2001, R. X, Nr 3 (39), ISSN 1230-1493
Anna Wojtowicz
Spór o zdania atomowe*
W literaturze filozoficznej — szczególnie tej związanej z nurtem filozofii analitycznej — często pojawia się problem wyróżnienia wśród zdań rozważa
nego języka zdań z pewnych powodów podstawowych. Nazywano je zdaniami prostymi, elementarnymi (Wittgenstein), bazowymi, protokolarnymi czy atomo
wymi (Russell). Różne były kryteria wyróżniania takich zbiorów zdań i w związ
ku z tym — różne były to zbiory. Celem artykułu jest ustalenie, czy — niezależ
nie od przyjmowanego kryterium — zbiory te mają pewne własności wspólne (część 1) i w jakim stopniu własności te są jednocześnie spełnialne (część II).
Aby ujednolicić terminologię, wyróżniony zbiór zdań będziemy nazywać zbio
rem zdań atomowych (co oczywiście nie oznacza, że przyjmujemy w ten sposób Russellowskie czy jakieś inne konkretne kryterium wyróżnienia tej klasy zdań).
I
Kryterium wyróżniania klasy zdań atomowych najczęściej ma charakter epis- temologiczny lub logiczny. Zgodnie z kryterium epistemologicznym, zdaniami atomowymi są takie zdania, które mogą być uzasadnione lub obalone w sposób pewny, bezpośredni i — co więcej — służą jako podstawa uzasadniania lub obalania wszystkich innych zdań. Np. według neopozytywistów takimi zdania
mi są zdania będące sprawozdaniami z bezpośrednich danych zmysłowych, czy
li zdania o strukturze P(a), gdzie a jest nazwą indywidualną, a P oznacza włas
ność poznawalną zmysłowo. Zgodnie z kryterium logicznym, zdaniami atomo
wymi są takie zdania, których struktura nie jest już logicznie analizowalna (a więc nie zawierają one spójników logicznych ani zmiennych związanych kwantyfika- torem) lub takie, których wartościowanie przesądza o wartościowaniu wszyst
kich innych zdań danego języka* 1.
Praca przygotowana w ramach projektu badawczego KBN nr 1H01A01116.
1 Te dwa warianty kryterium logicznego są tożsame w językach zawierających wyłącz
nie spójniki prawdziwościowe. W języku logiki modalnej zdaniami nieanalizowalnymi lo
gicznie są zdania typu p, q itd. natomiast wartościowanie na tych zdaniach nie wyznacza jed
noznacznie wartościowania na pozostałych formułach tego języka — w szczególności nie wyznacza np. wartościowania na formułach op, oq.
Bez względu na to, jakie przyjmujemy kryterium2 wydaje się, że zdaniom atomowym przypisuje się dwie podstawowe własności3:
' Oprócz wymienionych w tekście kryteriów, można również przyjąć kryterium ontolo- giczne lub semantyczne bycia zdaniem atomowym. Zgodnie z kryterium ontologicznym, zdaniami atomowymi są te zdania, których korelatami ontologicznymi są sytuacje elementar
ne. Pojęciami pierwotnymi przy tak sformułowanym kryterium są pojęcia sytuacji elemen
tarnej i funkcji prowadzącej ze zbioru zdań w zbiór ich korelatów ontologicznych. Zgodnie z kryterium semantycznym, zdaniami atomowymi są te zdania, których korelacja z opisywa
ną rzeczywistością jest szczególnie prosta. Takie kryterium bycia zdaniem elementarnym przyjmował Wittgenstein w Traktacie (por. [wolniewicz 1968] s. 106).
3 Oprócz własności wymienionych niżej, czasami mówi się, że zdania atomowe są syn- taktycznie proste. Własność ta nie jest jednak powszechnie uznawana i — co więcej, jak po- każąpóźniejsze rozważania — zdarza się, że zdania atomowe jej nie posiadają.
To, że zdaniom atomowym przypisuje się właśnie takie własności, znajduje swój do
bitny wyraz w następujących tezach Traktatu Wittgensteina (autor używa pojęcia „zdanie elementarne”, a nie „zdanie atomowe”):
4.211. Jest oznaką zdania elementarnego, że żadne zdanie elementarne nie może być z nim sprzeczne.
4.26. Podanie wszystkich prawdziwych zdań elementarnych opisuje świat całkowicie.
Świat jest całkowicie opisany przez podanie wszystkich zdań elementarnych wraz ze wska
zaniem, które z nich są prawdziwe, a które fałszywe.
4.51. Przypuśćmy, że dane są wszystkie zdania elementarne. Można wtedy po prostu za
pytać: jakie zdania da się z nich utworzyć? I to są wszystkie zdania i tak są ograniczone.
4.52. Zdania są wszystkim, co wynika z ogółu zdań elementarnych.
5.134. Ze zdania elementarnego nie da się wywnioskować żadnego innego zdania [ele
mentarnego],
5 Argumentem natury historycznej na to, że zdania atomowe w sensie kryterium episte- mologicznego powinny być niezależne, jest fakt, że neopozytywiści bardzo chętnie zgadzali się ze wszystkimi tezami Traktatu Wittgensteina dotyczącymi zdań elementarnych, utożsa
miając te zdania właśnie ze zdaniami bazowymi.
1) niezależność;
2) wyznaczanie wartości logicznych innych zdań z danego języka4.
Naszym zadaniem będzie uściślenie tych własności i pokazanie, z jakimi in
nymi założeniami dotyczącymi języka, logiki i semantyki dla tego języka, włas
ności te są związane.
1.1. Niezależność zdań atomowych
Zdania atomowe powinny być niezależne, tzn. nie powinny między nimi za
chodzić żadne związki logiczne. Tak jest ze względu na kryterium epistemolo- giczne5, ponieważ zdania atomowe są uzasadnialne lub obalalne bezpośrednio, a nie przez związki logiczne z innymi zdaniami, które zależą w sposób istotny od przyjętej logiki i są — przynajmniej do pewnego stopnia — sprawą konwen
cji. Ze względu ma kryterium logiczne, niezależność zdań atomowych wynika z ich logicznej prostoty — są to z definicji te zdania, na których dopuszczalne są wszystkie możliwe wartościowania. Niezależność zdań atomowych może być
rozumiana syntaktycznie (definicja l.a) bądź semantycznie (definicja l.b). Jeże
li logika, jaka obowiązuje w danym języku, ma własność pełności, to rozumie
nia te są równoważne. W dalszym ciągu będziemy zakładać, że logika jest pełna i posługiwać się tylko semantycznym rozumieniem niezależności. Zauważmy, że przy obu interpretacjach niezależność nie jest cechą pojedynczego zdania, ale całego zbioru zdań, stąd będziemy definiować nie tyle, co to znaczy, że pewne dwa zdania są niezależne, ale co to znaczy, że pewien zbiór zdań jest zbiorem zdań niezależnych.
DEFINICJA l.a)
Zbiór zdań A jest zbiorem zdań niezależnych wtw Va e A a jest nie- sprzeczne z(A - a} i ~a jest niesprzeczne z {A- a}.
Formalnym odpowiednikiem pojęcia niesprzeczności jest pojęcie Cn-nie- sprzeczności, czyli niesprzeczności ze względu na daną logikę. Aby więc poję
cie niezależności nabrało ścisłego charakteru, musimy posłużyć się pojęciem ję
zyka sformalizowanego J (i zdefiniowanego w tym języku zbioru formuł FOR) oraz pojęciem logiki, reprezentowanej przez operację konsekwencji Cn określo
nej na zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru FOR. Wtedy definicja (l.a) ma postać:
DEFINICJA 1
Zbiór zdań A jest zbiorem zdań niezależnych wtw Va 6 A Cn({a} u{A - a})
* FOR i Cn((~a) u {X - a}) * FOR.
Semantyczne rozumienie niezależności znajduje dobrą egzemplifikację w te
zie 1.21 Traktatu Wittgensteina:
1.21. Jedno może być faktem lub nie być, a wszystko inne pozostawać takie samo.
Takie rozumienie niezależności pozwala na sformułowanie następującej de
finicji: ć'
DEFINICJA l.b)
Zbiór zdań A jest zbiorem zdań niezależnych wtw Va 6 A istnieje świat, w którym prawdziwe jest {ot} u{A - a} i istnieje świat, w którym prawdziwe jest {-a) u {A - a}.
Formalnym odpowiednikiem pojęcia świata jest pojęcie modelu lub pojęcie teorii zupełnej (czyli jednoznacznego opisu świata — zbioru wszystkich zdań prawdziwych w danym modelu). Uściślenie tej definicji otrzymujemy definiu
jąc klasę modeli M dla danego języka sformalizowanego J lub klasę teorii zu
pełnych T. Te dwie klasy są — przy pewnym uproszczeniu — wzajemnie defi
niowalne. Dwa modele opisywane przez tę samą teorię zupełną są elementarnie nieodróżnialne (na gruncie danego języka J), co intuicyjnie możemy rozumieć w ten sposób, że z punktu widzenia języka J są one nierozróżnialne — są w nich prawdziwe dokładnie te same zdania języka J. Nie oznacza to wcale, że są one
identyczne czy nawet izomorficzne. Dla potrzeb tego artykułu będziemy jednak utożsamiać ze sobą modele elementarnie nieodróżnialne — podzielimy więc klasę wszystkich modeli danego języka przez relację s elementarnej nieodróżnialnoś- ci. Klasa wszystkich modeli ze zbioru M/s jest w sposób jednoznaczny wyzna
czona przez klasę wszystkich teorii zupełnych dla danej pary <J, Cn>. W dal
szym ciągu będziemy więc mówić nie o klasie modeli M/s, a o zbiorze teorii zupełnych T, czyli o zbiorze wszystkich opisów w języku J modeli z tej klasy.
Przy tych ustaleniach definicja (l.b) ma postać:
DEFINICJA 2
Zbiór zdań A jest zbiorem zdań niezależnych wtw Va e A 37} e T 3T2 e T ({a} u[A - a}) a T, i ({—cc} u (A - a}) ę T2.
Definicja ta pokazuje, że pojęcie niezależności — a więc i pojęcie zdania atomowego — jest zrelatywizowane do klasy teorii T dla danej pary <J, Cn>.
Klasa T może być klasą wszystkich teorii zupełnych w logice Cn określonej w tym języku lub pewnym podzbiorem tej klasy, wyróżnionym ze względu na jakieś dodatkowe kryteria6.
6 Ponieważ nie chcemy z góry rozstrzygać, czy T jest klasą wszystkich, czy tylko nie
których teorii zupełnych, więc definiujemy pojęcie konsekwencji Cn i zbiór T niezależnie od siebie. Innym rozwiązaniem — zastosowanym np. w [SUSZKO 1967] jest przyjęcie, jako pojęcia podstawowego, pewnego zbioru formuł Aks — nazywanego zbiorem aksjomatów — w da
nym języku J. Za pomocą tego zbioru wyznaczona zostaje klasa modeli M (będących mode
lami dla języka J takimi, że e M Aks ę Ver[M), gdzie Ver(M) jest zbiorem wszystkich zdań prawdziwych w modelu M), a następnie zdefiniowana jest operacja konsekwencji jako operacja wyznaczona przez tę klasę: a e Cn(X) wtw e M jeśli X ę Ver(M), to a 6 Ver{M).
Np. badając niezależność hipotezy continuum od reszty aksjomatów teorii mnogości konstruuje się model dla teorii mnogości, w którym spełniona jest hipoteza continuum i taki model dla teorii mnogości, w którym spełniona jest negacja hipotezy continuum.
Wolniewicz [WOLNIEWICZ 1968] nazywa zdefiniowane wyżej pojęcie nie
zależności „niezależnością słabą” i stwierdza, że tak rozumie się niezależność w badaniach nad systemami dedukcyjnymi7. Pojęcie to można wzmocnić i mó
wić o „niezależności mocnej” zdefiniowanej w następujący sposób:
DEFINICJA 3
Zbiór zdań A jest mocno niezależny wtw VX ę A 3T e T ({~a: cte Aj u {a: a e A - X}) c T.
W szczególności, zgodnie z tą definicją, jeśli zbiór zdań atomowych jest mocno niezależny, to jest niesprzeczny (przypadek, gdy X = 0) i — w przy
padku, gdy X = A — istnieje świat, w którym fałszywe są wszystkie zdania atomowe.
Oczywiście, jeśli zbiór jest mocno niezależny, to jest też słabo niezależny, ale nie odwrotnie8.
Pytanie o niezależność mocną hipotezy continuum od reszty aksjomatów teorii mno
gości (por. przypis 7) można by sformułować w ten sposób: czy istnieje model, w którym spełniona jest hipoteza continuum i dowolny zbiór zdań będących negacjami aksjomatów teorii mnogości i czy istnieje model, w którym spełniona jest negacja hipotezy continuum i do
wolny zbiór zdań będących negacjami aksjomatów teorii mnogości. O ile nam wiadomo, problem taki nie byl rozważany.
Powyższą definicję mocnej niezależności można sformułować w nieco od
miennej postaci posługując się pojęciami modalnymi (por. np. [SUSZKO 1968]
s. 212). Jeśli dodatkowo przyjmiemy naturalny związek między pojęciem moż
liwości a klasą teorii zupełnych T:
Oa =dei 37'e T a g T, to definicja ta ma postać:
DEFINICJA 4
Zbiór A jest niezależny wtw VX = [ab ...oą,} ę A 37) G T (aj a ... a an)e Ti i 37) € T (ctj a ...a ~otn) G T2 i 37) c T (ccj a ...a —cxn.| a ~ocn) £ 7) i ...i 37)" 6 T (-aj a ...a ~an) g T2n, dla dowolnego n G N .
UWAGA
Z powyższych rozważań widać, że atomowość zdań nie ma związku z ich wartością logiczną — w szczególności żadne zdanie atomowe nie może być zawsze prawdziwe. Wynika to wprost z warunku niezależności: gdyby pewne zdanie atomowe a było zawsze prawdziwe, to wynikałoby z każdego innego zdania atomowego, co jest sprzeczne z warunkiem niezależności.
Z tak zdefiniowanym problemem niezależności mocnej wiąże się problem o charakterze metafizycznym. Można, mianowicie, postawić pytanie, czy istnieje taki świat, w którym wszystkie zdania atomowe śą fałszywe? Oznaczałoby to, że w tym świecie nie zachodzi żaden pozytywny fakt. Intuicja podpowiada nam, aby laką ewentualność odrzucić. Tak robi np. Suszko [SUSZKO 1968]. Rozwią
zanie to ma jednak tę wadę, że jeśli założymy, że w każdym świecie jest praw
dziwe przynajmniej jedno zdanie atomowe, to zbiór zdań atomowych A prze- staje być zbiorem zdań niezależnych w sensie definicji 3. Zauważmy bowiem, że jeśli X = A - [a] i dla pewnej teorii 76 T (~(3: P G X] ę T, to a G T, a więc istnieją związki logiczne między elementami zbioru A.
W cytowanym artykule Suszko z jednej strony formułuje pojęcie niezależ
ności mocnej dla dowolnego skończonego zbioru zdań (definicja 4), a z drugiej strony zakłada, że nie istnieje świat całkowicie negatywny (tzn. świat, w którym fałszywe są wszystkie zdania atomowe), a więc np. jeśli zbiór zdań atomowych składałby się z pięciu elementów: {/?/,..,,p5}, to nie istnieje świat, w którym prawdziwe jest zdanie ~p; a...a~/?5. Widać więc, że definicja niezależności mocnej, założenie o skończoności zbioru zdań atomowych i założenie o nie ist
nieniu świata całkowicie negatywnego (w wyżej zdefiniowanym sensie) nie da
ją się pogodzić. Suszko wysnuwa stąd wniosek, że zbiór zdań atomowych nie może być skończony. Alternatywnym rozwiązaniem jest przyjęcie, że istnieje świat całkowicie negatywny.
Podsumowując dotychczasowe rozważania możemy stwierdzić, że aby pre
cyzyjnie sformułować pojęcie niezależności, musimy posłużyć się pojęciami (A) języka sformalizowanego J, (B) logiki określonej w tym języku, reprezento
wanej przez operację Cn. (C ) klasy teorii zupełnych T zawartej w zbiorze Tzpł wszystkich teorii zupełnych dla pary <J,Cn>. Istotne jest również rozstrzygnię
cie kwestii metafizycznych: czy istnieje świat, w którym fałszywe są wszystkie zdania atomowe i czy istnieje skończenie, czy nieskończenie wiele zdań atomo
wych. W zależności od tych rozstrzygnięć należy przyjąć definicję mocną lub słabą niezależności lub — przy przyjęciu definicji niezależności mocnej w po
staci definicji 4 — dołączyć warunek o istnieniu nieskończenie wielu zdań ato
mowych.
Ważnym problemem związanym z niezależnością, którego nie rozstrzygają powyższe definicje, jest problem, czy zawsze (tzn. dla każdego zbioru teorii zu
pełnych T) istnieje zbiór zdań niezależnych i czy jest on wyznaczony jedno
znacznie. Zauważmy, że jeżeli na to ostanie pytanie odpowiemy przecząco, to pojęcie świata negatywnego ulega relatywizacji. Nie można wtedy po prostu mówić o świecie negatywnym, ale jedynie o świecie negatywnym ze względu na dany zbiór zdań atomowych: świat opisywany przez teorię T jest całkowicie negatywny ze względu na dany zbiór zdań atomowych A ztw A n T= 0.
1.2. Wyznaczanie przez zdania atomowe wartości logicznych pozostałych zdań
Zbiór zdań atomowych ma wyznaczać wartość logiczną pozostałych zdań.
Tak jest, ponieważ zdania atomowe mają służyć jako podstawa wszelkiej wie
dzy o świecie (zgodnie z kryterium epistemologicznym) lub ponieważ mają peł
nić rolę generatorów algebry formuł (zgodnie z kryterium logicznym). Zauważ
my, że podobnie jak w warunku (1) wyznaczanie wartości logicznej pozosta
łych zdań (oczywiście chodzi o zdania nieatomowe) ma być własnością nie tyle pojedynczego zdania atomowego, co całego zbioru zdań atomowych.
To, że wartościowanie określone na danym zbiorze formuł wyznacza jedno
znacznie wartościowanie na wszystkich pozostałych formułach danego języka, możemy rozumieć dwojako: mocniej i słabiej:
DEFINICJA5
Zbiór zdań A wyznacza jednoznacznie wartość logiczną pozostałych zdań ze zbioru FOR wtw VT], T2 e T jeśli Ti n A = T2 n A, to 7) = Tj9.
9 Taka definicja jest równoważna definicji „standardowej”: Zbiór zdań A wyznacza jednoznacznie wartość logiczną pozostałych zdań ze zbioru FOR wtw Vf;,/2 G Int Vae A
Jest to formalizacja intuicji, że aby otrzymać jednoznaczny opis świata, wy
starczy wiedzieć, jakie zdania atomowe są prawdziwe w tym świecie — jeżeli w dwóch światach prawdziwe są dokładnie te same zdania atomowe, to jest to faktycznie jeden świat. W szczególności wynika stąd, że świat całkowicie nega
tywny ze względu na dany zbiór A (tzn. taki, w którym wszystkie zdania atomo
we ze zbioru A są fałszywe) — o ile istnieje —jest dokładnie jeden.
DEFINICJA 6
Zbiór zdań A wyznacza jednoznacznie wartość logiczną pozostałych zdań ze zbioru /•’(?/? wtw \/Ti,T2e T jeśli A cT/ i A QT2, to Ti = T2.
Zgodnie z tą definicją, świat, w którym prawdziwy jest dany zbiór zdań ato
mowych jest wyznaczony jednoznacznie. Nie wynika z niej, że jeśli istnieje świat, w którym wszystkie zdania atomowe (z danego zbioru A) są fałszywe, to jest on dokładnie jeden (por. niżej, przykład 3).
Definicja 5 jest silniejsza niż definicja 6, co pokazuje np. przykład 2 (por.
niżej).
II
Załóżmy, że mamy ustalony język i logikę w tym języku, a więc, że dana jest para<J,Cn>. Niech A będzie zbiorem zdań atomowych mających własność (1) i (2) w sensie pewnej kombinacji definicji 2-6. W dalszym ciągu artykułu będziemy się starali odpowiedzieć na pytanie, jak— w zależności od rodziny T
— można zdefiniować zbiór A?
II.l. Przypadek najprostszy: T = Tzpł.
Załóżmy, że zbiór T jest zbiorem wszystkich teorii zupełnych: T - Tzpł.
Jest on więc jednoznacznie wyznaczony przez parę <7, Cn>. Przyjmijmy dodat
kowo, że język J jest językiem zdaniowym i wszystkie funktory występujące w tym języku są funktorami prawdziwościowymi. Aby scharakteryzować zbiór A zdań atomowych wystarczy wtedy założyć, że A = At, gdzie At jest zbiorem zmiennych zdaniowych. Taki zbiór spełnia nałożone na niego warunki:
Zbiór At spełnia warunek (1) w sensie definicji 2, 3 i 4, tzn. jest mocno nie
zależny, ponieważ każde wartościowanie na zbiorze A = At rozszerza się do pew
nego wartościowania na zbiorze wszystkich formuł języka J, a każde takie war
tościowanie wyznacza z kolei teorię zupełną.
Zbiór At spełnia warunek (2) w sensie definicji 5 i 6, ponieważ każde wartościowanie na zbiorze A = At rozszerza się jednoznacznie do wartoś
ciowania na zbiorze wszystkich formuł języka J, tzn. każde wartościowanie wy
znacza dokładnie jedną teorię zupełną.
jeśliy/(cx) =f2(a), to V|3 e FOR fAft) = /2(D), gdzie Int jest zbiorem wszystkich funkcji/:
FOR —> {0,1}, będących interpretacjami danego języka J, o ile przyjmiemy, że T jest zbio
rem wszystkich teorii zupełnych dla danej pary <J, Cn>.
Rozwiązanie to ma ograniczony zasięg, bo dotyczy tylko języków zdanio
wych ze spójnikami prawdziwościowymi. W zdaniowej logice modalnej zbiór A = At nie ma własności wyznaczania wartości wszystkich pozostałych zdań z te
go języka ani w sensie definicji 5, ani w sensie definicji 6 (por. przykład z przy
pisu 1). Można również bronić tezy, że w klasycznej logice pierwszego rzędu zbiór A = At nie ma własności opisywanych przez definicję 5 lub 6, ponieważ wartościowanie na zdaniach typu P(a,) nie zawsze rozstrzyga w sposób jedno
znaczny wartość logiczną zdania V.r P(x). Ma ono również tę zasadniczą wadę, że me bierze pod uwagę specyfiki języka naturalnego, polegającej na tym, że często zdania wzajemnie sprzeczne czy wykluczające się (a więc nie będące zda
niami niezależnymi) mogą mieć równie prostą budowę syntaktyczną. Pokazuje to następujący przykład:
PRZYKŁAD 1
Rozważmy trzy zdania: „a < 5”, „a > 5” „a = 5” . Zdania te wzajemnie się wykluczają, a w sumie dopełniają.
Z syntaktycznego punktu widzenia nie ma powodu, aby któreś ze zdań w po
wyższym przykładzie wyróżnić — wszystkie wydają się być zdaniami prosty
mi. Nie spełniają one jednak warunku niezależności: z tego, że prawdziwe jest jedno z nich, wynika, że fałszywe są pozostałe. Widać stąd, że zachowanie utoż
samienia A = At, a więc jednoczesne spełnienie warunku syntaktycznej prostoty i niezależności, jest w języku naturalnym trudne, o ile nie przyjmie się pewnych arbitralnych założeń (np. takich, że zdanie „a < 5” jest identyczne numerycznie ze zdaniem „nieprawda, że a > 5”, albo że zdanie „a = 5” jest numerycznie identyczne ze zdaniem ,,~a < 5 a ~a > 5” itp.). Zarzut ten jest o tyle istotny, że potrzeba wyróżnienia klasy zdań atomowych powstała w związku z językiem naturalnym, a nie z jakimś abstrakcyjnym językiem formalnym, w którym do
konuje się pewnych umownych rozstrzygnięć nie wymagających dalszego uza
sadnienia.
Podsumowując — nawet jeśli przyjmiemy, że można jakoś niearbitralnie wśród zdań wykluczających się o podobnej strukturze syntaktycznej wyróżnić zdania atomowe, to najprostszy przypadek — czyli taki, w którym o istnieniu świata decyduje jego niesprzeczność logiczna i nie ma zdań nie będących teza
mi logiki, które są prawdziwe we wszystkich światach (a więc nie ma praw fi
zyki, techniki itp.) — nie jest zgodny z praktyką języka naturalnego i teorii bu
dowanych w tym języku. Jednak właśnie na tym gruncie powstała potrzeba wy
różnienia zdań atomowych. Stąd — dla potrzeb języka naturalnego — roz
strzygnięcie, że A = At wydaje się niezadowalające.
11.2. Przypadek ogólny: T * Tzpł
O zbiorze teorii zupełnych T zakładamy jedynie, że T £ 0 10. Aby otrzy
mać ogólniejszą definicję zbioru zdań atomowych załóżmy jeszcze, że
10 Jest to odpowiednik aksjomatu R2 u Wolniewicza (por. np.[WOLNIEWICZ 1999], s. 138), mówiącego, że istnieje przynajmniej jeden możliwy świat. Pozostałe aksjomaty przyjęte przez Wolniewicza (R1. R3, R4, R5) wynikają z tego, że elementami zbioru T są teorie zupełne:
(R1) T ę P(FOR), z definicji teorii jako zbioru formuł;
(R3) uT * FOR, z faktu, że kontrtautologie nie są elementami żadnej teorii zupełnej;
(R4) nT / 0, z faktu, że tautologie są elementami wszystkich teorii zupełnych;
(R5) VT, T’ (T c T”) —> (T = T”), z definicji teorii zupełnej jako teorii maksymalnej niesprzecznej.
oTa Cn(0) i nT* Cn(0).
Takie założenie oznacza, że istnieją zdania nie będące tezami logiki, które należą do wszystkich teorii zupełnych z wyróżnionej klasy T. Innymi słowy, na klasę teorii zupełnych T oprócz warunku logicznej niesprzeczności nakładamy jakieś warunki dodatkowe (które możemy interpretować np. jako warunki nie
sprzeczności fizycznej czy technicznej). Zbiór zdań X taki, że X = nT - Cn(0) będziemy nazywać „zbiorem zdań syntetycznych a priori" (por. [OMYŁA 1986], s. 98, [wolniewicz 1999] s. 150) i oznaczać przez SAP.
FAKT 1
Niech dana będzie para <J, Cn>.
1.1) nT = Cn(0) wtw SAP = 0;
1.2) jeśli nT * Cn(0), to T * Zpł.
Stajemy teraz przed następującym problemem: jak mając trójkę <J, Cn, T>
wyznaczyć zbiór zdań atomowych spełniający nakładane na niego — w postaci pewnej kombinacji definicji 2-6 — warunki? Procedura taka będzie składała się z trzech etapów. Najpierw zdefiniujemy rodzinę D wszystkich wymiarów logicz
nych ze względu na dany zbiór teorii zupełnych T. Następnie wśród wymiarów logicznych wyróżnimy rodzinę Do wymiarów atomowych. Ostatecznie utożsa
mimy zbiór zdań atomowych A z selektorem rodziny wymiarów atomowych.
11.2. a. Rodzina D wszystkich wymiarów logicznych
Za pomocą zbioru T można zdefiniować rodzinę D zbiorów zdań (jest to zdaniowy odpowiednik przestrzeni Q u Wolniewicza, por. [WOLNIEWICZ 1999]
s. 37), nazywaną rodziną wymiarów logicznych. Wedle intuicji, ele
mentami tej rodziny są zbiory zdań mających tę własność, że dla dowolnej teorii zupełniej dokładnie jedno ze zdań z danego zbioru należy do tej teorii i każde ze zdań z danego zbioru należy przynajmniej do jednej teorii zupełnej. Naj
prostszym przykładem zbioru należącego do tej rodziny, tłumaczącym również przyjęcie nazwy „wymiar”, jest zbiór zdań, z których każde przypisuje określo
nemu obiektowi pewne wymiary, np. wagę.
DEFINICJA 7
Rodzinę zbiorów zdań D nazywamy rodziną wymiarów logicznych ze wzglę
du na zbiór teorii zupełnych T zawsze i tylko, gdy:
a) V/J e D D o (nT) = 0 i D n (FOR - uT) = 0 (tzn. wymiary nie za
wierają ani zdań prawdziwych we wszystkich teoriach ze zbioru T, ani fałszy
wych we wszystkich teoriach ze zbioru T;
b) VZ) e D e T card(T n D) = 1, tzn. przecięcie dowolnego wymiaru z dowolną teorią ze zbioru T jest zawsze jednoelementowe.
Wprost z powyższej definicji wynikają następujące fakty:
FAKT 2
V£> 6 D Va 6 DBT& T«e T — tzn. każde zdanie z dowolnego wymiaru należy przynajmniej do jednej teorii ze zbioru T.
FAKT 3
3.1) \/D e D card(ZJ) >2 — tzn. każdy element D (każdy wymiar) jest przynajmniej dwuelementowy;
3.2) V£> 6 D card(T) > card(£>) — tzn. w każdy wymiar ma co najwyżej tyle elementów, co zbiór teorii zupełnych T;
FAKT 4
Jeżeli założymy, że nie ma świata całkowicie negatywnego i nT = Cn(0) (czyli — w świetle faktu 1 — jeśli nie ma zdań syntetycznych a priori) i Cn = CnKK7. to
4.1) istnieje wymiar mający nieskończenie wiele elementów (jest to wymiar następującej postaci: D = {pi,-pi Ap2, ~p, a ~p2 a p3, ...))
4.2) rodzina D jest nieskończona — nieprzeliczalna. Wynika to stąd, że wy
miarów, takich jak ten opisany w 4.1, jest nieprzeliczalnie wiele — jest ich tyle, ile funkcji/: At -a {0, 1}.
II.2.
b. Rodzina Do wymiarów atomowych
Wśród zbioru wszystkich wymiarów logicznych chcemy teraz wyróżnić wymiary najprostsze, które będziemy nazywać wymiarami atomowymi. W tym celu zdefiniujemy na zbiorze wszystkich wymiarów logicznych porządek <.
Aby to zrobić, wprowadzimy najpierw kilka definicji pomocniczych.
Niech D„ Z)7 c D, gdzie O, = {a.,, ai2,...}, Z/= {Pp, Pj2,...}.
DEFINICJA 8 (iloczynu wymiarów)
Przez Dt x Dj będziemy oznaczać zbiór postaci: {cen a f3ji, ai2 a Pp, On a
Pj2, On a Pj3,...}. Jeśli card(Z)i) = n i card(Z>;) = k, to card(D, x Dj) = nk.
PRZYKŁAD
Niech D, = {p, ~p}, D2 = {q, ~q}. Wtedy Ds x D2 = {p a q, ~p a q, p a ~ q,
~pA~q}
DEFINICJA 9 (ortogonalności wymiarów ze względu na daną rodzinę D) Dwa wymiary D;i Dj są ortogonalne wtw Dp,D.E D
PRZYKŁAD
Jeśli T = Tzpł, to wymiary D, = (p, ~p} i D2 = {q, ~q} są ortogonalne, natomiast wymiar D/ nie jest ortogonalny z wymiarem D/ x D2, ponieważ np.
zdanie p /\q a ~p jest wewnętrznie sprzeczne, a więc nie należy do żadnej teorii zupełnej.
Można wskazać pewne kryterium ortogonalności wymiarów. Nie ma ono jednak charakteru uniwersalnego — jego stosowalność zależy od tego, jaki jest zbiór nT.
FAKT5
Jeśli T = Tzpl. to VD„ D: g D jeśli rar(D,j n var(D;) = 0, to D, x Dj g D.
Wymiar ten jest nieskończony zawsze i tylko, gdy nieskończony jest wymiar £>, lub D,
Innymi słowy, jeśli nie ma zdań syntetycznych a priori, to każda rodzina wymiarów o rozłącznych zmiennych jest ortogonalna'12.
1 Definicja ta jest równoważna definicji tego pojęcia, które można znaleźć u Wolnie- wicza, np. [wolniewicz 1985], s. 33.
'■ Warunek, mówiący, że nie ma zdań syntetycznych a priori, jest w tym miejscu bardzo istotny. Jego niespełnienie może powodować, że iloczyn dwóch wymiarów o rozłącz
nych zmiennych nie będzie tworzyć wymiaru, np. negacja pewnego zdania postaci cc, a 0j
będzie prawdą we wszstkich teoriach ze zboru T, choć oczywiście nie będzie prawdą logiki.
Zauważmy, że jest to równoważne tezie, źe —cii v ~Pj e nT i var(a,) n var(Pj) = 0 - a więc, że nT nie jest teorią Hallden-zupełną. Fakt ** można więc wzmocnić do następującej postaci:
Jeśli nT jest teorią Hallden-zupełną, to VER Dj e D jeśli var(D,) n var(Dj) - 0, to Dj x Dj e D.
DEFINICJA 10 (równości wymiarów na gruncie danego zbioru zdań X) Dwa wymiary D, i D, są równe na gruncie danego zbioru zdań X (sym
bolicznie D, =x Dj) wtw Va g D,30 g Dj a <-> 0 e X.
PRZYKŁAD
Niech T = Tzpł i niech X - Cn(0). Wtedy [p a q, ~p a q, p a ~ q, ~p a
~q} -x !“(~P A ~q), ~(p A ~q), ~(~p A q), ~(p a g)).
DEFINICJA 11 (porządku na zbiorze wymiarów ze względu na dany zbiór X) Di <x D2 ztw BDj Dj x D3 =x D2
PRZYKŁAD
Niech X= Cn(0). Wtedy {p, ~p] <x {p a q, ~p a q, p a ~ q, ~p a ~q}.
Zdefiniowana relacja jest asymetryczna i przechodnia. Elementami maksy
malnymi są w sensie tego porządku wszystkie wymiary, które nie są ortogonal-
ne z żadnym innym wymiarem — w szczególności wymiar zdefiniowany w fak
cie (4.1). Elementami minimalnymi — wymiary, których elementy nie dadzą się przedstawić w postaci koniunkcji zdań prostszych, a więc w szczególności wy
miary postaci {a, -a): a e At, ale również wymiar zdefiniowany w fakcie (4.1).
Porządek < pozwala nam wśród wymiarów z D wyróżnić klasę Do (nazywa
ną klasą wymiarów atomowych). Definiujemy ją w następujący sposób:
definicja 12 (klasy wymiarów atomowych w danej klasie wszystkich wy
miarów D)
Do jest klasą wymiarów atomowych w danej klasie wszystkich wymiarów D zawsze i tylko, gdy Do jest zbiorem maksymalnym ze względu na liczbę ele
mentów i maksymalnym w sensie ę, spełniającym warunki:
1) VDi,...,Dn £ Do Dtx...xDn G D,
tzn. dowolny skończony podzbiór13 wymiarów z rodziny Do jest ortogonalny.
13 Warunek skończoności jest tu konieczny, ponieważ elementami wymiaru, będącego produktem innych wymiarów, jest — z definicji — pewna koniunkcja, a ta musi być skoń
czona. Ortogonalności dowolnego skończonego podzbioru wymiarów powinna — ze wzglę
du na twierdzenie zbliżone do twierdzenia o zwartości — zapewnić ortogonalność całego zbioru.
14 Z faktu tego wynika, że w ontologii, o której mówi Wolniewicz [wolniewicz 1985]
muszą być — wbrew zamierzeniom autora - prawdziwe pewne zdania syntetyczne a priori.
2) jeżeli D £ Do, to ~3D/, P)-> £ Do D —D; x Pri-
Innymi słowy, Do zawiera wszystkie i tylko elementy minimalne w sensie porządku <, które tworzą zbiór wymiarów ortogonalnych i ma maksymalną ilość elementów (wśród innych rodzin o podobnych własnościach).
Między rodziną Do i zbiorem zdań syntetycznych a priori istnieją następu
jące związki:
FAKT6
SAP = 0 wtw rodzina wymiarów atomowych Do = {{a, -a}: a e At}.
FAKT 7
7.1) Jeśli rodzina Dojest skończona, to SAP * 0 14.
7.2) Jeśli przynajmniej jeden element rodziny Do jest więcej niż dwuele- mentowy, to SAP A 0.
Istnieją również zależności między licznością zbioru wymiarów atomowych a licznością zbioru T. Związki te charakteryzuje poniższy fakt.
FAKT8
8.1) VD e Do card(T) > card(D);
8.2) Jeśli card(T) = n i card(D0) = m > 2, to card(D) < n/2m'\
H.2.C. Selektor rodziny wymiarów atomowych — zbiór zdań atomowych DEFINICJA 13 (selektoru danego zbioru wymiarów D)
Zbiór Sel(D) jest selektorem danego zbioru wymiarów D ztw Sel(D) ę uD i VDg D card(D n Sel(D)) = 1.
Selektorem danego zbioru wymiarów jest więc zbiór zdań mający z każdym wymiarem z danego zbioru dokładnie jeden element wspólny.
Zbiór wszystkich selektorów danego zbioru wymiarów D będziemy ozna
czać przez Sel(D). Moc tego zbioru zależy od mocy zbioru wymiarów atomo
wych Do i od mocy jego elementów. Zależności te pokazuje poniższy fakt.
FAKT 9
Niech dana będzie rodzina wymiarów atomowych Do.
9.1) Jeśli card(Do) = «> lub 3D 6 Do card(D) = °° , to card(Sel(Do)) = 9.2) Jeśli card(Do) = k i VDj e Do card(Dj) = n,, to card(Sel(D0)) = nix...xnk.
Niech dana będzie rodzina Do wymiarów atomowych. Prawdziwe są nastę
pujące fakty:
[•AKT 10
Dowolny zbiór Sel(D0) jest maksymalnym zbiorem zdań niezależnych.
FAKT 11
Dla dowolnego Sel(D0) i dla dowolnej Th T2e T jeśli Sel(D0) ę Tj i Sel(Do) ę T2, to Ti = T2.
Powyższe dwa fakty świadczą o tym, że dowolny selektor rodziny wymia
rów atomowych ma takie własności, jakie powinien mieć zbiór zdań atomo
wych — jest maksymalnym zbiorem niezależnym w sensie definicji 3 i wyzna
cza wartość logiczną pozostałych zdań ze zbioru FOR przynajmniej w sensie definicji 6. To upoważnia nas do wprowadzenia podstawowej dla całego arty
kułu definicji:
DEFINICJA 14 (zbioru zdań atomowych dla danego zbioru T)
Zbiorem zdań atomowych A jest dowolny selektor rodziny Do wymiarów atomowych w klasie wszystkich wymiarów D.
PRZYKŁAD 2
Rozważmy język, w którym występuje jeden dwuargumentowy predykat pozalogiczny „bycie przed” i trzy jednoargumentowe predykaty pozalogiczne
„bycie białym”, „bycie niebieskim” i „bycie czarnym”, a także dwie nazwy in- dywiduowe „X” i „Y”. Język ten opisuje świat składający się z dwóch przed
miotów X i Y, które umieszczone są liniowo jeden za drugim i z których każdy może mieć jeden z trzech kolorów: biały, niebieski, czarny. Całkowity opis tego świata zawiera jedno zdanie na temat wzajemnego położenia przedmiotów X i Y
i po jednym zdaniu na temat ich kolorów. Z czysto syntaktycznego punktu widze
nia, zdaniami atomowymi w tym języku są następujące zdania: X jest przed Y, Y jest przed X, X jest białe, X jest niebieskie, X jest czarne, Y jest białe, Y jest niebieskie, Y jest czarne. Możemy teraz przyjąć jedno z dwóch możliwych roz
wiązań, odpowiadających przypadkom rozważanym odpowiednio w częściach II.l ill.2:
1) Możemy założyć, że jedynym warunkiem istnienia tego świata jest jego lo
giczna niesprzeczność, a więc — równoważnie —■ że nie ma zdań syntetycznych a priori lub, że T - Tzpł (por. fakt 1). W szczególności oznacza to, że w świecie takim może być zarazem prawdziwe zdanie „X jest białe” i zdanie „X jest czar
ne”. Tylko przy takim założeniu wszystkie wymienione wyżej syntaktycznie proste zdania są zdaniami atomowymi (jest to więc przypadek, gdy A = At).
Widać jednak, że rozwiązanie takie jest nieintuicyjne.
2) Możemy założyć, że dla dowolnych przedmiotów x, y e {X, Y} we wszystkich światach prawdziwe są następujące alternatywy rozłączne:
x jest przed y lub y jest przed x;
x jest białe lub x jest niebieskie lub x jest czarne.
Zdania o takich schematach tworzą zbiór zdań syntetycznych a priori, a więc definiują zbiór T. To z kolei pozwala zdefiniować zbiór D i wyróżnić w nim zbiór wymiarów atomowych Do: Do = {{X jest przed Y, Y jest przed X}, {X jest białe, X jest niebieskie, X jest czarne}, (Y jest białe, Y jest niebieskie, Y jest czarne} }i5.
15 Zauważmy, że nie jest zbiorem wymiarów atomowych zbiór D’ = {{X jest przed Y, X jest za Y}, {Y jest przed X, Y jest za X}, {X jest białe, X jest nie białe}, {X jest nie
bieskie, X jest nie niebieskie}, {X jest czarne, X jest nie czarne} {Y jest białe, Y jest nie białe}, {Y jest niebieskie, Y jest nie niebieskie, {Y jest czarne, Y jest nie czarne}}, gdyż wymiary te nie są ortogonalne.
Zbiór SEL(Do) wszystkich selektorów tego zbioru ma postać:
SEL(Do) - {{X jest przed Y, X jest białe, Y jest białe}, {X jest przed Y, X jest niebieskie, Y jest białe, Y jest niebieskie}, itd.} — ogólnie jest to zbiór składa
jący się z 18 trzyelementowych zbiorów.
Każdy z tych zbiorów jest maksymalnym zbiorem zdań mocno niezależnym w sensie definicji 3. Żaden z nich nie spełnia definicji 5, ale za to każdy spełnia definicję 6.
PRZYKŁAD 3
Rozważmy język, w którym mamy cztery jednoargumetowe predykaty po- zalogiczne: „ciepło”, „zimno”,, jasno”, „ciemno” i jedną nazwę indywiduową „a".
Załóżmy również, że zdaniami syntetycznymi a priori są zdania: „a jest ciemny wtw a nie jest jasny”, „a jest zimny wtw a nie jest ciepły”. Zgodnie z zapropo
nowaną definicją 14, zbiorami zdań atomowych są zbiory: {a jest ciemny i a jest
ciepły}, {a jest ciemny i a jest zimny} itd. Zbiory takie są cztery. Każdy z nich jest zbiorem mocno niezależnym (definicja 3) i każdy spełnia definicję 5.
Jeśli natomiast wzbogacimy język o predykat Jest letnio” i przyjmiemy, że we wszystkich teoriach ze zbioru T prawdziwe jest zdanie: „a jest zimny albo a jest letni, albo a jest ciepły”, gdzie „albo” jest alternatywą rozłączną, to zbiorów zdań mocno niezależnych jest sześć, ale nie spełniają one definicji 5, a jedynie definicję 6. Rozważmy — w ramach przykładu — zbiór zdań atomowych A; = [a jest zimny, a jest ciemny} i dwie teorie zupełne: Tj = Cn(a jest ciepły, a jest jasny}; T2 = Cn{a jest letni, a jest jasny}. Zbiór Aj nie wyznacza wartości logicznych pozostałych zdań w sensie definicji 5, bo A/ n Tj ~ Aj n T/ = 0, ale T, a T:. Spełnia natomiast definicję 6: jeśli V7",-, Tj Aj c T, i Aj r\Tj, to 7j = 7).
Zauważmy też, że ze względu na zbiór zdań atomowych Aj mogą istnieć dwa światy całkowicie negatywne i istotnie różne — są to światy opisywane przez teorie Tj i T2.
To, czy zbiór zdań atomowych A jest wyznaczony jednoznacznie, zależy od tego, ile teorii zupełnych należy do zbioru T, a więc — mówiąc nieco metafo
rycznie — ile jest możliwych światów. Zależność tę widać z poniższego faktu.
FAKT 12
12.1) Jeśli T = {T}, to Do = 0, a więc Sel(D0) = 0, a stąd A = 0.
12.2) Jeśli T = {Tz, TJ, to card(Du) = 1, a więc card(Sel(D0)) = 1, a stąd zbiór A jest wyznaczony jednoznacznie.
Podsumowanie
Na podstawie powyższych rozważań można uzasadnić następujące wnioski o charakterze filozoficznym.
WNIOSEK 1
Pojęcie zdania atomowego jest pojęciem syntaktycznym (tzn. zdanie atomo
we można scharakteryzować przez odniesienie do jego budowy, utożsamiając zbiór zdań atomowych A ze zbiorem zdań syntaktycznie prostych At) tylko w wy
padku, gdy spełnione są następujące warunki:
a) język, wśród którego formuł wyróżniamy zdania atomowe, jest językiem zdaniowym zawierającym jedynie spójniki prawdziwościowe;
b) jedynym warunkiem istnienia światów opisywanych przez dany język jest ich niesprzeczność logiczna, co jest równoważne temu, że nie ma zdań prawdzi
wych we wszystkich światach, które nie byłyby tezami logiki (nie ma zdań syn
tetycznych a priori) — por. fakt 6.
WNIOSEK 2
Jeżeli uznamy, że zbiór zdań atomowych jest charakteryzowany przez defi
nicję 14, to należy uznać, że:
a) istnieje ścisły związek między pojęciami „zdania atomowego”, „zdania syntetycznego a priori" i „zbiorem teorii zupełnych” (światów możliwych opisywanych przez dany język) — por. fakty 2, 6, 7 i 8;
b) zbiór zdań atomowych nie jest wyznaczony jednoznacznie; może istnieć wiele różnych zbiorów zdań atomowych — por. przykłady 2 i 3 i fakt 12;
c) jeżeli zbiór zdań atomowych ma własność mocnej niezależności (defini
cja 3), to nie zawsze wartościowanie na tym zbiorze w sposób jednoznaczny rozszerza się do wartościowania na wszystkich formułach danego języka — por. przykłady 2 i 3.
Bibliografia
[OMYŁA 1986] M. Omyła, Zarys logiki niefregowskiej, PWN, Warszawa.
[SUSZKO 1967] R. Suszko, An Essay in the Formal Theory of Extension and Intension, „Studia Logica”, XX, s. 7-36.
[SUSZKO 1968] R. SUSZKO, Ontologia w Traktacie L. Wittgensteina, „Studia Filozoficzne”, nr 1, s. 97-121.
[WOLNIEWICZ 1968] B. Wolniewicz, Rzeczy i fakty, PWN, Warszawa.
[WOLNIEWICZ 1985] B. Wolniewicz, Ontologia sytuacji, PWN, Warszawa.
[WOLNIEWICZ 1999] B. Wolniewicz, Logic and Metaphysics, PTS, Warszawa.
A Debate about Atomic Sentences
Set A of all atomic propositions in the given language J is defined as follows:
(1) all elements of A are mutually independent, (2) every valuation of set A has a unique extension onto the set of all propositions of language J. The paper discus
ses the problem of the existence and the method of constructing set A.
