(1)Rozkªady dyskretne • Rozkªad jednopunktowy (zdegenerowany w punkcie, delta Diraca): P (X = c

(1)

Rozkªady dyskretne

• Rozkªad jednopunktowy (zdegenerowany w punkcie, delta Diraca):

P (X = c) = 1, c ∈ R, ϕ(t) = e^itc,

EX = c, Var X = 0.

• Rozkªad 0-1 (Bernoulli'ego):

P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 − p, p ∈ (0, 1), ϕ(t) = 1 − p + pe^it,

EX = p, Var X = p(1 − p).

• Rozkªad dwumianowy B(n, p), p ∈ [0, 1]:

P (X = k) =³ n k

´

p^k(1 − p)^n−k, k = 0, 1, . . . , n, ϕ(t) = (1 − p + pe^it)ⁿ,

EX = np, Var X = np(1 − p).

• Rozkªad jednostajny dyskretny DU(x1, . . . , x_m), x1, . . . , x_m ∈ R: P (X = k) = 1

m, k ∈ {x₁. . . , x_m}, EX = 1

m Xm

i=1

x_i, Var X = 1 m

Xm i=1

(x_i− ¯x)², gdzie ¯x = 1 m

Xm i=1

x_i.

• Rozkªad geometryczny G(p), p ∈ (0, 1):

P (X = k) = p(1 − p)^k−1, k = 1, 2, . . . , ϕ(t) = pe^it

1 − (1 − p)e^it, EX = 1

p, Var X = 1 − p p² .

• Rozkªad Poissona P (λ), λ > 0:

P (X = k) = λ^k

k! e^−λ, k = 0, 1, 2, . . . , ϕ(t) = exp(λ(e^it− 1)),

EX = λ, Var X = λ.

• Rozkªad wielomianowy M(n, p):

P (X = x) = n!

x₁! · · · x_k!p^x₁¹· · · p_k^x^k, x = (x₁, . . . , x_k), p = (p₁, . . . , p_k), gdzie pi ∈ (0, 1), i = 1, . . . , k,

Xk i=1

p_i= 1,

EX_i = np_i, Var X_i = np_i(1 − p_i), i = 1, . . . , k.

(2)

Rozkªady absolutnie ci¡gªe

• Rozkªad Cauchy'ego C(α, λ), α ∈ R, λ > 0:

f (x) = 1 π

λ λ²+ (x − α)², ϕ(t) = exp(iαt − λ|t|), EX, Var X nie istniej¡.

• Rozkªad chi-kwadrat z n stopniami swobody χ²n, n ∈ N:

f (x) = 1

2^n/2Γ(ⁿ₂)x^n/2−1exp(−^x₂)1_(0,∞)(x), EX = n, Var X = 2n.

Jest to rozkªad zmiennej losowej Y = Pⁿ

i=1

Z_i², gdzie Z1, . . . , Z_n s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadzie normalnym N(0, 1).

• Rozkªad gamma G(α, λ), α > 0, λ > 0:

f (x) = 1

λ^αΓ(α)x^α−1exp(−_λ^x)1_(0,∞)(x), EX = αλ, Var X = αλ².

• Rozkªad jednostajny U(a, b), a, b ∈ R, a < b:

f (x) = 1

b − a1_(a,b)(x), F (x) = x − a

b − a, x ∈ (a, b), ϕ(t) = e^itb− e^ita

it(b − a), EX = a + b

2 , Var X = (b − a)² 12 .

• Rozkªad Laplace'a La(µ, β), µ ∈ R, β > 0:

f (x) = 1 2β exp

³

−|x − µ|

β

´ , EX = µ, Var X = 2β².

• Rozkªad logarytmiczno-normalny LN(µ, σ²), µ ∈ R, σ > 0:

f (x) = 1 σx√

2πexp

³

−(ln x − µ)² 2σ²

´

1_(0,∞)(x),

EX = exp(µ +¹₂σ²), Var X = exp(2µ + σ²)(e^σ²− 1).

• Rozkªad normalny standardowy N(0, 1):

f (x) = 1

√2πe⁻¹²^x², Φ(x) = Zx

−∞

f (u) du,

ϕ(t) = e^−t²^/2,

EX = 0, Var X = 1.

(3)

• Rozkªad normalny N(a, σ²), a ∈ R, σ²> 0: f (x) = 1

√2π σe⁻¹²^(x−a)2^σ2 , F (x) = Φ

µx − a σ

¶ ,

ϕ(t) = e^iat−t²^σ²^/2, EX = a, Var X = σ².

• Rozkªad Pareto P a(x0, α), x0 > 0, α > 0:

f (x) = α x₀

³ x₀ x

´_α+1

1_(x₀_,∞)(x),

EX = αx₀

α − 1, α > 1, Var X = αx²₀

(α − 1)²(α − 2), α > 2.

• Rozkªad pot¦gowy P o(λ, α), λ > 0, α > 0:

f (x) = αx^α−1

λ^α 1_(0,λ](x), EX = αλ

α + 1, Var X = αλ² (α + 1)²(α + 2).

• Rozkªad t Studenta T (n) z n stopniami swobody, n ∈ N:

f (x) = Γ¡_n+1

2

¢ Γ¡_n

2

¢ √πn µ

1 +x² n

¶_−(n+1)/2 ,

EX = 0, n > 2, Var X = n

n − 2, n > 3.

Jest to rozkªad zmiennej losowej T = ^√^Z_Y √

n, gdzie Z jest zmienn¡ losow¡ o rozkªadzie normalnym N (0, 1), a Y jest zmienn¡ o rozkªadzie chi-kwadrat z n stopniami swobody χ²n.

• Rozkªad Weibulla W e(α, β), α > 0, β > 0:

f (x) = αβ^−αx^α−1exp¡

− (x/β)^α¢

1_(0,∞)(x), EX = β Γ¡

1 +_α¹¢

, Var X = β²

³ Γ¡

1 +_α²¢

− Γ²¡

1 +_α¹¢ ´ .

• Rozkªad wykªadniczy E(λ), λ > 0:

f (x) = λ e^−λx1_(0,∞)(x), F (x) = (1 − e^−λx)1_(0,∞)(x), ϕ(t) = λ

λ − it, EX = 1

λ, Var X = 1 λ².

• Rozkªad wykªadniczy E(a, σ), a ∈ R, σ > 0:

f (x) = 1 σ exp

³

− x − a σ

´

1_(a,∞)(x), EX = a + σ, Var X = σ².

Oznaczenia: f g¦sto±¢, F dystrybuanta,

Φ dystrybuanta rozkªadu N(0, 1), ϕ funkcja charakterystyczna, EX warto±¢ oczekiwana, Var X wariancja.