑥 ∈ 𝑋 w sensie miary 𝑚

iv) je´sli 𝑓 ∈ 𝐿²(𝑚) i 𝑓 (𝑇 (𝑥)) = 𝑓 (𝑥) dla ∀𝑥 ∈ 𝑋, to 𝑓 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 dla 𝑝.𝑤.𝑥 ∈ 𝑋 w sensie miary 𝑚

v) je´sli 𝑓 ∈ 𝐿²(𝑚) i 𝑓 (𝑇 (𝑥)) = 𝑓 (𝑥) dla 𝑝.𝑤.𝑥 ∈ 𝑋, to 𝑓 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 dla 𝑝.𝑤.𝑥 ∈ 𝑋 w sensie miary 𝑚

Dow´od

Poka˙zemy dowody tylko dw´och implikacji. Pozosta̷le przerobi´c na ´cwiczeniach.

(i) =⇒ (iii) Niech 𝑇 bedzie ergodyczne, 𝑓 jest funkcj_, a ca̷lkowaln_, a w sensie miary 𝑚 tak_, a, ˙ze_, dla p.w. 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑓 ∘ 𝑇 = 𝑓 . Za̷l´o˙zmy, ˙ze 𝑓 jest funkcja rzeczywist_, a tzn. 𝑓 : 𝑋 → 𝐼𝑅. Dla_, funkcji zespolonych rozpatrujemy oddzielnie cze´s´_, c rzeczywista ℜ𝑓 i urojon_, a ℑ𝑓 . Dla 𝑘 ∈ 𝑍𝑍_, oraz 𝑛 > 0 definiujemy zbiory

𝑋(𝑘, 𝑛) = {𝑥 : 𝑘

2^𝑛 ≤ 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑘 + 1

2^𝑛 } = 𝑓⁻¹([ 𝑘

2^𝑛,𝑘 + 1 2^𝑛

])

Wtedy

𝑇⁻¹(𝑋(𝑘, 𝑛)) ÷ 𝑋(𝑘, 𝑛) ⊂ {𝑥 : (𝑓 ∘ 𝑇 )(𝑥) = 𝑓 (𝑥)}

Stad_,

𝑚(𝑇⁻¹(𝑋(𝑘, 𝑛)) ÷ 𝑋(𝑘, 𝑛)) = 0.

Z Twierdzenia 2.2 wynika, ˙ze 𝑚(𝑋(𝑘, 𝑛)) = 0 lub 𝑚(𝑋(𝑘, 𝑛)) = 1. Dla ka˙zdego ustalonego 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 mamy, ˙ze

∪

𝑘∈𝑍𝑍

𝑋(𝑘, 𝑛) = 𝑋.

Poniewa˙z zbiory tworzace t_, e sum_, e s_, a parami roz̷l_, aczne, to istnieje dok̷ladnie jeden 𝑘_{, 𝑛} taki, ˙ze 𝑚(𝑋(𝑘_𝑛, 𝑛)) = 1. Niech

𝑌 =

∞

∩

𝑛=1

𝑋(𝑘, 𝑛).

Wtedy 𝑚(𝑌 ) = 1. Poniewa˙z 𝑓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 na 𝑌 , to 𝑓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 dla p.w. 𝑥 ∈ 𝑋 w sensie miary 𝑚.

(i) =⇒ (iii) Niech 𝑇⁻¹(𝐸) = 𝐸 dla 𝐸 ∈ ℬ. Wtedy 𝜒𝐸 ∈ 𝐿²(𝑚) i (𝜒𝐸 ∘ 𝑇 )(𝑥) = 𝜒𝐸 dla

∀𝑥 ∈ 𝑋. Zatem z (iv) wynika, ˙ze 𝜒_𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 dla p.w. 𝑥 ∈ 𝑋 w sensie miary 𝑚. Stad_, 𝜒_𝐸 = 0 dla lub 𝜒_𝐸 = 1 p.w. 𝑥 ∈ 𝑋 w sensie miary 𝑚 oraz 𝑚(𝐸) = ∫

𝐸𝜒_𝐸𝑑𝑚 = 0 lub 𝑚(𝐸) =∫

𝐸𝜒𝐸𝑑𝑚 = 1.

2.2 Zwi azek mi

edzy ergodyczno´

sci a przekszta̷lce´

n a g esto´

sci a orbit

Oznaczenia

- 𝑋 przestrze´n metryczna zwarta

- ℬ 𝜎-algebra zbior´ow borelowskich (wiadomo, ˙ze jest generowana przez zbiory otwarte) - 𝑚 : 𝑋 → [0, 1] miara probabilistyczna taka, ˙ze dla ka˙zdego podzbioru otwartego 𝑈 ⊂ 𝑋_, miara 𝑚(𝑈 ) > 0. Czasami 𝑚 nazywa sie miar_, a borelowsk_, a probabilistyczn_, a._,

Twierdzenie 2.4. Niech 𝑋 przestrze´n metryczna zwarta, ℬ −𝜎-algebra zbior´ow borelowskich, 𝑚 : 𝑋 → [0, 1] miara probabilistyczna borelowska, 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 ciag̷le, 𝑇 zachowuje miar_, e_, 𝑚 (tzn. ∀𝐵 ∈ ℬ, 𝑚(𝑇⁻¹(𝐵) = 𝑚(𝐵)) oraz 𝑇 jest ergodyczne wzgledem miary 𝑚 (tzn._,

∀𝐵 ∈ ℬ je´sli 𝑇⁻¹(𝐵) = 𝐵 to 𝑚(𝐵) = 0 lub 𝑚(𝐵) = 1). Wtedy prawie wszystkie punkty 𝑥 ∈ 𝑋 w sensie miary 𝑚 maja p´_, o̷ltrajektorie dodatnie, kt´ore sa g_, este w 𝑋 tzn. {𝑥 ∈ 𝑋 :_, {𝑇^𝑛(𝑥)}^∞_𝑛=0 jest gesta w x} ma miar_, e 1._,

Dow´od Niech {𝑈_𝑛}^∞_𝑛=0 oznacza baze topologii w 𝑋._,

(*) Zbi´or {𝑇^𝑛(𝑥); 𝑛 ≥ 0} jest gesty w 𝑋 wtedy i tylko wtedy, gdy_,

𝑥 ∈

∞

∩

𝑛=1

∞

∪

𝑘=0

𝑇^−𝑘(𝑈_𝑛).

Poniewa˙z

𝑇⁻¹(

∞

∪

𝑘=0

𝑇^−𝑘(𝑈_𝑛)) ⊂

∞

∪

𝑘=0

𝑇^−𝑘(𝑈_𝑛)

oraz 𝑇 zachowuje miare 𝑚 i 𝑇 jest ergodyczne wzgl_, edem 𝑚, to_, 𝑚(

∞

∪

𝑘=0

𝑇^−𝑘(𝑈_𝑛)) = 0 lub 𝑚(

∞

∪

𝑘=0

𝑇^−𝑘(𝑈_𝑛)) = 1.

Poniewa˙z ∪∞

𝑘=0𝑇^−𝑘(𝑈𝑛) jest niepusty i otwarty ( a tak˙ze zbiory maja miar_, e dodatni_, a) to_, 𝑚(∪∞

𝑘=0𝑇^−𝑘(𝑈_𝑛)) = 1. Na mocy (*) to ko´nczy dow´od.

3 Twierdzenia ergodyczne

3.1 Twierdzenie ergodyczne Birkhoffa

Twierdzenie 3.1. Niech (𝑋, ℬ, 𝑚) bedzie przestrzeni_, a probabilistyczn_, a lub przestrzeni_, a z_, miara 𝜎-sko´_, nczona. 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 zachowuje miar_, e 𝑚, 𝑓 ∈ 𝐿_, ¹(𝑚). Wtedy

1 𝑛

∞

∑

𝑖=0

𝑓 (𝑇^𝑖(𝑥)) → 𝑓^∗ (3.1)

zbiega dla prawie wszystkich 𝑥 ∈ 𝑋 w sensie miary 𝑚, gdzie 𝑓^∗ ∈ 𝐿¹(𝑚). Ponadto

𝑓^∗∘ 𝑇 = 𝑓^∗ (3.2)

dla p.w. 𝑥 ∈ 𝑋 w sensie m. Je´sli 𝑚(𝑋) < ∞, to

∫

𝑓^∗𝑑𝑚 =

∫

𝑓 𝑑𝑚. (3.3)

Dow´od Twierdzenia 3.1 podamy na zako´nczenie tego rozdzia̷lu.

Uwaga 3.2. Je´sli 𝑇 jest ergodyczne, to 𝑓^∗ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. p.w.𝑥 ∈ 𝑋 w sensie miary 𝑚 oraz je´sli 𝑚(𝑋) < ∞, to

𝑓^∗ = 1 𝑚(𝑋)

∫ 𝑓 𝑑𝑚 p.w. 𝑥 ∈ 𝑋 w sensie miary 𝑚.

Uwaga 3.3. Je´sli (𝑋, ℬ, 𝑚) jest przestrzenia probabilistyczn_, a, 𝑇 jest ergodyczne wzgl_, edem_, miary 𝑚, to dla ka˙zdego 𝑓 ∈ 𝐿¹(𝑚)

𝑛→∞lim

∞

∑

𝑖=0

𝑓 (𝑇^𝑖(𝑥)) =

∫

𝑓 𝑑𝑚.

Definicja 3.4. Niech (𝑋, ℬ, 𝑚)-przestrze´n probabilistyczna, 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 zachowuje miare 𝑚,_, 𝑓 ∈ 𝐿¹(𝑚).

Dla punktu 𝑥 ∈ 𝑋 ´srednia wzdlu ˙z trajektorii nazywamy granic_, e_,

𝑛→∞lim 1 𝑛

∞

∑

𝑖=0

𝑓 (𝑇^𝑖(𝑥)),

o ile taka granica istnieje.

Sredni´ a przestrzenn_, a nazywamy ca̷lk_, e_,

∫

𝑋

𝑓 𝑑𝑚.

Uwaga 3.5. Twierdzenie ergodyczne Birkhoffa implikuje, ˙ze dla prawie wszyst- kich x ∈ X w sensie miary m ´srednie wzd̷lu˙z trajektorii sa takie same jak ´_, srednie przestrzenne dla ka˙zdej funkcji f ∈ L¹(m) wtedy i tylko wtedy gdy T jest ergody- czne.

Opowiedzie´c o hipotezie znanego fizyka Boltzmanna, kt´ora zapoczatkowa̷la dzia̷l matematyki_, zwany dzi´s teoria ergodyczn_, a. Poda´_, c co najmniej jeden przyk̷lad zastosowania twierdze´n ergodycznych w innych dzia̷lach matematyki.

3.2 Twierdzenie ergodyczne von Neumanna

Twierdzenie 3.6. Niech (𝑋, ℬ, 𝑚)-przestrze´n probabilistyczna, 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 zachowuje miare_, oraz 1 ≤ 𝑝 < ∞. Je´sli 𝑓 ∈ 𝐿^𝑝(𝑚), to istnieje 𝑓^∗ ∈ 𝐿^𝑝(𝑚) takie, ˙ze 𝑓^∗ ∘ 𝑇 = 𝑓^∗ dla prawie wszystkich 𝑥 ∈ 𝑋 oraz

          1 𝑛

∞

∑

𝑖=0

𝑓 (𝑇^𝑖(𝑥)) − 𝑓^∗(𝑥)          𝑝

→ 0 (3.4)

Wniosek 3.7. Niech (𝑋, ℬ, 𝑚)-przestrze´n probabilistyczna, 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 zachowuje miare._, Wtedy 𝑇 jest ergodyczne ⇐⇒ ∀𝐴, 𝐵 ∈ ℬ

1 𝑛

𝑛−1

∑

𝑖=0

𝑚(𝑇^−𝑖(𝐴) ∩ 𝐵)) → 𝑚(𝐴)𝑚(𝐵).

Dow´od =⇒ Niech 𝑇 bedzie ergodyczne, 𝑓 = 𝜒_{, 𝐴}. Z twierdzenie ergodycznego Birkhoffa (patrz Tw. 3.1) wynika, ˙ze

1 𝑛

𝑛−1

∑

𝑖=0

𝜒_𝐴(𝑇^−𝑖(𝑥)) → 𝑚(𝐴) 𝑝.𝑤.𝑚.

Mno˙zymy stronami przez 𝜒_𝐵. 1 𝑛

𝑛−1

∑

𝑖=0

𝜒_𝐴(𝑇^−𝑖(𝑥))𝜒_𝐵 → 𝑚(𝐴)𝜒_𝐵 𝑝.𝑤.𝑚 Korzystamy z nastepuj_, acego twierdzenia_,

Lemat 3.8. Je´sli 𝑔 : 𝑋 → 𝐼𝑅 jest ca̷lkowalna, {𝑓_𝑛} ciag funkcji mierzalnych rzeczywistych_, takich, ˙ze ∣𝑓_𝑛∣ < 𝑔 dla 𝑝.𝑤.𝑥 ∈ 𝑋, ∀𝑛 ≥ 1 i istnieje lim_𝑛→∞𝑓_𝑛= 𝑓 dla p.w. 𝑥 ∈ 𝑋, to 𝑓 jest ca̷lkowalna oraz lim_𝑛→∞∫ 𝑓_𝑛𝑑𝑚 =∫ 𝑓 𝑑𝑚

Doko´nczenie dowodu Wniosku 3.7. Wtedy 1

𝑛

𝑛−1

∑

𝑖=0

𝑚(𝑇^−𝑖(𝐴) ∩ 𝐵) → 𝑚(𝐴)𝑚(𝐵)

⇐= Niech 𝑇⁻¹(𝐸) = 𝐸, 𝐸 ∈ ℬ. Podstawmy 𝐴 = 𝐵 = 𝐸 w ciagu,_, to dostaniemy, ˙ze 1

𝑛

𝑛−1

∑

𝑖=0

𝑚(𝐸) → 𝑚(𝐸)² Stad 𝑚(𝐸) = 𝑚(𝐸)_, ². Zatem 𝑚(𝐸) = 1 lub 𝑚(𝐸) = 0.

3.3 Maksymalne twierdzenie ergodyczne

Twierdzenie 3.9. Niech 𝑈 : 𝐿¹_𝑅(𝑚) → 𝐿¹_𝑅(𝑚) bedzie dodatnim liniowym operatorem takim,_,

˙ze ∣∣𝑈 ∣∣ < 1. Niech 𝑁 ∈ 𝑍𝑍, 𝑁 > 0 i 𝑓 ∈ 𝐿¹_𝑅(𝑚). Definiujemy

𝑓₀ ≡ 1, 𝑓_𝑛 := 𝑓 + 𝑈 𝑓 + 𝑈²𝑓 + . . . 𝑈^𝑛−1𝑓 dla 𝑛 ≥ 1 oraz 𝐹_𝑁 := max_{0≤𝑛≤𝑁}𝑓_𝑛≥ 0. Wtedy

∫

{𝑥∈𝐹𝑁(𝑥)>0}

𝑓 𝑑𝑚 ≥ 0.

3.4 Dow´ od twierdzenia ergodycznego Birkhoffa

Najpierw za̷lo ˙zymy, ˙ze m(X) < ∞. Je˙zeli 𝑓 : 𝑋 → 𝐶𝐼, to oddzielnie rozpatrujemy ℜ𝑓 i ℑ𝑓 . Dlatego wystarczy rozpatrywa´c tylko funkcje rzeczywiste

𝐿¹_𝐼𝑅(𝑚) = {𝑓 : 𝑋 → 𝐼𝑅,

∫

∣𝑓 ∣^𝑝𝑑𝑚 < ∞}

∣∣𝑓 ∣∣^𝑝 = [∫

∣𝑓 ∣^𝑝𝑑𝑚 ]1/𝑝

. Definiujemy

𝑓^∗(𝑥) := lim sup

𝑛→∞

1 𝑛

𝑛−1

∑

𝑖=0

𝑓 (𝑇^𝑖(𝑥)) 𝑓∗(𝑥) := lim inf

𝑛→∞

1 𝑛

𝑛−1

∑

𝑖=0

𝑓 (𝑇^𝑖(𝑥))

Wtedy

𝑓^∗(𝑇 ) = 𝑓^∗ i 𝑓∗(𝑇 ) = 𝑓∗

poniewa˙z, je´sli

𝑎_𝑛:= 1 𝑛

𝑛−1

∑

𝑖=0

𝑓 (𝑇^𝑖(𝑥))

to ( 𝑛 + 1

𝑛 )

𝑎_𝑛+1(𝑥) − 𝑎_𝑛(𝑇 (𝑥)) = 𝑓 (𝑥)

𝑛 . (3.5)

Mamy udowodni´c, ˙ze 𝑓^∗(𝑥) = 𝑓∗(𝑥) p.w. 𝑥 ∈ 𝑋 w sensie 𝑚 oraz 𝑓^∗(𝑥) = 𝑓∗(𝑥) ∈ 𝐿¹(𝑚).

Niech 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐼𝑅. Definiujemy zbiory

𝐸_𝛼,𝛽 = {𝑥 ∈ 𝑋 : 𝑓∗(𝑥) < 𝛽 𝑖 𝛼 < 𝑓^∗(𝑥)}

Wtedy

{𝑥 : 𝑓∗(𝑥) < 𝑓^∗(𝑥)} = ∪

𝛼,𝛽

{𝐸_𝛼,𝛽 : 𝛽 < 𝛼 oraz 𝛼, 𝛽 wymierne}.

Aby udowodni´c, ˙ze 𝑓^∗(𝑥) = 𝑓∗(𝑥) p.w. 𝑥 ∈ 𝑋 w sensie 𝑚 nale˙zy pokaza´c, ˙ze 𝑚(𝐸_𝛼,𝛽) = 0 je´sli 𝛽 < 𝛼. Poniewa˙z 𝑇⁻¹(𝐸_𝛼,𝛽) = 𝐸_𝛼,𝛽 i je´sli przyjac, ˙ze_,

𝛽_𝛼 = {𝑥 ∈ 𝑋 : sup

𝑛≥1

1 𝑛

𝑛−1

∑

𝑖=0

𝑓 (𝑇^𝑖(𝑥)) > 𝛼}

to

𝐸_𝛼,𝛽 ∩ 𝐵_𝛼 = 𝐸_𝛼,𝛽 Wtedy

∫

𝐸𝛼,𝛽

𝑓 𝑑𝑚 =

∫

𝐸𝛼,𝛽∩𝛽_𝛼

𝑓 𝑑𝑚 ≥ 𝛼𝑚(𝐸𝛼,𝛽) = 𝛼𝑚(𝐸𝛼,𝛽) (3.6) Aby udowodni´c (3.6) skorzystamy z nastepuj_, acej w̷lasno´sci._,

Lemat 3.10. Niech 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 bedzie zachowuj_, acym miar_, e przekszta̷lceniem, (𝑋, ℬ, 𝑚)-_, przestrze´n z miara. Je´_, sli 𝑔 ∈ 𝐿¹_𝐼𝑅(𝑚) i

𝛽_𝛼 = {𝑥 ∈ 𝑋 : sup

𝑛≥1

1 𝑛

𝑛−1

∑

𝑖=0

𝑓 (𝑇^𝑖(𝑥)) > 𝛼}

to ∫

𝛽𝛼

𝑔𝑑𝑚 ≥ 𝛼𝑚(𝐵_𝛼∩ 𝐴) je´sli 𝑇⁻¹(𝐴) = 𝐴 i 𝑚(𝐴) < ∞.

Zatem

∫

𝐸𝛼,𝛽

𝑓 𝑑𝑚 ≥ 𝛼𝑚(𝐸_𝛼,𝛽).

Je´sli zastapimy 𝑓, 𝛼, 𝛽 odpowiednio przez −𝑓, −𝛼, −𝛽, to poniewa˙z_, (−𝑓 )^∗ = −𝑓∗ (−𝑓 )∗ = −𝑓^∗

otrzymamy, ˙ze

∫

𝐸𝛼,𝛽

𝑓 𝑑𝑚 ≤ 𝛽𝑚(𝐸𝛼,𝛽) Zatem

𝛼𝑚(𝐸_𝛼,𝛽) ≤ 𝛽𝑚(𝐸_𝛼,𝛽).

Tak wiec, je´sli 𝛽 < 𝛼 to 𝑚(𝐸_{, 𝛼,𝛽}) = 0. To pociaga za sob_, a, ˙ze 𝑓_, ^∗ = 𝑓_∗ p.w. 𝑥 ∈ 𝑋 w sensie 𝑚. Aby udowodni´c, ˙ze𝑓^∗ ∈ 𝐿¹(𝑚) skorzystamy z lematu Fatou.

Lemat 3.11. Niech (𝑋, ℬ, 𝑚) przestrz´n z miara. Niech {𝑓_{, 𝑛}} bedzie ci_, agiem funkcji mierzal-_, nych ograniczonych z do̷lu przez funkcje ca̷lkowaln_, a. Je´_, sli lim inf_𝑛→∞𝑓_𝑛𝑑𝑚 < ∞, to lim inf_𝑛→∞𝑓_𝑛 jest ca̷lkowalna oraz

∫

lim inf

𝑛→∞ 𝑓_𝑛𝑑𝑚 ≤ lim inf

𝑛→∞

∫

𝑓_𝑛𝑑𝑚.

Niech

𝑔_𝑛(𝑥) =      1 𝑛

𝑛−1

∑

𝑖=0

𝑓 (𝑇^𝑖(𝑥))      .

Wtedy ∫ 𝑔_𝑛𝑑𝑚 ≤∫ ∣𝑓 ∣𝑑𝑚, wiec mo˙zemy zastosowa´_, c lemat Fatou i otrzymamy, ˙ze

𝑛→∞lim 𝑔𝑛(𝑥) =     

𝑛→∞lim 1 𝑛

𝑛−1

∑

𝑖=0

𝑓 (𝑇^𝑖(𝑥))     

= ∣𝑓^∗∣ ∈ 𝐿¹(𝑚).

Pozostaje pokaza´c, ˙ze ∫ 𝑓 𝑑𝑚 = ∫ 𝑓^∗𝑑𝑚 je´sli 𝑚(𝑋) < ∞. Niech 𝐷^𝑛_𝑘 =

{

𝑥 ∈ 𝑋 :( 𝑘 𝑛

)

≤ 𝑓^∗(𝑥) ≤( 𝑘 + 1 𝑛

)}

gdzie 𝑘 ∈ 𝑍, 𝑛 ≥ 1. Dla ka˙zedego ma̷lego 𝜖 > 0 mamy, ˙ze 𝐷^𝑛_𝑘 ∩ 𝐵₍^𝑘

𝑛−𝜖) = 𝐷_𝑘^𝑛, gdzie 𝐵₍𝑘

𝑛−𝜖) zosta̷l zdefiniowany w Lemacie 3.10, z kt´orego wynika, ˙ze

∫

𝐷^𝑛_𝑘

𝑓^∗𝑑𝑚 ≤ 𝑘 + 1

𝑛 𝑚(𝐷^𝑛_𝑘) ≤ 1

𝑛𝑚(𝐷_𝑘^𝑛) +

∫

𝐷_𝑘^𝑛

𝑓 𝑑𝑚.

Sumujac po 𝑘 otrzymamy, ˙ze_,

∫

𝑋

𝑓^∗𝑑𝑚 ≤ 𝑚(𝑋)

𝑛 +

∫

𝑋

𝑓 𝑑𝑚.

Poniewa˙z ta nier´owno´s´c zachodzi dla ka˙zdego 𝑛 ≥ 1, wiec_,

∫

𝑋

𝑓^∗𝑑𝑚 ≤

∫

𝑋

𝑓 𝑑𝑚 Stosujac to do −𝑓 zamiast 𝑓 otrzymamy, ˙ze_,

∫

𝑋

(−𝑓^∗)𝑑𝑚 ≤

∫

𝑋

−𝑓 𝑑𝑚, zatem

∫

𝑋

𝑓_∗𝑑𝑚 ≥

∫

𝑋

𝑓 𝑑𝑚.

Ale 𝑓^∗ = 𝑓∗ p.w. 𝑥 ∈ 𝑋 w sensie m, wiec_, ∫

𝑋𝑓^∗𝑑𝑚 =∫

𝑋𝑓 𝑑𝑚.

Niech m(X) = ∞. Je´sli 𝑚(𝑋) = ∞, to powy˙zszy dow´od mo˙zna przepisa´c je´sli poka˙ze sie, ˙ze_, 𝑚(𝐸_𝛼,𝛽) < ∞ gdy 𝛽 < 𝛼. Za̷l´o˙zmy, ˙ze 𝛼 > 0. Niech 𝐶 ∈ ℬ bedzie takim zbiorem, ˙ze 𝐶 ⊂ 𝐸_{, 𝛼,𝛽} i 𝑚(𝐶) < ∞. Taki zbi´or istnieje poniewa˙z o 𝑋 za̷lo˙zyli´smy, ˙ze jest zbiorem 𝜎-sko´nczonym.

Wtedy

ℎ := 𝑓 − 𝛼𝜒_𝐶 ∈ 𝐿¹(𝑚).

Z Maksymalnego Twierdzenia Ergodycznego wynika, ˙ze

∫

{𝑥:𝐻_{𝑁 (𝑥)}>0}

(𝑓 − 𝛼𝜒_𝐶)𝑑𝑚 ≥ 0 dla ∀𝑁 ≥ 1.

Ale

𝐶 ⊂ 𝐸_𝛼,𝛽 ⊂

∞

∪

𝑁 =0

{𝑥 : 𝐻_{𝑁 (𝑥)} > 0}, Zatem

∫

𝑋

∣𝑓 ∣𝑑𝑚 ≥ 𝛼𝑚(𝐶).

Stad_,

𝑚(𝐶) ≤ 1/𝛼

∫

𝑋

∣𝑓 ∣𝑑𝑚 dla ∀𝐶 ∈ ℬ,

gdzie 𝐶 ⊂ 𝐸_𝛼,𝛽 i 𝑚(𝐶) < ∞. Poniewa˙z 𝑋 jest 𝜎-sko´nczona, to 𝑚(𝐸_𝛼,𝛽) < ∞. Je´sli 𝛼 ≤ 0 to 𝛽 < 0, wiec powy˙zsze rozumowanie mo˙zemy zastosowa´_, c do −𝑓, −𝛽 zamiast 𝑓, 𝛽 i dosta´c, ˙ze 𝑚(𝐸_𝛼,𝛽) < ∞.

4 S̷labe i silne mieszanie

(𝑋, ℬ, 𝑚) - przestrze´n probabilistyczna 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 zachowuje miare 𝑚._,

Z Twierdzenia Ergodycznego wynika, ˙ze

T jest ergodyczne ⇐⇒ ∀𝐴, 𝐵 ∈ ℬ lim

𝑛→∞

1 𝑛

∞

∑

𝑛=0

𝑚(𝑇^−𝑖(𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝑚(𝐴)𝑚(𝐵).

Definicja 4.1. (𝑋, ℬ, 𝑚) - przestrze´n probabilistyczna, 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 zachowuje miare 𝑚._, a) 𝑇 jest s̷labo mieszajace je´_, sli ∀𝐴, 𝐵 ∈ ℬ

𝑛→∞lim 1 𝑛

∞

∑

𝑛=0

∣𝑚(𝑇^−𝑖(𝐴 ∩ 𝐵)) − 𝑚(𝐴)𝑚(𝐵)∣ = 0.

a) 𝑇 jest silnie mieszajace je´_, sli ∀𝐴, 𝐵 ∈ ℬ

𝑛→∞lim 𝑚(𝑇^−𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝑚(𝐴)𝑚(𝐵).

Uwaga 4.2

1. Ka ˙zdy uk̷lad silnie mieszajacy jest s̷labo mieszaj_, acy._, 2. Ka ˙zdy uk̷lad s̷labo mieszajacy jest ergodyczny_,

Uwaga 4.3

1. W̷lasno´s´c silnego mieszania oznacza, ˙ze ∀A, B ∈ ℬ ciag {T_, ⁻ⁿ(A)} staje sie_, asymptotycznie niezale ˙zny od ka ˙zdego innego zbioru B ∈ ℬ.

2. Ergodyczno´s´c T oznacza, ˙ze ∀A ∈ ℬ ciag ´_, srednich {T⁻ⁿ(A)} staje sie asymp-_, totycznie niezale ˙zny od ka ˙zdego innego zbioru B ∈ ℬ.

5 W̷lasno´ sci spektralne przekszta̷lce´ n zachowuj acych miar

e

(𝑋, ℬ, 𝑚) - przestrze´n z miara_,

𝐿⁰(𝑚) = 𝐿⁰(𝑋, ℬ, 𝑚) = {𝑓 : 𝑋 → 𝐶𝐼 mierzalna wzgledem 𝑚}_,

Definicja 5.1. Niech (𝑋, ℬ, 𝑚) - przestrze´n probabilistyczna, 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 zachowuje miare._, 𝑇 indukuje operator 𝑈_𝑇 : 𝐿⁰(𝑚) → 𝐿⁰(𝑚) zdefiniowany

(𝑈_𝑇𝑓 )(𝑥) = 𝑓 (𝑇 (𝑥)) dla ∀𝑓 ∈ 𝐿⁰(𝑚), 𝑥 ∈ 𝑋.

5.1 Podstawowe w̷lasno´ sci operatora 𝑈

-𝑈_𝑇 operator liniowy : 𝐿⁰(𝑚) → 𝐿⁰(𝑚) - 𝑈_𝑇(𝑓 𝑔) = 𝑈_𝑇(𝑓 )𝑈_𝑇(𝑔)

- je´sli 𝑓 ∈ 𝐿⁰(𝑚) i 𝑓 ≥ 0, to 𝑈𝑇𝑓 ≥ 0 czyli 𝑈𝑇 jest operatorem dodatnim.

Lemat 5.2. Niech (𝑋, ℬ, 𝑚) - przestrze´n probabilistyczna, 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 zachowuje miare._, Je´sli 𝑓 ∈ 𝐿⁰(𝑚), to

∫

𝑈_𝑇𝑓 𝑑𝑚 =

∫

𝑓 𝑑𝑚, przy czym je´sli jedna ze stron nie istnieje to druga tak˙ze.

Dow´od Dla uproszczenia zak̷ladamy, ˙ze 𝑓 jest funkcja rzeczywist_, a. Rozpatruj_, ac oddzielnie_, cze´s´_, c dodatnia i ujemn_, a funkcji mo˙zna za̷lo˙zy´_, c, ˙ze 𝑓 jest dodatnia. Niech 𝑓 ≥ 0. Zak̷ladamy dalej, ˙ze 𝑓 jest tzw. funkcja prost_, a tzn. ˙ze_,

𝑓 =

𝑛

∑

𝑖=1

𝑎_𝑖𝜒_𝐴𝑖,

𝑎_𝑖 ∈ 𝐼𝑅, 𝐴_𝑖 ∈ ℬ, gdzie o zbiorach 𝐴_𝑖 zak̷ladamy, ˙ze sa roz̷l_, aczne. Takie funkcje s_, a mierzalne,_, za´s ca̷lka z nich wynosi

∫

𝑓 𝑑𝑚 =

𝑛

∑

𝑖=1

𝑎_𝑖𝑚(𝐴_𝑖).

Wtedy

∫

𝑈𝑇𝑓 𝑑𝑚 =

∫ 𝑈𝑇

( _𝑛

∑

𝑖=1

𝑎𝑖𝜒𝐴𝑖

) 𝑑𝑚 =

∫ ^𝑛

∑

𝑖=1

𝑎𝑖𝜒_𝑇⁻¹_(𝐴𝑖)(𝑥)𝑑𝑚

=

𝑛

∑

𝑖=1

𝑎_𝑖𝑚(𝑇⁻¹(𝐴_𝑖)) =

𝑛

∑

𝑖=1

𝑎_𝑖𝑚(𝐴_𝑖) =

∫

𝑓 𝑑𝑚.

Je´sli 𝑓 nie jest funkcja prost_, a, to przybli˙zamy j_, a rosnacym ci_, agiem funkcji prostych {𝑓_{, 𝑛}}_{𝑛∈𝐼𝑁}. Wtedy {𝑈_𝑇(𝑓_𝑛)}_{𝑛∈𝐼𝑁} jest tak˙ze rosnacym ci_, agiem funkcji prostych d_, a˙z_, acych do 𝑈_{, 𝑇}𝑓 . Korzys- tajac z powy˙zszego otrzymamy, ˙ze_,

∫

𝑈_𝑇𝑓 𝑑𝑚 = lim

𝑛→∞

∫

𝑈_𝑇𝑓 𝑑𝑚 = lim

𝑛→∞

∫

𝑓_𝑛𝑑𝑚 =

∫

𝑓 𝑑𝑚.

Twierdzenie 5.3. Niech 𝑝 ≥ 1. Wtedy

𝑈_𝑇(𝐿^𝑝(𝑋, ℬ, 𝑚)) ⊂ 𝐿^𝑝(𝑋, ℬ, 𝑚) oraz

∣∣𝑈_𝑇∣∣_𝑝 = ∣∣𝑓 ∣∣_𝑝 dla ∀𝑓 ∈ 𝐿^𝑝(𝑋, ℬ, 𝑚) czyli 𝑈_𝑇 jest izometria._,

Dow´od Niech 𝑓 ∈ 𝐿^𝑝(𝑚). Zdefiniujmy funkcje 𝐹 (𝑥) = ∣𝑓 (𝑥)∣_, ^𝑝. Poniewa˙z 𝐹 (𝑥) ∈ 𝐿⁰(𝑚), mo˙zemy zastosowa´c Lemat 3.8 z kt´orego wynika, ˙ze ∣∣𝑈_𝑇∣∣_𝑝 = ∣∣𝑓 ∣∣_𝑝.

5.2 Dzia̷lanie operatora 𝑈

na przestrzeniach Hilberta

Rozpatrujemy dalej przestrze´n Hilberta 𝐿²(𝑚). Iloczyn skalarny na 𝐿²(𝑚) jest zdefiniowany nastepuj_, aco_,

(𝑓, 𝑔) =

∫

𝑓 𝑔𝑑𝑚,

∣∣𝑓 ∣∣ = (𝑓, 𝑓 )¹² norma w 𝐿²(𝑚).

Definicja 5.4. Przestrze´n 𝐿²(𝑚) jest o´srodkowa, je´sli (𝑋, ℬ, 𝑚) ma przeliczalna baz_, e tzn._,

∃{𝐸_𝑛}^∞_𝑛=1, 𝐸_𝑛 ∈ ℬ takie, ˙ze ∀𝜖 > 0, ∀𝐵 ∈ ℬ takich, ˙ze 𝑚(𝐵) < ∞ istnieje 𝐸_𝑛 takie, ˙ze 𝑚(𝐵 ÷ 𝐸_𝑛) < 𝜖.

Uwaga 5.5. Je´sli 𝑋 jest przestrzenia metryczn_, a, ℬ jest 𝜎-algebr_, a podzbior´_, ow 𝑋 generowana_, przez podzbiory otwarte, 𝑚-miara probabibilstyczn_, a, to 𝐿_, ²(𝑚) ma przeliczalna baz_, e czyli jest_, o´srodkowa.

Twierdzenie 5.6. Niech (𝑋, ℬ, 𝑚) przestrze´n probabilistyczna, 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 zachowuje miare._, Nastepuj_, ace warunki s_, a r´_, ownowa˙zne:

1. 𝑇 jest ergodyczne,

2. dla ∀𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿²(𝑚) lim𝑛→∞ 1 𝑛

∑𝑛−1

𝑖=0(𝑈_𝑇^𝑖𝑓, 𝑔) = (𝑓, 1)(1, 𝑔), 3. dla ∀𝑓 ∈ 𝐿²(𝑚) lim_{𝑛→∞𝑛}¹ ∑𝑛−1

𝑖=0(𝑈_𝑇^𝑖𝑓, 𝑓 ) = (𝑓, 1)(1, 𝑓 ).

Dow´od Twierdzenia 5.6 jest analogiczny do dowodu Twierdzenia 5.8, kt´ory podamy ni˙zej.

Twierdzenie 5.7. Niech (𝑋, ℬ, 𝑚) przestrze´n probabilistyczna, 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 zachowuje miare._, Nastepuj_, ace warunki s_, a r´_, ownowa˙zne:

1. 𝑇 jest s̷labo-mieszajace,_,

2. dla ∀𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿²(𝑚) lim_{𝑛→∞𝑛}¹ ∑𝑛−1

𝑖=0 ∣(𝑈_𝑇^𝑖𝑓, 𝑔) − (𝑓, 1)(1, 𝑔)∣ = 0, 3. dla ∀𝑓 ∈ 𝐿²(𝑚) lim_{𝑛→∞𝑛}¹ ∑𝑛−1

𝑖=0 ∣(𝑈_𝑇^𝑖𝑓, 𝑓 ) − (𝑓, 1)(1, 𝑓 )∣ = 0, 4. dla ∀𝑓 ∈ 𝐿²(𝑚) lim_{𝑛→∞𝑛}¹ ∑𝑛−1

𝑖=0 ∣(𝑈_𝑇^𝑖𝑓, 𝑓 ) − (𝑓, 1)(1, 𝑓 )∣² = 0.

Dow´od Twierdzenia 5.7 jest analogiczny do dowodu Twierdzenia 5.8, kt´ory podamy ni˙zej.

Twierdzenie 5.8. Niech (𝑋, ℬ, 𝑚) przestrze´n probabilistyczna, 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 zachowuje miare._, Nastepuj_, ace warunki s_, a r´_, ownowa˙zne:

1. 𝑇 jest silnie-mieszajace,_,

2. dla ∀𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿²(𝑚) lim_𝑛→∞(𝑈_𝑇^𝑛𝑓, 𝑔) = (𝑓, 1)(1, 𝑔), 3. dla ∀𝑓 ∈ 𝐿²(𝑚) lim_𝑛→∞(𝑈_𝑇^𝑖𝑓, 𝑓 ) = (𝑓, 1)(1, 𝑓 ).

Dow´od

(2) =⇒ (1) Wystarczy podstawi´c 𝑓 = 𝜒_𝐴 oraz 𝑔 = 𝜒_𝐴. (1) =⇒ (3) Je´sli 𝐴, 𝐵 ∈ ℬ, to

𝑛→∞lim(𝑈_𝑇^𝑛𝜒_𝐴, 𝜒_𝐵) = (𝜒_𝐴, 1)(1, 𝜒_𝐵).

Ustalmy 𝐵. Wtedy dla dowolnej funkcji prostej ℎ dostaniemy, ˙ze

𝑛→∞lim(𝑈_𝑇^𝑛ℎ, 𝜒𝐵) = (ℎ, 1)(1, 𝜒𝐵).

Ustalajac z kolei ℎ otrzymamy, ˙ze_,

𝑛→∞lim(𝑈_𝑇^𝑛ℎ, ℎ) = (ℎ, 1)(1, ℎ).

Zatem (3) zachodzi dla dowolnej funkcji prostej. Niech 𝑓 ∈ 𝐿²(𝑚) i 𝜖 > 0. Wybierzmy funkcje_, prosta ℎ tak_, a, ˙ze ∣∣𝑓 − ℎ∣∣_{, 2} < 𝜖 i 𝑁 (𝜖) takie, ˙ze dla 𝑛 ≥ 𝑁 (𝜖)

∣(𝑈_𝑇^𝑛ℎ, ℎ) − (ℎ, 1)(1, ℎ)∣ < 𝜖.

Wtedy dla 𝑛 ≥ 𝑁 (𝜖)

∣(𝑈_𝑇^𝑛𝑓, 𝑓 )−(𝑓, 1)(1, 𝑓 )∣ ≤ ∣(𝑈_𝑇^𝑛𝑓, 𝑓 )−(𝑈_𝑇^𝑛ℎ, 𝑓 )∣+∣(𝑈_𝑇^𝑛ℎ, 𝑓 )−(𝑈_𝑇^𝑛ℎ, ℎ)∣+∣(𝑈_𝑇^𝑛ℎ, ℎ)−(ℎ, 1)(1, ℎ)∣

+∣(ℎ, 1)(1, ℎ) − (𝑓, 1)(1, ℎ)∣ + ∣(𝑓, 1)(1, ℎ) − (𝑓, 1)(1, 𝑓 )∣

≤ ∣(𝑈_𝑇^𝑛(𝑓 − ℎ), 𝑓 )∣ + ∣(𝑈_𝑇^𝑛ℎ, 𝑓 − ℎ)∣ + 𝜖 + ∣(1, ℎ)∣∣(ℎ − 𝑓, 1)∣ + ∣(𝑓, 1)(1, ℎ − 𝑓 )∣

≤ ∣∣𝑓 − ℎ∣∣₂∣∣𝑓 ∣∣₂+ ∣∣𝑓 − ℎ∣∣₂∣∣ℎ∣∣₂+ 𝜖 + ∣∣ℎ∣∣₂∣∣𝑓 − ℎ∣∣₂+ ∣∣𝑓 ∣∣₂∣∣ℎ − 𝑓 ∣∣₂

≤ 𝜖∣∣𝑓 ∣∣2+ 𝜖(∣∣𝑓 ∣∣ + 𝜖) + 𝜖 + (∣∣𝑓 ∣∣2+ 𝜖)𝜖 + 𝜖∣∣𝑓 ∣∣2. Zatem

𝑛→∞lim(𝑈_𝑇^𝑛𝑓, 𝑓 ) = (𝑓, 1)(1, 𝑓 ).

(3) =⇒ (2) Niech 𝑓 ∈ 𝐿²(𝑚) oraz niech ℋ_𝑓 oznacza najmniejsza domkni_, et_, a podprzestrze´_, n 𝐿²(𝑚) zawierajac_, a 𝑓 i funkcje sta̷le oraz tak_, a, ˙ze_,

𝑈𝑇(ℋ𝑓) ⊂ ℋ𝑓. Zdefiniujemy pomocniczy zbi´or

ℱ_𝑓 = {𝑔 ∈ 𝐿²(𝑚) : lim

𝑛→∞(𝑈_𝑇^𝑛𝑓, 𝑔) = (𝑓, 1)(1, 𝑔)}.

Zbi´or ℱ_𝑓 jest domkniet_, a podprzestrzeni_, a 𝐿_, ²(𝑚) i zawiera 𝑓 oraz funkcje sta̷le. Poniewa˙z 𝑈_𝑇 jest niezmienniczy to musi zawiera´c ℋ_𝑓.

Oznaczenia Niech (𝑋, ℬ, 𝑚) przestrze´n probabilistyczna, 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 zachowuje miare._, 𝑈_𝑇 : 𝐿²(𝑚) → 𝐿²(𝑚). Warto´sci w̷lasne i funkcje w̷lasne operatora 𝑈_𝑇 nazywamy warto´sciami i funkcjami w̷lasnymi 𝑇 .

Definicja 5.9. Liczbe 𝜆 ∈ 𝐶_, 𝐼 nazywamy warto´scia w̷lasn_, a 𝑇 je´_, sli ∃𝑓 ∈ 𝐿²(𝑚), 𝑓 ∕= 0 taka, ˙ze 𝑈_𝑇𝑓 = 𝑓 . Funkcje 𝑓 nazywamy funkcj_, a w̷lasn_, a odpowiadaj_, ac_, a warto´_, sci w̷lasnej 𝜆.

Uwaga 5.10. Je´sli 𝜆 jest warto´scia w̷lasn_, a 𝑇 , to ∣𝜆∣ = 1, poniewa˙z_,

∣∣𝑓 ∣∣² = ∣∣𝑈_𝑇𝑓 ∣∣² = (𝑈_𝑇𝑓, 𝑈_𝑇𝑓 ) = (𝜆𝑓, 𝜆𝑓 ) = ∣𝜆∣²∣∣𝑓 ∣∣².

Uwaga 5.11. Je´sli 𝑇 zachowuje miare, to 𝜆 = 1 jest zawsze warto´_, scia w̷lasn_, a i ka˙zda nieze-_, rowa sta̷la funkcja 𝑓 jest funkcja w̷lasn_, a odpowiadaj_, ac_, a 𝜆 = 1._,

5.3 Dyskretne spektrum i przekszta̷lcenia ergodyczne

Twierdzenie 5.12. Niech (𝑋, ℬ, 𝑚) przestrze´n probabilistyczna, 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 zachowuje miare. 𝑇 jest ergodyczne. Wtedy:_,

1. Je´sli 𝑈_𝑇𝑓 = 𝜆𝑓, 𝑓 ∈ 𝐿²(𝑚), 𝑓 ∕= 0, to ∣𝜆∣ = 1 oraz ∣𝑓 ∣ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 prawie wszedzie w_, sensie miary 𝑚.

2. Funkcje w̷lasne odpowiadajace r´_, o˙znym warto´sciom w̷lasnym sa ortogonalne._,

3. Je´sli 𝑓 i 𝑔 sa funkcjami w̷lasnymi odpowiadaj_, acymi tej samej warto´_, sci w̷lasnej 𝜆, to 𝑓 = 𝑐𝑔 dla pewnej sta̷lej 𝑐.

4. Warto´sci w̷lasne 𝑇 tworza podgrup_, e okr_, egu 𝑆_, ¹.

Dow´od

(1) Z za̷lo˙zenia wiemy, ˙ze 𝑈_𝑇𝑓 = 𝜆𝑓 . Zatem tak˙ze ∣∣𝑈_𝑇𝑓 ∣∣ = ∣𝜆∣∣∣𝑓 ∣∣. Z Twierdzenia 5.6 wynika, ˙ze ∣∣𝑓 ∣∣ = ∣𝜆∣∣∣𝑓 ∣∣. Poniewa˙z ∣∣𝑓 ∣∣ ∕= 0, to ∣𝜆∣ = 1. Z ergodyczno´sci 𝑇 i z Twierdzenia 2.3 otrzymamy, ˙ze 𝑓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

(2) Niech 𝜆 i 𝜇 bed_, a r´_, o˙znymi warto´sciami w̷lasnymi operatora 𝑈𝑇. Wtedy (𝑓, 𝑔) = (𝑈_𝑇𝑓, 𝑈_𝑇𝑔) = (𝜆𝑓, 𝜇𝑔) = 𝜆¯𝜇(𝑓, 𝑔).

Poniewa˙z 𝜆¯𝜇 ∕= 1, to (𝑓, 𝑔) = 0.

(3) Niech 𝑔 ∈ 𝐿²(𝑚). Z (1) wiemy, ˙ze 𝑔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ∕= 0. Poniewa˙z 𝑓 jest funkcja niezmiennicz_, a_, dla 𝑈_𝑇, to iloraz funkcji ^𝑓_𝑔 jest tak˙ze funkcja niezmiennicza dla 𝑈_{, 𝑇}. Z ergodyczno´sci 𝑇 i z Twierdzenia 2.3 otrzymamy, ˙ze ^𝑓_𝑔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 w sensie miary 𝑚. Zatem istnieje sta̷la 𝑐 ∕= 0 taka,

˙ze 𝑓 = 𝑐𝑔.

Uwaga 5.13. W̷lasno´sci (2) i (3) m´owia, ˙ze podprzestrzenie w̷lasne s_, a jednowymiarowe i_, parami ortogonalne. Stad dla o´_, srodkowych przestrzeni 𝐿²(𝑚) grupa warto´sci w̷lasnych 𝑇 jest przeliczalna.

Definicja 5.14. Niech (𝑋, ℬ, 𝑚) przestrze´n probabilistyczna, 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 zachowuje miare._, Powiemy, ˙ze 𝑇 ma dyskretne spektrum (czysto-punktowe spektrum) je´sli istnieje ortonor- malna baza w 𝐿²(𝑚) z̷lo˙zona z funkcji w̷lasnych 𝑇 .

Przyk̷lad

Rozpatrzmy odwzorowanie 𝑇 : 𝑆¹ → 𝑆¹ postaci 𝑇 (𝑧) = 𝑎𝑧, gdzie o 𝑎 zak̷ladamy, ˙ze 𝑎 nie jest pierwiastkiem z jedynki. Wiemy, ˙ze 𝑇 jest ergodyczne. Niech

𝑓_𝑛: 𝑆¹ → 𝐶𝐼, 𝑓_𝑛(𝑧) := 𝑧^𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍𝑍.

Wtedy

𝑓_𝑛(𝑇 (𝑧)) = 𝑓_𝑛(𝑎𝑧) = 𝑎^𝑛𝑧^𝑛= 𝑎^𝑛𝑓_𝑛(𝑧).

Zatem 𝑓𝑛 jest funkcja w̷lasn_, a odpowiadaj_, ac_, a warto´sci w̷lasnej 𝑎_, ^𝑛. Poniewa˙z ciag {𝑓_, 𝑛} tworzy baze w 𝐿_, ²(𝑆¹), to dostajemy, ˙ze 𝑇 jest ergodyczne i ma dyskretne spektrum.

5.4 Ci ag̷le spektrum i przekszta̷lcenia s̷labo mieszaj

ace

Definicja 5.15. Niech (𝑋, ℬ, 𝑚) przestrze´n probabilistyczna, 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 zachowuje miare._, Powiemy, ˙ze 𝑇 ma ciag̷le spektrum je´_, sli 1 jest jedyna warto´_, scia w̷lasn_, a i wszystkie funkcje_, w̷lasne sa sta̷le._,

Uwaga 5.16. 𝑇 ma ciag̷le spektrum ⇐⇒ 𝜆 = 1 jest jedyn_, a warto´_, scia w̷lasn_, a i 𝑇 jest ergody-_, czne.

Twierdzenie 5.17. Twierdzenie spektralne dla operator´ow unitarnych

ℋ-zespolona przestrze´n Hilberta, 𝑈 : ℋ → ℋ unitarny operator. Wtedy dla ∀𝑓 ∈ ℋ istnieje dok̷ladnie jedyna sko´nczona miara Borela 𝜇_𝑓 na 𝑆¹ taka, ˙ze

(𝑈^𝑛𝑓, 𝑓 ) =

∫

𝑆¹

𝜆^𝑛𝑑𝜇_𝑓(𝜆) ∀𝑛 ∈ 𝑍𝑍.

Je´sli 𝑇 jest odwracalne, zachowujace miar_, e, to 𝑈_{, 𝑇} jest unitarny. Je´sli dodatkowo 𝑇 ma ciag̷le_, spektrum i (𝑓, 1) = 0, to 𝜇_𝑓 nie ma atom´ow (tzn. ∀𝑥 ∈ 𝑆¹ 𝜇_𝑓({𝑥}) = 0).

Twierdzenie 5.18. Je´sli 𝑇 jest odwracalne, zachowujace miar_, e, to 𝑇 jest s̷labo mieszaj_, ace_,

⇐⇒ 𝑇 ma ciag̷le spektrum._, Dow´od

=⇒ Ta cze´s´_, c dowodu nie korzysta z twierdzenia spektralnego.

Za̷lo˙zmy, ˙ze 𝑇 jest s̷labo-mieszajace. Niech 𝑈_{, 𝑇}𝑓 = 𝜆𝑓 dla 𝑓 ∈ 𝐿²(𝑚). Je´sli 𝜆 ∕= 1 to (𝑓, 1) = 0 i z w̷lasno´sci s̷labego mieszania mamy, ˙ze

1 𝑛

𝑛−1

∑

𝑖=0

∣(𝑈_𝑇^𝑖𝑓, 𝑓 )∣ → 0.

Stad wynika, ˙ze tak˙ze_,

1 𝑛

𝑛−1

∑

𝑖=0

∣(𝜆^𝑖𝑓, 𝑓 )∣ → 0.

Poniewa˙z ∣𝜆∣ = 1, to (𝑓, 𝑓 ) = 0. Zatem 𝑓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 prawie wszedzie w sensie miary 𝑚. Je´sli_, 𝜆 = 1, to z ergodyczno´sci 𝑇 (je´sli 𝑇 jest s̷labo mieszajace to jest tak˙ze ergodyczne) wynika,_,

˙ze 𝑓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 prawie wszedzie w sensie miary 𝑚._,

⇐= Za̷lo˙zmy, ˙ze 𝑇 ma ciag̷le spektrum. Poka˙zemy, ˙ze je´sli 𝑓 ∈ 𝐿_, ²(𝑚) to 1

𝑛

𝑛−1

∑

𝑖=0

∣(𝑈_𝑇^𝑖𝑓, 𝑓 ) − (𝑓, 1))(1, 𝑓 )∣² → 0.

Z Twierdzenia Spektralnego wynika, ˙ze wystarczy pokaza´c, ˙ze je´sli 𝜇_𝑓 jest ciag̷la (tzn. bezato-_, mowa) miar_, a na 𝑆_, ¹, to

1 𝑛

𝑛−1

∑

𝑖=0

∣𝜆^𝑖𝑑𝜇_𝑓(𝜆)∣² → 0.

Mamy, ˙ze

1 𝑛

𝑛−1

∑

𝑖=0

∣𝜆^𝑖𝑑𝜇_𝑓(𝜆)∣² = 1 𝑛

𝑛−1

∑

𝑖=0

(∫

𝜆^𝑖𝑑𝜇_𝑓(𝜆)

∫

𝜆^𝑖𝑑𝜇_𝑓(𝜆) )

=

= 1 𝑛

𝑛−1

∑

𝑖=0

(∫

𝜆^𝑖𝑑𝜇𝑓(𝜆)

∫

𝜏^𝑖𝑑𝜇𝑓(𝜏 ) )

. Korzystajac z twierdzenia Fubiniego mo˙zemy napisa´_, c

= 1 𝑛

𝑛−1

∑

𝑖=0

∫ ∫

𝑆¹×𝑆¹

(𝜆¯𝜏 )^𝑖𝑑 (𝜇_𝑓(𝜆) × 𝜇_𝑓(𝜆)) (𝜆, 𝜏 )

=

∫ ∫

𝑆¹×𝑆¹

(1 𝑛

𝑛−1

∑

𝑖=0

(𝜆¯𝜏 )^𝑖 )

𝑑 (𝜇_𝑓(𝜆) × 𝜇_𝑓(𝜆)) (𝜆, 𝜏 ) Je´sli (𝜆, 𝜏 ) nie le˙za na przek_, atnej 𝑆_, ¹× 𝑆¹, to

1 𝑛

𝑛

∑

𝑖=0

(𝜆¯𝜏 )^𝑖 = 1 𝑛

[ 1 − (𝜆𝜏 )^𝑛 1 − (𝜆𝜏 )^𝑛 ]

→ 0

dla 𝑛 → ∞. Poniewa˙z 𝜇_𝑓 nie ma atom´ow, przekatna ma miar_, e zero dla 𝜇_{, 𝑓} × 𝜇_𝑓 i stad_, 1

𝑛

𝑛

∑

𝑖=0

(𝜆¯𝜏 )^𝑖 → 0

prawie wszedze w sensie miary 𝜇_{, 𝑓}×𝜇_𝑓. Poniewa˙z ka˙zdy element miary ma modu̷l ograniczony przez 1, to zachodzi teza.