1
W ERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
I. TESTY PARAMETRYCZNE
II. WERYFIKACJAHIPOTEZOWARTOŚCIACHŚREDNICHDWÓCH POPULACJI
III. TESTY ZGODNOŚCI
Rozwiązania zadań wykonywanych w Statistice przedstaw w pliku nazwisko_imię_cwiczenia4.doc.
I. Weryfikacja hipotez statystycznych - Testy parametryczne
Podstawowe etapy procesu weryfikacji hipotez statystycznych:
1. Sformułowanie hipotezy zerowej 𝐻0 oraz hipotezy alternatywnej 𝐻1; 2. Przyjęcie wartości poziomu istotności 𝛼;
3. Dobranie testu, obliczenie jego wartości w oparciu o dane z próby;
4. Wyznaczenie obszarów krytycznych przy ustalonym poziomie istotności;
5. Podjęcie decyzji o odrzuceniu lub nie odrzuceniu hipotezy zerowej;
6. Wnioski;
Zadanie 1
Każda torebka mąki tortowej produkowanej przez zakład zbożowy ma określoną na opakowaniu wagę 1 𝑘𝑔 z tolerancją ±0,017 𝑘𝑔. Istnieje przypuszczenie, że pewna seria mąki pochodzącej z tego zakładu nie odpowiada normom wagowym. W celu zbadania zasadności tych zastrzeżeń wylosowano 25 opakowań mąki z tej serii i otrzymano następujące wyniki (w kg): 0,940; 0,994; 0,982; 0,980; 0,965; 0,951; 0,989; 0,931;
0,951; 1,002; 0,970; 0,967; 0,960; 0,988; 0,988; 0,991; 0,963; 0,986; 0,964; 0,966;
0,964; 0,981; 0,986; 0,964; 0,962.
Zakładając, że rozkład wagi opakowań mąki jest rozkładem normalnym o znanym odchyleniu standardowym 𝜎 = 0,017 𝑘𝑔, sprawdź, czy uzyskane wyniki potwierdzają przypuszczenie o braku zgodności badanej serii mąki z normami wagowymi. Przyjmij poziom istotności 𝛼 = 0,05.
Zadanie 2
Próba 50 potencjalnych klientów ogląda reklamę pewnego produktu, a następnie ma ocenić – w skali od 1 do 10 – czy reklama skłania, czy nie do zakupu produktu. Reklama będzie stosowana powszechnie, jeśli rezultaty eksperymentu pokażą na poziomie 𝛼 = 0,05, że średnia ocena wynosi ponad 5,0 punktów. Po prezentacji okazało się, że średnia ocena wynosiła 6,3 punktu z odchyleniem standardowym 1,6. Czy zatem zostanie zastosowany ten rodzaj reklamy?
2 Zadanie 3
Zdaniem ekspertów przeciętna cena 1 𝑚2 nowo wybudowanego mieszkania przez spółdzielnie mieszkaniowe i firmy budowlane w Krakowie w I kwartale 2000 r. wynosiła 3 𝑡𝑦𝑠. 𝑃𝐿𝑁. W celu sprawdzenia tej opinii wylosowano 9 ofert i otrzymano następujące ceny sprzedaży (w tys. PLN) 1 𝑚2 takich mieszkań:
3,1; 2,9; 3,1; 3,2; 2,6; 2,8; 2,7; 2,7; 3,0.
Zakładając, że badana cecha ma rozkład normalny, zweryfikuj opinię ekspertów na poziomie istotności 𝛼 = 0,10, czy cena jest mniejsza od 3 𝑡𝑦𝑠. 𝑃𝐿𝑁.
Zadanie 4
Właściciel firmy produkującej maszyny dla przemysłu spożywczego twierdzi, że produkowana przez niego maszyna do napełniania torebek z zupkami w proszku pakuje proszek z odchyleniem nie większym niż 0,04 𝑔. Pobrano próbę 8 torebek i okazało się, że średnia waga torebki wynosi 10,1 𝑔 z wariancją 0,0018 𝑔2. Czy wyniki badań potwierdziły twierdzenie właściciela formy? Zastosuj 𝛼 = 0,05.
3
II. Weryfikacja hipotez o wartościach średnich dwóch populacji (STATISTICA)
Testy t-studenta służą do porównywania średnich.
Hipotezę zerową można przedstawić jako: 𝐻0: (𝑚1 = 𝑚2) a alternatywną: 𝐻1: (𝑚1 ≠ 𝑚2)
(𝑚1 < 𝑚2) (𝑚1 > 𝑚2)
Do testów t-studenta można się dostać wybierając z menu głównego Statystyka/Statystyki podstawowe i tabele. Wyświetla się okno:
Test t dla grup niezależnych (wzgl. grup) Test t dla grup niezależnych (wzgl. zmn)
4 Poziom istotności ex post czyli „poziomu prawdopodobieństwa” lub p-wartość oznaczone jest literą p i na jego podstawie dokonujemy weryfikacji hipotez.
WAŻNE: jeśli p < α, wtedy wyniki zostaną podświetlone na czerwono, oznacza to, że są one istotne statystycznie, czyli, że odrzucamy hipotezę zerową na danym poziomie istotności α
Zadanie 1
Pewnemu badaniu poddano 16 wylosowanych osób. Badanie polegało na rejestracji czasu, jaki upłynie, zanim dana osoba zidentyfikuje produkt reklamowany na dwóch kolorystycznie różnych plakatach reklamowych. Otrzymano następujące wyniki (w minutach):
Projekt 1 1 3 2 1 2 1 3 2
Projekt 2 4 2 3 3 1 2 3 3
Czy istnieje istotna różnica w czasach rozpoznawania produktu na obu plakatach reklamowych? Przyjmij poziom istotności α = 0,05.
5 Zadanie 2
Chcąc ocenić rozkład masy ciała noworodka dla kobiet palących i niepalących, wylosowano grupę 36 kobiet i odnotowano wagę (w gramach) noworodka. Zebrane dane zapisano w pliku zad_II_2_Palenie.sta Sprawdzić, czy średnia waga dziecka przy narodzeniu jest naprawdę mniejsza dla matek palących. Przyjmij poziom istotności α = 0,05.
Zadanie 3
Dla oceny wpływu płci na ciśnienie skurczowe przebadano trzydziestu pacjentów.
Zebrane dane zapisano w pliku zad_II_3_Cisnienie.sta. Sprawdź, na poziomie istotności α = 0,1 sprawdź, czy płeć ma wpływ na ciśnienie skurczowe.
6
III. Testy zgodności – dopasowanie rozkładu (STATISTICA)
Hipotezy dla dopasowywania rozkładów:
𝐻0 : rozkład badanej cechy w populacji jest rozkładem A,
𝐻1 : rozkład badanej cechy w populacji jest różny od rozkładu A.
Gdzie A to dowolny rozkład, jaki chcemy dopasować w danym momencie.
Panel Dopasowywania rozkładów przywołujemy z menu Statystyka. W otwartym w ten sposób oknie znajduje się tylko jedna karta: Podstawowe, na której należy wybrać rozkład, jaki chcemy dopasować do naszej próby. Po wyborze rozkładu program przechodzi do kolejnego okna:
W zakładce Opcje można wybrać test, przy pomocy którego odbędzie się dopasowywanie rozkładu: do wyboru jest test 𝜒2albo test Kołmogorowa-Smirnowa.
Test χ2 stosuje się dla prób o dużej liczebności, n>50, dla mniejszych wykorzystuje się test Kołmogorowa-Smirnowa. Każdy z tych testów sprawdza, czy rozkład w populacji dla pewnej zmiennej losowej, różni się od założonego rozkładu teoretycznego, gdy znana jest jedynie pewna skończona liczba obserwacji tej zmiennej (próba).
Wyznaczoną na podstawie statystyki testowej wartość p porównujemy z ustalonym poziomem istotności 𝛼:
• jeżeli 𝑝 ≤ 𝛼 => odrzucamy 𝐻0 przyjmując 𝐻1,
• jeżeli 𝑝 > 𝛼 => nie ma podstaw do odrzucenia 𝐻0.
Zadanie 1:
Plik zad_III_1_Zarobiki.sta zawiera dane dotyczące płacy brutto dla 1255 osób. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikuj hipotezę, że rozkład zarobków jest rozkładem:
a) normalnym, b) lognormalnym.
7 Zadanie 2:
Zestawienie poniżej przedstawia zawartość tłuszczu w 20 próbkach mleka (zad_III_2_Mleko.sta):
3,6 3,8 3,2 3,7 4 3,9 3,7 3,7 4 3,2
3,2 3,6 3,5 4 4 3,6 3,6 3,6 3,5 3,5
Na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikuj zgodność tego rozkładu z rozkładem jednostajnym (prostokątnym) w przedziale od 3,2 do 4,0.
