LXVI OLIMPIADA FIZYCZNA – ZADANIA ZAWODÓW I STOPNIA

LXVI OLIMPIADA FIZYCZNA – ZADANIA ZAWODÓW I STOPNIA

Rozwi ˛ azania zada´n I stopnia nale˙zy przesyła´c do Okr ˛egowych Komitetów Olimpiady Fizy- cznej w terminach: cz ˛e´s´c I – do 14 pa´zdziernika b.r., cz ˛e´s´c II – do 18 listopada b.r. O kwalifikacji do zawodów II stopnia b ˛edzie decydowa´c suma punktów uzyskanych za rozwi ˛ azania zada´n cz ˛e´sci I i II.

Przed wysłaniem rozwi aza´n prosimy o zarejestrowanie si ˛e na stronie internetowej ˛ http://www.kgof.edu.pl/rejestracja.

Szczegóły dotycz ˛ ace regulaminu oraz organizacji Olimpiady mo˙zna znale´z´c na stronie internetowej http://www.kgof.edu.pl.

Krótka informacja na temat poprawnej redakcji rozwi ˛ aza´n zada´n Olimpiady Fizy- cznej

Zadania powinny by´c rozwi ˛ azane jasno, przejrzy´scie i czytelnie. Ka˙zde zadanie powinno by´c rozwi ˛ azane na oddzielnej kartce papieru. Poszczególne etapy rozumowania nale˙zy opisa´c, a wszelkie zale˙zno´sci fizyczne, które nie s ˛a wprost podane w podr ˛ecznikach szkolnych — udowodni´c. Nale˙zy równie˙z obja´sni´c wszelkie oznaczenia wyst ˛epuj ˛ace w rozwi ˛azaniach zada´n. Rysunki mog ˛a by´c wyko- nane odr ˛ecznie — musz ˛ a by´c jednak przejrzyste i czytelne oraz dobrze opisane w tek´scie.

Rozumowanie przedstawione w rozwi ˛ azaniach nie mo˙ze zawiera´c luk logicznych. Ka˙zdy krok rozu- mowania powinien by´c zwi ˛e´zle opisany, a przyj ˛ete zało˙zenia — klarownie uzasadnione. Rozwlekło´s´c jest uznawana za ujemn ˛ a cech ˛e pracy.

Rozwi ˛ azanie zadania teoretycznego powinno by´c poprzedzone analiz ˛ a problemu poruszanego w zadaniu, a zako´nczone dyskusj ˛ a wyników. Rozwi ˛ azania zada´n teoretycznych powinny odnosi´c si ˛e do ogólnej sytuacji opisanej w tre´sci, dane liczbowe (o ile zostały podane) powinny by´c podstawione dopiero do ostatecznych wzorów.

W zadaniach do´swiadczalnych nale˙zy wyra´znie rozgraniczy´c cz ˛e´sci teoretyczn ˛a i do´swiadczaln ˛a.

Cz ˛e´s´c teoretyczna zadania do´swiadczalnego powinna zawiera´c analiz ˛e problemu wraz z wyprowadze- niem niezb ˛ednych wzorów (o ile nie ma ich wprost w podr ˛ecznikach szkolnych) oraz sugesti ˛e metody do´swiadczalnej. Cz ˛e´s´c do´swiadczalna powinna zawiera´c m.in. opis układu do´swiadczalnego ilus- trowany rysunkiem, opis wykonanych pomiarów, wyniki pomiarów, analiz ˛e czynników mog ˛ acych wpływa´c na wyniki (jak np. rozpraszanie energii lub opory wewn ˛etrzne mierników), opracowanie wyników wraz z dyskusj ˛ a niepewno´sci pomiarowych. Wykresy do zadania do´swiadczalnego powinny by´c starannie wykonane, najlepiej na papierze milimetrowym. Ocenie podlegaj ˛ a wył ˛ acznie elementy rozwi ˛ azania opisane w pracy. W zadaniach do´swiadczalnych osobno oceniana jest cz ˛e´s´c teoretyczna i cz ˛e´s´c do´swiadczalna.

W rozwi ˛ azaniach mo˙zna posługiwa´c si ˛e dowolnym układem jednostek, chyba ˙ze tekst zadania

mówi wyra´znie inaczej.

CZ ˛ E´S´ C II (termin wysyłania rozwi ˛ aza´n – 18 listopada 2016 r.)

Uwaga: Rozwi ˛ azanie ka˙zdego zadania powinno by´c napisane na oddzielnym arkuszu papieru podaniowego. Na ka˙zdym arkuszu nale˙zy umie´sci´c identyfikator otrzymany w trakcie rejestracji oraz nazwisko i imi ˛e autora pracy. Na pierwszym arkuszu pracy do- datkowo nale˙zy poda´c adres e-mail autora pracy oraz nazw ˛e i adres szkoły. Osoby, które chc ˛ a by´c poinformowane listownie o wynikach kwalifikacji, do pracy powinny doł ˛ aczy´c zaadresowan ˛ a do siebie kopert ˛e z naklejonym znaczkiem.

ZADANIA TEORETYCZNE

Nale˙zy przesła´c rozwi ˛ azania trzech (i tylko trzech) dowolnie wybranych zada´n teo- retycznych. Za ka˙zde z trzech zada´n mo˙zna otrzyma´c maksimum 20 punktów.

Zadanie T1

Rys. 1. Stan pocz ˛ atkowy rozwa˙zanego układu desek. Rysunek nie uwzgl ˛ednia faktu, ˙ze pierwsza deska jest długa.

Deska o masie m ¹ , długo´sci L ¹ oraz grubo´sci d, gdzie L ¹ ≫ d, ma jeden koniec ´sci ˛ety pod k ˛ atem 45 ^o . Deska ta jest pocz ˛ atkowo oparta o drug ˛ a desk ˛e o grubo´sci równie˙z d i masie m ² , spoczywaj ˛ ac ˛ a na poziomym stole — tak jak przedstawiono to na rysunku.

Wyznacz ko´ncow ˛ a pr ˛edko´s´c drugiej deski.

Pomi´n tarcie i inne opory ruchu.

Moment bezwładno´sci cienkiego pr ˛eta o długo´sci l i masie m wzgl ˛edem osi prostopadłej do niego i przechodz ˛ acej przez jego ´srodek masy wynosi 12 ¹ ml ² .

Zadanie T2

Kondensator płaski składa si ˛e z dwóch prostok ˛ atnych metalowych okładek o wymiarach a × b, mi ˛edzy którymi znajduje si ˛e jednorodny dielektryk o stałej dielektrycznej równej ε r . Odległo´s´c mi ˛edzy okładkami wynosi d, przy czym d ≪ a oraz d ≪ b. Kondensator naładowano pewnym ładunkiem i poło˙zono na równi pochyłej o k ˛acie nachylenia α, tak ˙ze kraw ˛edzie b s ˛a poziome. Górna okładka kondensatora nie jest przymocowana i mo˙ze ´slizga´c si ˛e bez tarcia po dielektryku. W stanie równowagi ta okładka była przesuni ˛eta wzgl ˛edem dolnej okładki i dielektryka o x, przy czym x ≫ d

— patrz rysunek.

2

Rys. 2. Kondensator na równi pochyłej

Wiedz ˛ ac, ˙ze masa górnej okładki wynosi m, wyznacz ładunek, którym był naładowany konden- sator.

Pomi´n mo˙zliwo´s´c przechylenia si ˛e górnej okładki dla x > a/2.

Dolna okładka i dielektryk s ˛ a nieruchome wzgl ˛edem równi.

Jako wskazówk ˛e mo˙zesz wykorzysta´c rozwi ˛azanie zadania 3. z finału LXV Olimpiady Fizycznej.

Zadanie T3

Cz ˛e´s´c klimatyzatorów ma mo˙zliwo´s´c pracy w trybie grzania, gdy otoczenie budynku jest zimniejsze od jego wn ˛etrza. W tym trybie klimatyzator działa jako pompa ciepła: pobiera ciepło z otoczenia, chłodz ˛ ac powietrze na zewn ˛ atrz, i oddaje ciepło do ogrzewanego pomieszczenia, pobieraj ˛ ac przy tym energi ˛e elektryczn ˛ a (jego elementy wykonuj ˛ a w tym procesie prac ˛e). Rozwa˙zmy pracuj ˛acy w tym trybie klimatyzator, którego moc grzania wynosi P G . W skali Celsjusza temperatura zewn ˛etrznych elementów klimatyzatora (chłodnicy) wynosi t z , a temperatura elementów wewn ˛etrznych (grzałki) to t w .

a) Wyznacz minimaln ˛ a moc elektryczn ˛ a P C potrzebn ˛ a do ogrzewania tego pomieszczenia przy zało˙zeniu najwi ˛ekszej teoretycznie mo˙zliwej efektywno´sci.

b) Rzeczywista zu˙zywana przez klimatyzator moc elektryczna P R jest wi ˛eksza ni˙z P C . Przyjmi- jmy, ˙ze nadmiar mocy P R − P C jest w cało´sci zamieniany na ciepło i ogrzewa pomieszczenie (czyli jest cz ˛e´sci ˛ a P G ). Wyznacz, jaka jest szybko´s´c przepływu powietrza J przez zewn ˛etrzny element klimatyza- tora, przy zało˙zeniu, ˙ze to przepływaj ˛ace powietrze jest chłodzone od temperatury (w skali Celsjusza) otoczenia t ot do temperatury zewn ˛etrznych elementów klimatyzatora t z . Ci´snienie zewn ˛etrzne wynosi p _ot . Przyjmij, ˙ze powietrze jest gazem doskonałym o molowym cieple wła´sciwym przy stałej obj ˛eto´sci równym ⁵ ₂ R, gdzie R jest uniwersaln ˛ a stał ˛ a gazow ˛ a. Przez szybko´s´c przepływu powietrza rozumiemy obj ˛eto´s´c powietrza wypływaj ˛ acego w jednostce czasu z zewn ˛etrznego elementu klimatyzatora.

Wyznacz warto´sci liczbowe P C oraz J dla P _G = 3 kW, P _R = 1,5 kW, t _w = 35 ^o C, t _z = −20 ^o C,

t ot = −10 ^o C, p ot = 10 ⁵ Pa. Uniwersalna stała gazowa R = 8,3 J/(mol·K).

Zadanie T4 — numeryczne

Jednym z klasycznych zagadnie´n mechaniki jest problem znalezienia krzywej najkrótszego spadku

— brachistochrony. W tym zadaniu b ˛edziemy badali podobne zagadnienie dla ograniczonej klasy krzywych, ale z uwzgl ˛ednieniem oporu powietrza.

Rozwa˙zmy ciało materialne mog ˛ace porusza´c si ˛e bez tarcia po paraboli y = ax ² +bx+c od punktu x = 0, y = 0 do punktu x = x ¹ , y = y ¹ (mo˙ze to by´c np. koralik nanizany na drut). Ciało znajduje si ˛e w jednorodnym polu grawitacyjnym o nat ˛e˙zeniu g skierowanym przeciwnie do zwrotu osi y. Prócz grawitacji oraz siły reakcji wi ˛ezów, gwarantuj ˛ acej, ˙ze ciało pozostaje na rozwa˙zanej paraboli, działa na nie siła oporu, skierowana przeciwnie do pr ˛edko´sci. Warto´s´c tej siły wynosi

F op = βv ² ,

gdzie β jest stał ˛ a, a v — pr ˛edko´sci ˛ a ciała. Pocz ˛ atkowa pr ˛edko´s´c ciała (w punkcie (0, 0) ) jest równa 0.

Przyjmuj ˛ ac g = 10 m/s ² , x ¹ = 100 m, y ¹ = −1 m i oznaczaj ˛ ac przez m mas ˛e rozwa˙zanego ciał ˛a, wyznacz warto´s´c parametru parametru a, dla której czas przemieszczania si ˛e rozwa˙zanego ciała od (0, 0) do (x 1 , y 1 ) jest najkrótszy, dla β/m = 0, β/m = 0,0001 _m ¹ , β/m = 0,001 _m ¹ oraz β/m = 0,01 _m ¹ . Dla porównania wyznacz równie˙z czas przemieszczania si ˛e tego ciała od (0, 0) do (x ¹ , y ¹ ) po prostej (tzn. w przypadku a = 0).

Niepewno´s´c otrzymanych czasów nie powinna by´c wi ˛eksza ni˙z 0,2 s.

Wskazówki

Długo´s´c fragmentu rozwa˙zanej paraboli od x do x + ∆x, gdzie ∆x jest małe, jest w przybli˙zeniu równa ∆s =

1 + (y

) ² ∆x, gdzie y ^′ jest pochodn ˛ a y wzgl ˛edem x.

Warto´sci parametrów b, c s ˛ a okre´slone przez a, x ¹ , y ¹ . Uwaga:

Rozwi ˛ azanie powinno zawiera´c:

(i) wzory u˙zywane w rozwi ˛azaniu wraz z wyprowadzeniem lub uzasadnieniem;

(ii) opis zastosowanego algorytmu;

(iii) opis kodu programu (lub np. arkusza kalkulacyjnego) u˙zytego do rozwi ˛azania wraz z sposobem zagwarantowania (lub sprawdzenia) wła´sciwej dokładno´sci wyników;

(iv) tabel ˛e warto´sci liczbowych, o których mowa w tre´sci zadania (dla ka˙zdego β/m warto´s´c a, minimalnego czasu, oraz czasu dla ruchu po prostej);

(v) jako´sciowe omówienie otrzymanych wyników.

Nie jest dopuszczalne u˙zycie programów do oblicze´n symbolicznych lub gotowych programów wyznaczaj ˛ acych poszukiwany czas po podaniu toru.

Dodatkowe wskazówki dotycz ˛ ace rozwi ˛ azywania zada´n numerycznych znajdziesz w tre´sciach i rozwi ˛ azaniach zada´n numerycznych z poprzednich olimpiad.

4

!"!#$! "%&'$!"( !)#*

#+,-./ 012-34+5 1627892+:8+ ;7<=> ?8 @/,A6 ;7<=>B ;676,:8- 7/C1+:/=> 2+;+D ;6E78+;F

=2+,:/=> G + A+.;- 2 2+;+D ;6E78+;=2+,:/=> H6.:+ 6@12/H+5 H+A3/H+,:8- IJ 0K:A@<7G +;+:8- "LG

!"#$ %&'(!) *+,-).& )$/ 0!0(12,. *,.!0+3.14!5 ,-,67 2+ 0 %&2!,$&#! ,-,6 $(3-8-51 )$/ *,136 0$,+0!9 :+0+3-51 +(! *+0)2&($! )$;6 3.$&;&514!5 (& %&'(!) *,.!4$0($! 3+ 8$!,-(8- ,-4<-9 =&,2+"> )$;6 3&(&

5!)2 0.+,!%?

F = bv ^α ,

'3.$! v 2+ *,/38+"> %&'(!)- 0.'#/3!% ,-,67 .&" b +,&. α )1 *!0(6%$ )2&;6%$9

@&514 3+ 36)*+.645$?

,-,/ %$!3.$&(1 + 3;-'+"4$ 4+ (&5%($!5 A %7

%&'(!) (!+36%+06 + ",!3($46 %($!5).!5 +3 ",!3($46 0!0(/2,.(!5 ,-,67

3;-'$7 4$!(8$ 3,-2 %$!3.$&(6 0 $.+#&45$ B(*9 !%&#$+0&(6C . +3$.+#+0&(6%$ 8+D4E08&%$7 +)46#+)8+*7

*,.!0+36 $ .&4$)8$ -%+F#$0$&514! .!)2&0$!($! -8;&3- *+%$&,+0!'+7 8$#8& +G4$1F($8E0 068+(&(64< . ($!%&'(!264.(!'+ %&2!,$&;-7 0&'/ 8-4<!((17

*&*$!, %$#$%!2,+067

#$($58/7 2&"%/ 8#!51417 *#&)2!#$(/7 8&,2+(7

06.(&4. 0)*E;4.6(($8 α 3#& -F62!5 ,-,6 %$!3.$&(!59 M7+N8O

A9 !"#$ ($! %&). 3+)2/*- 3+ +)46#+)8+*-7 %+F!). -F6> 8+%*-2!,& . 8&,21 3H0$/8+017 '($&.3!%

%$8,+I+(+06% $ +3*+0$!3($% +*,+',&%+0&($!%7 259 ,!5!)2,&2+,!% $ ',&J4.(6% &(&#$.&2+,!%

3F0$/8-7 (*9 K-3&4$26

B<22*?LL0009&-3&4$262!&%9+,'LC9

M9 N+ 068+(&($& 3+"0$&34.!($& %+F!). -F6> 26*+0!5 %$!3.$&(!5 ,-,6 <63,&-#$4.(!5 + ",!3($46 (*9 MM %%7 3+)2/*(!5 0 )8#!*&4< G-3+0#&(64<9

O9 = ,+.0$1.&($- *+3&5 06%$&,6 B3;-'+">7 ",!3($4& .!0(/2,.(&7 ',-G+"> "4&(8$C -F62!5 ,-,69

+;+:8- "PG

P&#!F(+"> +*+,- 26*+0!'+ +*+,($8& +3 2!%*!,&2-,6 %+F(& . 3+G,6% *,.6G#$F!($!% +*$)&> 0.+,!%?

R = R (1 + α(T − T )) ,

!"#$%! %$&'$()*#+ $ ,$-./,0$1 ) $, +!'2 3 !"# +0/ +4 ! 56 0/ +!0)* 7089 :/#0*- &2; -2;*-< ) %#+4'*-6

'*#($(*'#6

=+ +*&04 '$#*;-> "$&)$%46

8#+*%$,! ) +/ )=-) 2($?&)%)/@4 * +*='/%)*0)* 2-./,2 8$()/#$%*:$6

%!+0/ + @/- 0/@,$-./,0)*@=+4 (*'$,4 %=8A. +!00)- '*(8*#/'2#$%! @*,0*:$ + 2?!'! 5 $8$#0)-A%9 !"#$%

B9 C/-$ %$&'$()*#+/ ($?*=+ 2?!D !"#$%*:$ ()*#0)-/ 20)%*#=/&0*:$9

E9 C*?*&) 0)* (/=+ ($?&)%$1 ) +,$;! )/ $8$#0)-A% $ 8$,/0! 5 %/#'$1 )/ 5 $8$#26 8#+*, 3B 8/F,+)*#0)-/

EGBH #9 8#+!1&)@ 0/ /,#*= IJKL +//,#*=$%/04 ,$ =)*;)* -$8*#'> +* +0/ +-)*( 8$ +'$%!(9

&"'"($) *+,

M/@4 ,$ ,!=8$+! @)N

8#+*+#$ +!='46 :./,-46 ;)2#$%4 '/1(> -&*@4 46 %=-/F0)- &/=*#$%!6

;)/.!6 =+'!%0! -/#'$06

8&/='*&)0>6 &)0)@->6 '/1(> ()*#0) +46 0$?! +-)6 +/ )*(0)$0* 8$()*=+ +*0)*6

%!+0/ + %=8A. +!00)- +/./(/0)/ 1%)/'./ ,&/ "$&))6 + -'A#*@ %!-$0/0/ @*=' 2?!'/ '/1(/ -&*@4 /9 O/

-/#'-> + #$+%)4+/0)*( 0/-&*@ -/%/.*- '*@ '/1(!9 !"#$%

B9 P%)/'.$ &/=*#$%* ($?* ;!D 0)*;*+8)* +0* ,&/ %+#$-29 O):,! 0)* -)*#2@ %)4+-) &/=*#/ % ='#$0>

&2,+) /0) +%)*#+4'9

E9 Q!8$%! %=-/F0)- &/=*#$%! *()'2@* 1%)/'.$ 0)*=8$&/#!+$%/0*9

H