() pewnych rozwinięciach liczb rzeczywistych w iloczyny nieskończone szybko zbieżne

() pewnych rozwinięciach liczb rzeczywistych w iloczyny nieskończone szybko zbieżne

1. E. B. Escott [3] podał następujące rozwinięcie liczby ) /(Zr-f 2)/(k—2), gdzie к > 2, w iloczyn nieskończony

(1)

I

gdzie kx = к oraz Zcn + 1 — kn(kn—3).

Niedawno dowiodłem (zob. [6]), żę wzór ten jest szczególnym przy­

padkiem ogólniejszego wzoru na rozwijanie liczb rzeczywistych x > 1

w iloczyn nieskończony szybko zbieżny, który można otrzymać w na­

stępujący prosty sposób:

Niech będzie dana liczba rzeczywista x > 1. Oznaczmy przez kx taką najmniejszą liczbę naturalną (oczywiście większą od 1), że x > l + 2/(fc1 —1) i przyjmijmy ж = [ l + 2 / ^ - 1 ) ) ^ .

Ponieważ xx > 1, więc z liczbą xx możemy postąpić jak z liczbą x itd.

Powtarzając to postępowanie n razy (gdzie n jest liczbą naturalną), do­

chodzimy do wzoru

ж=(

+^У(

+^)---(

+^тЬ’ gdzie

czyn nieskończony ж_>0°

/ (2) x = 1 1

kx—l 1

+

+

przy czym można dowieść, że

(3) kn+x^ k n —kn dla n — 1 , 2 , . . .

Szczególnym przypadkiem tego rozwinięcia dla x = l / ( k + 2 ) l ( k ~ 2 ) , gdzie к jest liczbą naturalną większą od 2, jest właśnie rozwinięcie (1), podane przez E. B. Escotta (jak to wyprowadzimy dalej w § 4).

Udowodniłem nadto, że dla każdej liczby rzeczywistej x > 1 istnieje tylko jedno rozwinięcie (2), gdzie kn (n = 1, 2, ...) są liczbami natural-

nymi spełniającymi nierówności (3) oraz że x wtedy i tylko wtedy jest liczbą wymierną, gdy istnieje taka liczba naturalna s, że kn+1 = k2n — kn dla n > s. Dowiodłem wreszcie, że jeżeli 1 < x < 3, to kn+2 > 102”~ł dla n = 1,2, . . . , skąd wynika szybka zbieżność iloczynu (2).

2. Jednocześnie z moją pracą ukazała się praca A. Oppenheima, [4], w której autor zajmuje się nieco ogólniejszymi rozwinięciami.

Niech nx, n2, ... oznacza ciąg nieskończony liczb naturalnych, x zaś daną liczbę rzeczywistą większą od 1. Oznaczmy przez dx najmniejszą taką liczbę naturalną, że x > l-\-nx/dx i przyjmijmy

x = (1 -1 -n1jd1)x1.

Wówczas x x > 1. Oznaczmy dalej przez d2 najmniejszą taką liczbę na­

turalną, że xx > 1 +w,2/d2 i przyjmijmy xx = (1-j- n 2/d2)x2. Ogólnie, mając liczbę xk_ x > 1 oznaczmy przez dk taką najmniejszą liczbę na­

turalną, że

№k- 1 > 1+1%/dfc przyjmijmy xk_x = ( l + n k/dk)xk. Jest

(4) x = { l Jr n1fdx){l-\-n2jdx) .. .(\-\-nkjdk)xk.

Udowodnimy teraz (nieco krócej niż A. Oppenheim), że lim xn = 1.

k—>oo

Gdyby nie było lim (nkjdk) = O, to istniałaby taka liczba dodatnia a,

fc—>oo

że nk/dk > a dla nieskończenie wielu różnych k, na przykład dla к —

= kx, k 2, ... Dla dowolnej liczby naturalnej s byłoby więc wobec (4) (gdzie xk > 1)

x > (l+%1M*1)(l+%2/^fc2)---(l+%</d*,) > (l + a)s,

co jest niemożliwe. Musi więc być lim (nk/dk) = 0 i zatem lim dk = o o ,

k —¥OQ k - y oo

więc lim [nkj{dk — 1)] = 0. Natomiast z definicji liczby dk wynika, że

к —>oo

(w razie, gdy dk > 1)

(5) l-\-nkjdk < xk_x l+ % / ( ^ * —1).

Jest więc hm xk_x = 1 i wzór (4) daje rozwinięcie Uczby x w iloczyn

к —> oo

nieskończony

(6) ж = ( l+ % / d 1) ( l+ ^ 2/^2) ( l+ w 3/d3)...

Podany na początku tego paragrafu algorytm doprowadza więc do roz­

winięcia każdej liczby rzeczywistej x > 1 w iloczyn nieskończony (6).

Wyprowadzimy teraz pewną nierówność, którą muszą spełniać uzyskane za pomocą tego algorytmu Uczby dk (k = 1 , 2 , . . . ) .

Mech к oznacza liczbę naturalną. Przyjmując 00q — cc będziemy więc, w myśl naszego algorytmu, mieli dla dk > 1 nierówności (5) i po­

dobnie nierówność

l+% H-il^k+1 < xk•

Wobec xk_ x = (1 -\-nkjdk)xk znajdujemy stąd nierówność (^-~\~nkldk)(l~hnk+ildk+1) < xk_x ^ lĄ- nk/(dk—l ) , a zatem

! i Hk+l < / l i Пк ) l ( l i M = i i ^

\ dk~ 1 11 \ dk j (dk — l ) ( ^ + w fc) co daje

(7) ^fc+i > (^fc—l)(^fc+^fe)^fc+i/%?

co jest też oczywiście prawdą i dla dk — 1.

Wyznaczone za pomocą naszego algorytmu liczby dx, d 2, . . . speł­

niają więc dla к = 1 , 2 , . . . nierówności (7).

Z (7) wynika bezpośrednio, że

dk+i~ > (dfc—1) [ ( ^*+%) %+i — —

= {dk~ l)(^A:%+x/%+%+X— 1) ^ więc dfc+1 > dk—1, czyli

(8) d* +1 > dk dla к 1 ,2 , ...

Udowodnimy teraz, że dla każdej liczby rzeczywistej x > 1 i każdego ciągu nieskończonego liczb naturalnych nx, n 2 ) ... istnieje tylko jedno rozwinięcie (6), gdzie dk (k — 1 ,2 , . . . ) są liczbami naturalnymi, speł­

niającymi nierówności (7).

Przypuśćmy, że (6) jest takim rozwinięciem. Wobec (6) x > 1 Ą-nxjdx i jeżeli dx — 1, to dx jest oczywiście najmniejszą liczbą naturalną speł­

niającą tę nierówność. Przypuśćmy dalej, że dx > 1, a zatem że dx > 2.

Wobec (8) jest wówczas też dk > 2 dla к = 1, 2, ... Wobec (7) mamy

1

+

1 + n«

> 1 1 + ^ 1 1 1

itd., a zatem

d3 1

skąd wobec (6), l-{-n1l(d1—l ) ' ^ x , co wobec x > l - \ - n 1jd1 dowodzi, że dx jest najmniejszą taką liczbą naturalną, iż # > 1 + % /^ . Przyj­

mując x = ( l + Wi/dx)#! otrzymujemy wobec (6) rozwinięcie x x = ( l + n 2/d2) ( l + n 2/d3) . . . ,

skąd podobnie jak wyżej dowodzimy, że d2 jest najmniejszą taką liczbą naturalną, że xx > l Ą - n 2jd2 itd. Liczby dx, d2, ... są więc (przez liczbę x i ciąg liczb naturalnych określone w zupełności.

Tak więc udowodniliśmy następujące twierdzenie (którego w tej postaci nie wypowiedział A. Oppenheim [4]; por. jego twierdzenia 1 i 2):

Twierdzenie 1. Dla każdej liczby rzeczywistej x > l oraz każdego ciągu nieskończonego %, %, ... liczb naturalnych istnieje jedyne rozwi­

nięcie (6), gdzie d x, d 2, ... są liczbami naturalnymi, spełniającymi nie­

równości (7) dla к = 1 ,2 , . . .

\ Udowodnimy teraz

Twierdzenie 2. Na to, by liczba x > 1, dająca rozwinięcie (6), uzy­

skane za pomocą podanego wyżej algorytmu, była wymierna, potrzeba i wy­

starcza, żeby istniała taka liczba naturalna s, że

(9) nk (dk+1- l ) = ( 4 - 1 ) ( 4 + % ) % +i (Ha k ^ s .

(Twierdzenia tego wr tej postaci nie wypowiedział A. Oppenheim;

por. jego twierdzenia 3 i 4.)

D ow ód . Przypuśćmy, że istnieje liczba naturalna s, dla której mamy wzór (9). Możemy przy tym założyć, że ds > 1, gdyż jak wiemy, nierówmość ta zachodzi dla dostatecznie wielkich s. Wobec (8) będzie więc dk > 1 dla к > s. Wobec (9) znajdujemy więc

(10) } + + d>c+%+11 — 1

dla к — s , s -j—1,6* —(—2 , . . . ,

skąd, wobec hm [nk+1/(dk+1—-1)] = 0, znajdujemy od razu

k—>oo Us

d„— 1 1 + ^{'s + l}

* S + 1

US+2

*£+2

= X's-lj

co wobec (4) dowodzi, że x jest liczbą wymierną. Warunek twierdzenia 2

jest więc dostateczny.

Przypuśćmy teraz, że x > 1 jest liczbą wymierną. Wobec (4) liczby xk (k = 0, 1, 2, ...) są więc też wymierne i wobec xk > 1 możemy przyjąć xk_1 — 1 . + l kjmk, gdzie lk i mk są liczbami naturalnymi względnie pierwszymi. Wobec xk_x = (l-\-nk/dk)xk, znajdujemy

h + l l m k + l — (h (h ~ m к 1 lk) / 1 m k( <h A 1 lk) ] ?

co z uwagi na to, że ułamek lk+ilmk+1 jest nierozkładalny, daje

( 1 1 ) l k + 1 + l k d k — m k n k -

Lecz dk oznacza najmniejszą, taką liczbę naturalną, że xk+1 — 1+ l k[mk >

> 1 -\-nk/dk, a więc taką najmniejszą liczbę naturalną, że lkdk > mknk, skąd wynika, że lk{dk—l ) ^ m knk, czyli lkdk—mknk ś i l k. Wobec (11) znajdujemy więc

lk+1 ^ h dla к = 1,2, . . .

Ciąg nieskończony liczb naturalnych lx, l 2, ... jest więc nierosnący, skąd wynika, że poczynając od pewnego miejsca wszystkie wyrazy jego muszą być równe. Istnieje więc taka liczba naturalna s, że lk+1 — lk dla к + s.

Wzór (11), wobec lkdk—mknk + lk, daje zatem lk dk — nik nk = lk dla к s ,

czyli lk(dk—l ) — mknk dla к + s, skąd dk Ф 1 oraz xk_x = 1-\-1к/тк —

= 1 -\-nkl(dk — 1), jak też xk = 1 -\-nk+1l(dk+1 — 1) dla к + s. Wobec xk_x — ( 1 -\-nkldk)xk znajdujemy więc wzór (1 0), z którego wynika wzór (9). Warunek twierdzenia 2 jest zatem konieczny.

Udowodniliśmy więc twierdzenie 2.

3. Przyjmijmy teraz w szczególności nk — 1 dla к = 1 , 2 , 3 , . . . Z twierdzeń 1 i 2 otrzymujemy od razu

Twierdzenie 3. Dla każdej liczby rzeczywistej x > 1 istnieje jedyne rozwinięcie w iloczyn nieskończony

(1 2) x = ( l + l / + ) ( l + l / d2) ( l + l / d 3) . . . ,

gdzie dk (k = 1,2 , . . . ) są takimi liczbami naturalnymi, że dk+1 + dl dla к = 1,2 , . . . , przy tym na to, by liczba x była wymierna, potrzeba i wy­

starcza, żeby istniała taka liczba naturalna s, iż dk+x = dl dla к + s.

Rozwinięcie (1 2) otrzymujemy za pomocą następującego^ftlgorytmu:

Wyznaczamy najmniejszą taką liczbę naturalną dx, że x > 1 + 1 ldx, przyj­

mujemy x — (1 + 1 /d1)x1 i z liczbą xx postępujemy tak, jak postąpiliśmy z liczbą x itd.

Twierdzenie to podałem w pracy [5], w 1909 r., przy czym punk­

tem wyjścia moich rozważań był prosty algorytm, określający rozwinię­

cie liczby x. Z pracy A. Oppenheima dowiedziałem się, że twierdzenie 3 podał już G. Cantor [1] w 1869 r.

Punkt wyjścia G. Cantora był inny. Był nim mianowicie znany wzór Eulera

1/(1 -* ) = ( l + t ) ( l + t * ) ( l + t * ) . . . ( l + t * k)... dla \t\ < 1.

Dla t = 1 fk, gdzie к jest liczbą naturalną większą od 1, daje on rozwinię­

cie (1 2) liczby x = k/(k — 1), gdzie dx = к oraz di+l — d\ dla i — 1,2, . . . Stąd łatwy wniosek, że jeżeli w rozwinięciu (12) mamy, dla pewniej liczby naturalnej s, di+1 — dl dla i ^ s, to x jest liczbą wymierną. G. Cantor dowodzi następnie, że każda liczba rzeczywista x > 1 daje jedyne rozwi­

nięcie (1 2), gdzie dt {i — 1,2, . . . ) są liczbami naturalnymi oraz di+1 > d\

dla i = 1,2, . . . , i wyprowadza algorytm dla otrzymywania tego rozwi­

nięcia.

4. Przyjmijmy teraz nk = 2 dla к — 1, 2, ... Z twierdzeń 1 i 2, za­

kładając ki — di-\-l dla i — 1,2 , . . . , otrzymujemy od razu

Twierdzenie 4. Dla każdej liczby rzeczywistej x > 1 istnieje jedyne rozwinięcie na iloczyn nieskończony (2), gdzie kn (n — 1,2 , ...) są liczbami naturalnymi, spełniającymi nierówności (3), przy czym na to, by liczba x była wymierna, potrzeba i wystarcza, żeby istniała taka liczba naturalna s, że kn+l = k\ — kn dla n > s.

Rozwinięcie (2) otrzymujemy wyznaczając taką najmniejszą''liczbę naturalną k1, że x > 1Ą-2 j{kx —1), przyjmując x — [l-\-2 l(kx — 1) ] ^ i po­

stępując z liczbą хг jak z liczbą x itd.

Jest to właśnie moje twierdzenie, o którym wspomniałem na po­

czątku tej pracy.

Pokażemy teraz, jak z twierdzenia 4 można wyprowadzić rozwinięcie (1) E. B. Escotta. , ,

№ech к oznacza daną liczbę naturalną większą od 2. Załóżmy, że x — \/(k'-\r 2)j(k — 2) i wyznaczmy najmniejszą taką liczbę naturalną kx, że x > 1Ą-2 l(kx —1). Ponieważ, jak łatwo sprawdzić,

[ k / ( k - 2 ) f > ( к + 2 ) / ( Ъ - 2) > [ ( k + l ) l ( k - l ) f , więc

1+2P - 2) = k / ( k - 2) > '|/( fe +2)/(fc—-2) > (fc + l ) / ( f c - l ) = 1 + 2/ ( к -1), co dowodzi, że kx = к, a ponieważ

{ к + 2 ) Ц к - 2 ) = [ 1 + 2 1 ( к - 1 ) ] Ц к з - З к + 2 ) 1 ( к * - З к - 2 ) , więc znajdujemy

(13) \/(lc+ 2 ) / ( i - 2 ) = [ l + S / ^ - l ) ] | / ( l a+2)/(fc2- 2 ) , gdzie ks = k*—3kx. Przez łatwą indukcję znajdujemy stąd

kx — к, kn+x = къп—3кп dla n = 1 , 2 , . . . , >

co wiaśnie daje wzór (1). Ponieważ wzór (13), gdzie к■ = kx, jest prawdzi­

wy dla każdej liczby rzeczywistej к > 2, więc wzór (1), gdzie kx = к orazs kn+1 = kn—3kn, jest prawdziwym dla każdej liczby rzeczywistej к większej od 2.

Prace cytowane

[1] G. Cantor, Zwei Sćitze uber eine gewisse Zerlegung der Zahlen in unendliche Brodukte, Zeitschrift ftir Matli. u. Phys. 14 (1869), str. 152-158..

[2] — Gesammelte Abhandlungen Mathematischen und Philosophischen Inhalts herausgegeben von Ernst Zermelo, Berlin 1932, str. 43-50.

[3] E. B. E sc o tt, Bapid method for extracting a square root, Amer. Math. Monthly 44 (1937), str. 644-646.

[4] A. O ppenheim , On the representation of real numbers by products of rational numbers, Quarterly Journal of Math. Oxford Second Series 4 (1953), str. 303-307.

[5] W. S ierp iń sk i, O systematycznych rozwinięciach liczb na iloczyny nieskoń­

czone, Prace Mat.-Fiz. 20 (1909), str. 215-230.

[6] — Generalisation d'une formule de E. B. Escott pour les racines carrees, Bull. Soc. Boy. Sci. Liege 22 (1953), str. 520-529.

INSTYTUT MATEMATYCZNY POLSKIEJ AKADEMII NAUK

В. Серп инский (Варшава)

О НЕКОТОРЫХ РАЗЛОЖЕНИЯХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В БЫСТРО СХОДЯЩИЕЕСЯ БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Р Е З ЮМ Е

В статье доказано (теорема 4), что всякое действительное число х > 1 разлага­

ется единственным образом в бесконечное произведение (1) * = ( l + 2 / ( k 1- l ) ) { l + 2 / ( k , - l ) ) ( l + 2 J ( k 3- l ) ) . . . ,

где кп натуральные числа, для которых

(2) К +1>Ъ2~ К ( » = 1,2,...).

Число х рациональное тогда и только тогда, когда для достаточно боль­

ших п в формуле (2) имеетса равенство.

Для всякого п ^ 1 число кп в разложении (1) является наименьшим натура­

льным числом, для которого

х 2

(l + 2/(fcł - l ) ) . . . ( l + 2/(fc„_1- l ) ) ^ К - 1

Теорему эту получил Э. В. Эскотт для частного случая, когда ж =

= /(fc + 2)/(fc-2). В этом случае кг — к, кп+1 = кп(к*— 3).

Кроме того доказано (теорема 1), усиливая результаты А. Оппенгейма и упро­

щая его рассуждения, что для всякого действительного числа ж > 1 и всякой бесконечной последовательности п 1, пй, ... натуральных чисел имеется единствен­

ное разложение

ж = {l-\-n1fd1){l-j-nt/d2){l+n.ijda). .. ,

причем dk натуральные числа, для которых

d k±l --> (d k i) «*)«*+1/«* (к — 1 , 2 , . . . ) .

Приводится тоже достаточное и необходимое условие, которому должны удовлетворять числа dk, чтобы число х было рациональное (теорема 2).

W. Sierpiński (Warszawa)

ON CERTAIN EXPANSIONS OF REAL NUMBERS INTO INFINITE FASTCONVERGING PRODUCTS

SUMMARYi

The author proves (theorem 4) that for every real number x > 1 there exists a unique expansion into an infinite product

(1) a> = (l + 2 /(* q -l))(l + 2/(fc2- l ) ) ( l + 2/(fc3- l ) ) ..., where kn are natural numbers satisfying the inequalities

(2) K + 1 > K — K ( « =1,2,...).

The number x is rational if and only if for sufficiently large n we have equality in (2).

For every n ^ 1 the number kn in the expansion (1) is the least natural number for which

x 2

--- .----;---. > 14--- (fc„ = OO) . (l + 2/(fca— l) ) ...( l + 2/(fcn_1— 1)) kn- l

This theorem has been obtained by E. В. Escott in the particular case of x — ]/(fc + 2)/(fc — 2). Then kt — k, kn+1 = kn(k^ — 3).

Moreover, strengthening A. Oppenheim’s results and simplifying his argumen­

tation, the author proves (theorem 1), that for every real number x > 1 and every infinite sequence of natural numbers п у, п г, . . . there exists a unique expansion

x = (l+ » ,/d 1) ( l + » 2/rfl)(l+ w s/d,) ...

where dk are natural numbers satisfying the inequalities dk+ i> (dk - l )(dk + nk)nk+Jnk (k = 1 , 2 , . . . ) .

The author gives also the necessary and sufficient condition which must be satisfied by the numbers dk in order that the number x be rational (theorem 2).