Matematyka dyskretna Oznaczenia
Andrzej Szepietowski
W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia.
∀ oznacza kwantyfikator og´olny ”dla ka˙zdego”. ∃ oznacza kwantyfikator szczeg´o lowy
”istnieje”.
1 Sumy i iloczyny
Maj¸ac dany sko´nczony ci¸ag a1, a2,... ak, sum¸e jego element´ow zapisujemy jako
Xk
i=1
ai
Niezbyt formalnie mo˙zemy zapisa´c
Xk
i=1
ai = a1+ a2+ · · · + ak. Na przyk lad
Xk
i=1
i = 1 + 2 + · · · + k = (k + 1)k 2
(suma ci¸agu arytmetycznego). Podobnie dla ka˙zdego x 6= 1 mamy
Xk
i=0
xi = 1 + x + x2+ · · · + xk = xk+1− 1 x − 1 (suma ci¸agu geometrycznego). B¸edziemy te˙z u˙zywa´c zapisu typu
X
1≤i≤6
ai = a1+ a2+ a3+ a4+ a5+ a6.
W tym przypadku zbi´or indeks´ow okre´slony jest za pomoc¸a warunku pod znakiem sumy.
Warunek okre´slaj¸acy indeksy, po kt´orych nale˙zy sumowa´c mo˙ze by´c bardziej skomplikowany,
na przyk lad X
1≤i≤6 iparzyste
ai = a2 + a4 + a6.
Stosowa´c b¸edziemy tak˙ze zapis X
i∈I
ai
oznaczaj¸acy sum¸e tych element´ow ai, kt´orych indeksy nale˙z¸a do sko´nczonego zbioru indeks´ow I. Na przyk lad, je˙zeli I = {1, 3, 5, 7}, to
X
i∈I
ai = a1+ a3+ a5+ a7.
Aby zapisa´c iloczyn element´ow ci¸agu a1, a2,... ak, stosujemy zapis
Yk
i=1
ai. Zn´ow niezbyt formalnie mo˙zemy to zapisa´c jako
Yk
i=1
ai = a1· a2· · · ak.
2 Zbiory
∅ oznacza zbi´or pusty, kt´ory nie zawiera ˙zadnych element´ow. IN oznacza zbi´or liczb natu- ralnych IN = {0, 1, 2, 3, . . .}
a ∈ A oznacza, ˙ze elment a nale˙zy do zbioru A, a /∈ A, ˙ze elment a nie nale˙zy do zbioru A.
Najprostszy spos´ob zdefiniowania zbioru polega na wypisaniu jego element´ow w nawiasach klamrowych. Na przyk lad zbi´or {1, 2, 3} zawiera elementy 1,2,3. Inny spos´ob definiowania zbioru polega na podaniu w lasno´sci, kt´or¸a spe lniaj¸a elementy zbioru. Na przyk lad {x | x ∈ IN, 3 < x < 7} oznacza zbi´or liczb naturalnych wi¸ekszych od 3 i mniejszych od 7.
|A| oznacza moc zbioru lub inaczej liczb¸e element´ow tego zbioru.
|{3, 6, 9}| = 3, |∅| = 0.
A ∪ B oznacza sum¸e zbior´ow, czyli zbi´or, kt´ory zawiera wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B.
{1, 2, 4} ∪ {1, 4, 6} = {1, 2, 4, 6}.
A ∩ B oznacza iloczyn lub przekr´oj zbior´ow, czyli zbi´or, kt´ory zawiera te elementy, kt´ore nale˙z¸a do obu zbior´ow naraz.
{1, 2, 4} ∩ {1, 4, 6} = {1, 4}.
A − B oznacza r´o˙znic¸e, czyli zbi´or, kt´ory zawiera te elementy, kt´ore nale˙z¸a do A i nie nale˙z¸a do B.
{1, 2, 4} − {1, 4, 6} = {2}.
A ⊕ B oznacza r´o˙znic¸e symetryczn¸a, kt´ora zawiera elementy nale˙z¸ace tylko do jednego z dw´och zbior´ow. A ⊕ B = (A − B) ∪ (B − A).
{1, 2, 4} ⊕ {1, 4, 6} = {2, 6}.
A ⊆ B oznacza, ˙ze zbior A zawiera si¸e w zbiorze B, to znaczy wszystkie elementy zbioru A nale˙z¸a do zbioru B.
{2, 1} ⊆ {1, 2, 3}
Dwa zbiory s¸a r´owne je˙zeli zawieraj¸a te same elementy, lub inaczej A = B wtedy i tylko wtedy gdy A ⊆ B i B ⊆ A.
{1, 4, 2, 3} = {4, 1, 3, 2}.
Jak wida´c kolejno´s´c element´ow w zapisie zbioru nie ma znaczenia. I tak na przyk lad {1, 2} = {2, 1}. Taki zbior dwuelementowy nazywamy czasami par¸a nieuporz¸adkowan¸a.
Kolejno´s´c elemnet´ow jest istotna w parze uporz¸adkowanej, kt´or¸a oznaczamy przez (x, y).
Mamy (x, y) = (u, v) wtedy i tylko wtedy gdy x = u oraz y = v. Dopuszczalne jest tak˙ze x = y. Para uporz¸adkowana jest ci¸agiem dwuelementowym.
A×B oznacza iloczyn kartezja´nski zbior´ow A i B. Jest to zbi´or wszystkich uporz¸adkowanych par (a, b), w kt´orych a ∈ A i b ∈ B. Inaczej
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.
Dla A = {1, 3, 5} i B = {3, 4} mamy
A × B = {(1, 3), (1, 4), (3, 3), (3, 4), (5, 3), (5, 4)}.
Powinno by´c oczywiste, ˙ze
|A × B| = |A| · |B|.
3 Rodzina zbior´ ow
Zbi´or zbior´ow nazywamy czasami rodzin¸a zbior´ow. Na przyk lad A = {A1, A2, A3, A4} jest rodzin¸a zawieraj¸ac¸a cztery zbiory A1, A2, A3 i A4, s¸a to elementy zbioru A. Mo˙zemy te˙z zapisa´c A = {Ai | 1 ≤ i ≤ 4}.
Mo˙zemy sumowa´c zbiory z rodziny. Suma
[k
i=1
Ai
zawiera te elementy, kt´ore nale˙z¸a do kt´orego´s ze zbior´ow A1, A2, ... ,Ak, czyli
[k
i=1
Ai = {x | ∃i 1 ≤ i ≤ k; x ∈ Ai}.
Inaczej mo˙zemy to zapisa´c:
[k
i=1
Ai = A1∪ A2∪ . . . ∪ Ak
B¸edziemy te˙z u˙zywa´c zapisu [
i∈I
Ai
na oznaczenie sumy wszystkich zbior´ow Ai, kt´orych indeksy nale˙z¸a do zbioru I. Zachodzi
wtedy [
i∈I
Ai = {x | ∃i∈I x ∈ Ai}.
Zbi´or indeks´ow sumowania mo˙ze by´c okre´slony za pomoc¸a warunku.
[
1<i<6
Ai = A2∪ A3∪ A4∪ A5. Mo˙zemy te˙z bra´c przekroje zbior´ow z rodziny. Przekr´oj
\k
i=1
Ai
zawiera te elementy, kt´ore nale˙z¸a do wszystkich zbior´ow A1, A2, ... ,Ak, czyli
\k
i=1
Ai = {x | ∀i 1 ≤ i ≤ k; x ∈ Ai}.
Inaczej mo˙zemy to zapisa´c:
\k
i=1
Ai = A1∩ A2∩ . . . ∩ Ak
B¸edziemy te˙z u˙zywa´c zapisu \
i∈I
Ai
na oznaczenie przekroju wszystich zbior´ow Ai, kt´orych indeksy nale˙z¸a do zbioru I. Zachodzi
wtedy \
i∈I
Ai = {x | ∀i∈I x ∈ Ai}.
Zbi´or indeks´ow przekroju mo˙ze by´c okre´slony za pomoc¸a warunku.
\
1<i<6
Ai = A2∩ A3∩ A4∩ A5.
Przyk lad 1. We´zmy rodzin¸e z lo˙zon¸a z trzech zbior´ow A1 = {4, 6, 8}, A2 = {4, 5, 6}, A3 = {4, 5, 8, 9},
[3
Ai = {4, 5, 6, 8, 9}
\3
Ai = {4}
Przyk lad 2. Niech I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} b¸edzie zbiorem indeks´ow. Dla ka˙zdego i ∈ I okre´slamy zb´or Ai = {x ∈ N | 1 ≤ x ≤ i}. Mamy
[
i∈I
Ai = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} \
i∈I
Ai = {1}
[
1<i<7
Ai = {1, 2, 3, 4, 5, 6} \
1<i<7
Ai = {1, 2}
4 Zaokr¸ aglenia
Wprowad´zmy dwa oznaczenia na zaokr¸aglenie liczby rzeczywistej. Dla dowolnej liczby rzeczywistej x
dxe
oznacza zaokr¸aglenie x w g´or¸e do najbli˙zszej liczby ca lkowitej. Na przyk lad:
d4e = 4, d4.3e = 5, d−4e = −4, d−4.3e = −4.
Przez
bxc
b¸edziemy oznacza´c zaokr¸aglenie x w d´o l do najbli˙zszej liczby ca lkowitej. Na przyk lad:
b4c = 4, b4.3c = 4, b−4c = −4, b−4.3c = −5.
