Układy zło˙zone

(1)

Układy zło˙zone

Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna

Instytut Fizyki

2015

(2)

Opis układu zło˙zonego

• Przestrze´n Hilberta

HAB= HA⊗ HB

Na ogół HA= C^d^A oraz HB= C^d^B

• Operator ge˛sto´sci układu zło˙zonego

ρbAB∈ B(HA⊗ HB) , Tr(^ρb^AB^{) = 1 ,} b^ρ^AB⁰ Przykład

• Niech A i B — odległe układy

A −→ b^ρ^A B −→ b^ρ^B

• Stan układu zło˙zonego opisuje operator ge˛sto´sci bρAB=b^ρ^A^⊗b^ρ^B

Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna Układy zło˙zone

(3)

Opis układu zło˙zonego

HAB= HA⊗ HB

Na ogół HA= C^d^A oraz HB = C^d^B

A −→ b^ρ^A B −→ b^ρ^B

(4)

Opis układu zło˙zonego

HAB= HA⊗ HB

ρbAB∈ B(HA⊗ HB) , Tr(^ρb^AB^{) = 1 ,} b^ρ^AB⁰

Przykład

A −→ b^ρ^A B −→ b^ρ^B

(5)

Opis układu zło˙zonego

HAB= HA⊗ HB

A −→ b^ρ^A B −→ b^ρ^B

(6)

Opis układu zło˙zonego

HAB= HA⊗ HB

A −→ b^ρ^A B −→ b^ρ^B

• Stan układu zło˙zonego opisuje operator ge˛sto´sci ρbAB=b^ρ^A^⊗b^ρ^B

(7)

Układ zło˙zony dwóch qubitów: H

_AB

= C

²

⊗ C

²

• Stany układów^ρb^Aⁱ^ρb^B

bρA=

· ·

= (ρij), b^ρ^B⁼

· ·

= (ραβ)

• Stanproduktowyukładu zło˙zonegob^ρ^AB

ρbAB=^ρb^A^⊗^ρb^B⁼

ρ11ραβ ρ12ραβ

4×4

= (ρij,αβ)

Iloczyn Kroneckera!

• W bazach ortonormalnych | i i ∈ HAoraz | α i ∈ HB

bρA=X

ij

ρij| i ih j | , b^ρ^B⁼ X

αβ

ραβ| α ih β |

(8)

Układ zło˙zony dwóch qubitów: H

_AB

= C

²

⊗ C

²

• Stany układów^ρb^Aⁱb^ρ^B

bρA=

· ·

= (ρij), b^ρ^B⁼

· ·

= (ραβ)

4×4

= (ρij,αβ)

Iloczyn Kroneckera!

bρA=X

ij

αβ

(9)

Układ zło˙zony dwóch qubitów: H

_AB

= C

²

⊗ C

²

bρA=

· ·

= (ρij), b^ρ^B⁼

· ·

= (ραβ)

4×4

= (ρij,αβ)

Iloczyn Kroneckera!

bρA=X

ij

αβ

(10)

Układ zło˙zony dwóch qubitów: H

_AB

= C

²

⊗ C

²

bρA=

· ·

= (ρij), b^ρ^B⁼

· ·

= (ραβ)

4×4

= (ρij,αβ)

Iloczyn Kroneckera!

bρA=X

ij

αβ

(11)

Bazy macierzy

• | i ih j | ≡ | i i(| j i)^†— baza macierzy w B(HA),

• | α ih β | ≡ | α i(| β i)^†— baza macierzy w B(HB),

• Stan produktowy

ρbA⊗^ρb^B⁼ X

ij,αβ

ρijραβ| i ih j | ⊗ | α ih β |

• Stan produktowy jest przykłademstanu separowalnego

• Ogólniej, w wynikuLOCCw dwóch odległych układach A i B mo˙ze powsta´c stan układu zło˙zonego

ρbAB=X

n

pn^ρb

(n) A ⊗^ρb

(n) B

(12)

Bazy macierzy

• Stan produktowy

ρbA⊗^ρb^B⁼ X

ij,αβ

ρbAB=X

n

pn^ρb

(n) A ⊗^ρb

(n) B

(13)

Bazy macierzy

• Stan produktowy

ρbA⊗^ρb^B ⁼ X

ij,αβ

ρbAB=X

n

pn^ρb

(n) A ⊗^ρb

(n) B

(14)

Bazy macierzy

• Stan produktowy

ρbA⊗^ρb^B ⁼ X

ij,αβ

ρbAB=X

n

pn^ρb

(n) A ⊗^ρb

(n) B

(15)

Bazy macierzy

• Stan produktowy

ρbA⊗^ρb^B ⁼ X

ij,αβ

ρbAB=X

n

pn^ρb

(n) A ⊗^ρb

(n) B

(16)

Zredukowana dynamika układu zło˙zonego

• Układ otwarty = układ (S) + rezerwuar (R) H = HS⊗ HR

• Produktowy stan pocza˛tkowy b^ρ^S^⊗b^ρ^R

• Ewolucje˛ na H opisuje operator unitarnyUbt= e⁻ⁱ^Ht/~b

bρSR(t) =Ubt(^ρb^S^⊗^ρb^R⁾Ub_t^∗

• Stany układu S podlegaja˛zredukowanej dynamice

bρS(t) = TrR(b^ρ^SR^{(t)) = Tr}^R

Ubt(b^ρ^S^⊗b^ρ^R⁾Ubt^∗

gdzie

h φ1|TrRA| φb 2i =X

α

h φ1| ⊗ h α |A| α i ⊗ | φb 2i

dla dowolnych stanów układu | φ1i oraz | φ2i i bazy | α i w przestrzeni rezerwuaru HR

(17)

Zredukowana dynamika układu zło˙zonego

gdzie

α

h φ1| ⊗ h α |A| α i ⊗ | φb 2i

(18)

Zredukowana dynamika układu zło˙zonego

gdzie

α

h φ1| ⊗ h α |A| α i ⊗ | φb 2i

(19)

Zredukowana dynamika układu zło˙zonego

gdzie

α

h φ1| ⊗ h α |A| α i ⊗ | φb 2i

(20)

Zredukowana dynamika układu zło˙zonego

gdzie

α

h φ1| ⊗ h α |A| α i ⊗ | φb 2i

(21)

Stan separowalny

Stan dwucza˛stkowy b^ρ^AB nazywamy separowalnym, je´sli mo˙zna go zapisa´c jako wypukła˛ kombinacje˛ pewnych stanów produktowych, tzn.

ρbAB=X

j

pj^ρb

(j) A ⊗b^ρ

(j) B

W szczególno´sci wystarczy, aby stany^ρb^A^oraz^ρb^Bbyły projektorami.

• Stany separowalne nie wyczerpuja˛ wszystkich stanów układu zło˙zonego!W ogólno´sci

ρbAB=X

ij,αβ

ρij,αβ| i ih j | ⊗ | α ih β | →





ρ11,αβ ρ12,αβ · · · ρ21,αβ ρ22,αβ · · ·

· · · · · · · · ·





gdzie ρij,αβjest macierza˛ bloków.

(22)

Stan separowalny

bρAB=X

j

pj^ρb

(j) A ⊗b^ρ

(j) B

ρbAB=X

ij,αβ

ρij,αβ| i ih j | ⊗ | α ih β | →





ρ11,αβ ρ12,αβ · · · ρ21,αβ ρ22,αβ · · ·

· · · · · · · · ·





(23)

Stan separowalny

bρAB=X

j

pj^ρb

(j) A ⊗b^ρ

(j) B

bρAB=X

ij,αβ

ρij,αβ| i ih j | ⊗ | α ih β | →





ρ11,αβ ρ12,αβ · · · ρ21,αβ ρ22,αβ · · ·

· · · · · · · · ·





(24)

Stany spla˛tane

• Stany, które nie sa˛ separowalne nosza˛ nazwe˛spla˛tanych

• Stanów spla˛tanych układu zło˙zonego nie mo˙zna utworzy´c w odległych układach w wyniku LOCC

• Spla˛tanie stanów kwantowych jest niezbe˛dne przy zjawiskachteleportacji, kwantowego kodowania, wielu aspektach optyki kwantowej.

(25)

Stany spla˛tane

• Stany, które nie sa˛ separowalne nosza˛ nazwe˛spla˛tanych

• Stanów spla˛tanych układu zło˙zonego nie mo˙zna utworzy´c w odległych układach w wyniku LOCC

• Spla˛tanie stanów kwantowych jest niezbe˛dne przy zjawiskachteleportacji, kwantowego kodowania, wielu aspektach optyki kwantowej.

(26)

Separowalno´s´c i spla˛tanie stanów czystych

Definicja

Stan czysty układu zło˙zonego jest separowalny, je´sli jest stanem produktowym pew- nych stanów czystych układów A oraz B, tzn. | ψABi = | ψAi ⊗ | ψBi.

Rozkład Schmidta

Dla ka˙zdego stanu czystego | ψABi istnieja˛ ortonormalne wektory | i iA ∈ HAoraz

| i iB ∈ HB, w których

| ψABi =

M

X

i=1

ai| i iA⊗ | i iB.

Współczynniki Schmidta ai sa˛ dodatnie oraz PM

i=1a²_i = 1, a M ¬ min{dimHA, dimHB} jest długo´scia˛ Schmidta.

Kryterium separowalno´sci

Stan czysty układu zło˙zonego jest separowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego długo´s´c Schmidta wynosi 1. W przeciwnym wypadku stan czysty jest spla˛tany.

(27)

Separowalno´s´c i spla˛tanie stanów czystych

Definicja

Rozkład Schmidta

| ψABi =

M

X

i=1

ai| i iA⊗ | i iB.

(28)

Separowalno´s´c i spla˛tanie stanów czystych

Definicja

Rozkład Schmidta

| ψABi =

M

X

i=1

ai| i iA⊗ | i iB.

(29)

Separowalno´s´c i spla˛tanie stanów czystych

Definicja

Rozkład Schmidta

| ψABi =

M

X

i=1

ai| i iA⊗ | i iB.

Stan czysty układu zło˙zonego jest separowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego długo´s´c

(30)

Cze˛´sciowa transpozycja

• Jak stwierdzi´c, czy stan mieszany jest separowalny (spla˛tany)?

W ogólno´sci nie wiadomo!

• Cze˛´sciowa transpozycja

ρb^T_AB^B =X

ij,αβ

ρij,αβ| i ih j | ⊗ | β ih α | = X

ij,αβ

ρij,βα| i ih j | ⊗ | α ih β |

Definicja. Stany PPT

Stan ^ρb^AB jest PPT, je´sli operator b^ρ

T_B

AB (lub równowa˙znie b^ρ

T_A

AB) jest nieujemnie okre´slony.

Twierdzenie (Peres, Horodeccy)

Je´sli stan mieszanyb^ρ^ABjest separowalny, to jest PPT.

(31)

Cze˛´sciowa transpozycja

ρb^T_AB^B =X

ij,αβ

T_B

T_A

(32)

Cze˛´sciowa transpozycja

ρb^T_AB^B =X

ij,αβ

T_B

T_A

(33)

Cze˛´sciowa transpozycja

ρb^T_AB^B =X

ij,αβ

T_B

T_A

(34)

Stany PPT

• Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe tylko dla układów C²⊗ C²oraz C²⊗ C³.

• Warunek PPT jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczaja˛cym separowalno´sci. W´sród stanów PPT sa˛ wszystkie separowalne, ale sa˛ tak˙ze spla˛tane.

• Je´sli stan nie jest PPT, to jest na pewno spla˛tany! A ten warunek łatwo sprawdzi´c!

(35)

Stany PPT

• Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe tylko dla układów C²⊗ C²oraz C²⊗ C³.

• Warunek PPT jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczaja˛cym separowalno´sci. W´sród stanów PPT sa˛ wszystkie separowalne, ale sa˛ tak˙ze spla˛tane.

• Je´sli stan nie jest PPT, to jest na pewno spla˛tany! A ten warunek łatwo sprawdzi´c!

(36)

Dlaczego cze˛´sciowa transpozycja?

• Z wykorzystaniem iloczynu tensorowego

bρ^T^B= (1l ⊗T )(b ^{ρ) →}b





T (ρb 11) T (ρb 12) · · · T (ρb 21) T (ρb 22) · · ·

· · · · · · · · ·





• TranspozycjaT jest operatorem dodatnim, ale nie jest kompletnie dodatnim.b

Operator kompletnie dodatni (CP)

Dodatni operatorA jest operatorem kompletnie dodatnim, je´sli 1lb n⊗A jest dodatnib dla ka˙zdego naturalnego n.

• Kryterium PPT oznacza, ˙ze (1l ⊗T )(b ^ρb^sep) 0, ale istnieja˛ stany (spla˛tane) niespełniaja˛ce tej nierówno´sci.

(37)

Dlaczego cze˛´sciowa transpozycja?

bρ^T^B = (1l ⊗T )(b ^{ρ) →}b





T (ρb 11) T (ρb 12) · · · T (ρb 21) T (ρb 22) · · ·

· · · · · · · · ·





(38)

Dlaczego cze˛´sciowa transpozycja?

bρ^T^B = (1l ⊗T )(b ^{ρ) →}b





T (ρb 11) T (ρb 12) · · · T (ρb 21) T (ρb 22) · · ·

· · · · · · · · ·





(39)

Dlaczego cze˛´sciowa transpozycja?

bρ^T^B = (1l ⊗T )(b ^{ρ) →}b





T (ρb 11) T (ρb 12) · · · T (ρb 21) T (ρb 22) · · ·

· · · · · · · · ·





(40)

Dlaczego cze˛´sciowa transpozycja?

bρ^T^B = (1l ⊗T )(b ^{ρ) →}b





T (ρb 11) T (ρb 12) · · · T (ρb 21) T (ρb 22) · · ·

· · · · · · · · ·





(41)

Kryteria separowalno´sci a operatory dodatnie

• Tak˙ze inne operatory dodatnie ale nie CP daja˛ kryteria separowalno´sci! Ale takich operatorów znamy bardzo niewiele!

Stanb^ρ^ABjest separowalny wtedy i tylko wtedy, gdy (1l ⊗A)(b b^ρ^AB^{) 0} dla wszystkich operatorówA dodatnich ale nie CP.b

(42)

Kryteria separowalno´sci a operatory dodatnie

(43)

Kryteria separowalno´sci a operatory dodatnie

(44)

Swiadkowie spla˛tania ´

• Zbiór S stanów separowalnych jest wypukły i zwarty

• W przestrzeni operatorów B(H) mo˙zna wprowadzi´c iloczyn skalarny hA |b B i = Tr(b Ab^∗B)b

Tw. Hahna-Banacha

Niech S be˛dzie wypukłym i zwartym podzbiorem R^poraz niech ρ 6∈ S, wówczas istnieje hiperpłaszczyzna, która oddziela ρ od zbioru S. Hiperpłaszczyzna wyznaczona jest przez wektor jednostkowy W prostopadły do niej.

Swiadek spla˛tania stanu´ ^ρb

Samosprze˛˙zony operatorcW jest ´swiadkiem spla˛tania dla stanub^{ρ, je´sli} Tr(cWρ) < 0 podczas gdy ∀b ^ρb^sep ^Tr(cWb^ρ^sep^{) 0}

(45)

Swiadkowie spla˛tania ´

Tw. Hahna-Banacha

(46)

Swiadkowie spla˛tania ´

Tw. Hahna-Banacha

(47)

Swiadkowie spla˛tania ´

Tw. Hahna-Banacha

(48)

Swiadkowie spla˛tania ´

Tw. Hahna-Banacha

(49)

Przykład

• Tr(cWb^{ρ) = h}cW |ρ i okre´sla składowa˛b bρ na kierunekcW i jednocze´snie jest miara˛ odległo´sci stanu od hiperpłaszczyzny wyznaczonej przezcW

• Przykład ´swiadka spla˛tania w przypadku C^d⊗ C^d

W =

d

X

i,j=1

| i ih j | ⊗ | j ih i |

Stan jest separowalny, je´sli nie ma ´swiadka spla˛tania. Stan jest spla˛tany, je´sli ma

´swiadków spla˛tania.

(50)

Przykład

W =

d

X

i,j=1

| i ih j | ⊗ | j ih i |

(51)

Przykład

W =

d

X

i,j=1

| i ih j | ⊗ | j ih i |

(52)

Przykład

W =

d

X

i,j=1

| i ih j | ⊗ | j ih i |