Definicja 1.1 Niech dany będzie ciąg funkcyjny f n , gdzie f n : X → R. Oznaczmy przez S k

Wykład 3

1 Szeregi funkcyjne

Definicja 1.1 Niech dany będzie ciąg funkcyjny f _n , gdzie f _n : X → R. Oznaczmy przez S k

funkcję

S k (x) =

k

X

i=1

f i (x)

Dla szeregu S(x) = ^{P ∞} _i=1 f _i (x) pojęcia zbieżności punktowej i jednostajnej definiujemy jak powyżej wykorzystując ciąg funkcyjny S _k (x), przy czym szereg S(x) jest określony na zbiorze tych x ∈ X dla których jest on zbieżny jako szereg liczbowy.

Przykłady:

Szeregi potęgowe, np: ^{P ∞} _i=1 x ⁿ = _1−x ¹ , dla x ∈ (−1, 1). Zbieżność jednak nie jest jednostajna:

sup

x∈(−1,1)

|S k (x) − f (x)| = sup

x∈(−1,1)

1 − x ^k

1 − x − 1 1 − x

= sup

x∈(−1,1)

−x ^k 1 − x

= +∞ dla k → ∞.

Uwaga: Dla szeregów potęgowych zbieżność jednostajna zachodzi na dowolnym przedziale domkniętym zawartym w kole zbieżności szeregu. Tak więc możemy sprawdzić, że w po- przednim przykładzie zbieżność jednostajna zachodzi na dowolnym przedziale domkniętym zawartym w przedziale (−1, 1).

Twierdzenie 1.1 Jeśli ciąg funkcji ciągłych f _n jest zbieżny jednostajnie na zbiorze A do funkcji f , to funkcja graniczna f jest ciągła na A.

Wniosek: Analogiczne twierdzenie zachodzi dla szeregu funkcyjnego. Wobec tego, suma sze- regu potęgowego jest funkcją ciągła w całym kole zbieżności

Uwaga: w wielu sytuacjach ułatwia to badanie zbieżności - wystarczy stwierdzić, że funkcja graniczna jest nieciągła, wtedy wiemy już, jeśli funkcje f _n są ciągłe, że zbieżność nie jest jednostajna.

Uwaga: Implikacja przeciwna nie zachodzi - pomimo tego że funkcja graniczna jest ciągła, zbieżność może nie być jednostajna.

2 Ciągłość odwzorowań

Definicja 2.1 (granica odwzorowania) Niech (X, d), (Y, ρ) - przestrzenie metryczne. Mó- wimy że odwzorowanie f : X ⊃ A → Y ma w punkcie x ₀ granicę y ₀ jeśli dla każdego ciągu x _n elementów dziedziny A zbieżnego do x ₀ mamy f (x _n ) → y ₀ .

Definicja 2.2 (Ciągowa definicja ciągłości (wg Heinego)) Niech (X, d _x ), (Y, d y ) - prze- strzenie metryczne. Mówimy, że odwzorowanie f : X ⊃ A → Y jest ciągłe w punkcie x ₀ jeśli dla każdego ciągu x _n elementów dziedziny A zbieżnego do x ₀ ciąg f (x _n ) jest zbieżny do f (x ₀ ).

1

Definicja 2.3 (Otoczeniowa definicja ciągłości) Niech (X, d _x ), (Y, d _y ) - przestrzenie me- tryczne. Mówimy, że odwzorowanie f : X ⊃ A → Y jest ciągłe w punkcie x 0 jeśli dla każdego otoczenia U punktu f (x ₀ ) przeciwobraz f ⁻¹ (U ) jest zbiorem otwartym w przestrzeni X.

Definicja 2.4 (definicja ciągłości wg Cauchy’ego) Niech (X, d _x ), (Y, d y ) - przestrzenie metryczne. Mówimy, że odwzorowanie f : X ⊃ A → Y jest ciągłe w punkcie x ₀ jeśli zachodzi:

∀ ε>0 ∃ δ>0 ∀ x∈X d X (x, x ₀ ) < δ ⇒ d Y (f (x), f (x ₀ )) < ε

Uwaga: Definicje 2.2, 2.3 i 2.4 są równoważne. Odwzorowanie ciągłe w każdym punkcie dzie- dziny nazywamy odwzorowaniem ciągłym.

Uwaga: Do wykazywania, że dana funkcja nie jest ciągła najwygodniej jest stosować defi- nicję wg Heinego - wystarczy znaleźć dwa ciągi zbieżne do tego samego punktu w zbiorze argumentów, na których to ciągach wartości zbiegają do różnych granic. Do wykazywania, że dana funkcja jest ciągła najwygodniej natomiast stosować dwie pozostałe definicje.

Przykład:

Wykażemy że funkcja

f (x, y) =

( _xy

x

+y

dla (x, y) 6= (0, 0) 0 dla (x, y) = (0, 0)

jest nieciągła w punkcie (0, 0). W tym celu rozważmy ciągi ( _n ¹ , 0) oraz ( _n ¹ , ¹ _n ). Zauważmy, że obydwa te ciągi są zbieżne do punktu (0, 0). Mamy jednak: f ( ¹ _n , 0) = 0 oraz f ( _n ¹ , ¹ _n ) → ¹ ₂ dla n → ∞. Ponieważ granice te są różne, funkcja jest nieciągła w (0, 0).

Stwierdzenie 2.1 Niech (X, d X ), (Y, d Y ), (Z, d Z ) - przestrzenie metryczne, przekształcenia f : X → Y , g : Y → Z są ciągłe. Wtedy złożenie g ◦ f : X → Z jest ciągłe.

3 Różniczkowanie funkcji i odwzorowań określonych na przestrzeniach liniowych unormowanych

Przyjmijmy następujące oznaczenia: (X, k · k _X ), (Y, k · k _Y ) - przestrzenie liniowe unormowane (u nas najczęściej R ^k ), X ⊃ G - podzbiór otwarty, p ∈ G, f : G → Y .

Definicja 3.1 (pochodna kierunkowa funkcji) Pochodną kierunkową odwzorowania f : R ⁿ ⊃ G :→ Y ⊂ R ^k w punkcie p ∈ G w kierunku wektora h ∈ X nazywamy granicę

∂f

∂h (p) = f _h ⁰ (p) = D _h f (p) = lim

t→0

1

t (f (p + th) − f (p)),

o ile istnieje i jest skończona. Wyrażenie występujące pod znakiem granicy rozważamy oczy- wiście w obszarze tych t ∈ R, dla których p + th ∈ G.

Przez e ₁ , . . . , e _n oznaczamy bazę kanoniczną przestrzeni R ⁿ , tzn. e _i = ( 0

|{z}

1

, . . . , 1

|{z}

i

, . . . , 0

|{z} n

)

Definicja 3.2 (pochodna cząstkowa) Pochodną cząstkową funkcji f w punkcie p wzglę- dem i-tej zmiennej nazywamy pochodną kierunkową tej funkcji w punkcie p w kierunku e i o ile ona istnieje i oznaczamy f _x ⁰

i

(p), D _x

f (p), D _i f (p), _∂x ^∂f

i

(p).

2

Zauważmy, że definicja pochodnej cząstkowej jest niemal identyczna z definicją pochodnej funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Podobieństwo to wykorzystamy do obliczania pochod- nych cząstkowych - będziemy je obliczać tak jakby wszystkie zmienne były ustalonymi para- metrami, a funkcja zależała tylko od zmiennej względem której szukamy pochodnej cząstko- wej. Niemniej jednak jak wiadomo posiadanie pochodnej w danym punkcie jest dla funkcji jednej zmiennej bardzo silną własnością. Jak się zaraz przekonamy dla funkcji wielu zmien- nych posiadanie wszystkich pochodnych kierunkowych nie gwarantuje nawet ciągłości. Roz- ważmy funkcję

f (x, y) =

( 0 dla x = y ² i (x, y) 6= (0, 0) 1 dla (x, y) = (0, 0) lub x 6= y ²

funkcja ta jest oczywiście nieciągła na całej paraboli x = y ² . zauważmy jednak, że w punkcie (0, 0) istnieją pochodne kierunkowe w każdym kierunku - są one równe 0, gdyż jeśli zbliżamy się do zera wzdłuż dowolnej prostej to dla dostatecznie bliskich punktów nie ”jesteśmy”już na paraboli i funkcja ma wartość stale równą 1, czyli przyrost w definicji pochodnej kierunkowej jest zerowy.

Przystąpimy teraz do zdefiniowania pojęcia różniczki funkcji (odwzorowania) wielu zmien- nych.

Definicja 3.3 (pochodna funkcji (odwzorowania)) Pochodną funkcji f w punkcie p na- zywamy odwzorowanie liniowe L ∈ L(X, Y ) spełniające warunek:

u→0 lim

f (p + u) − f (p) − L(u)

kuk = 0.

Oznaczamy je również Df (p).

3