Introduction. Soit q une puissance d’un nombre premier p et soit F

LXIX.3 (1995)

R´ epartition modulo 1 dans un corps de s´ eries formelles sur un corps fini

par

Mireille Car (Marseille)

Introduction. Soit q une puissance d’un nombre premier p et soit F

le corps fini `a q ´el´ements. Une certaine analogie entre l’arithm´etique de l’anneau Z des entiers rationnels et celle de l’anneau F

[T ] a conduit `a

´etendre `a F

[T ] de nombreuses questions de l’arithm´etique classique. L’´equi- r´epartition modulo 1 est une de ces questions. Le corps des nombres r´eels est alors remplac´e par le corps F

((T

)) des s´eries de Laurent formelles, compl´et´e du corps F

(T ) des fractions rationnelles pour la valuation `a l’infini et l’intervalle [0, 1[ est remplac´e par l’id´eal de valuation. L. Carlitz [1] a donn´e une d´efinition de l’´equir´epartition modulo 1 dans le corps F

((T

)) qui s’est r´ev´el´ee fructueuse puisqu’elle permet l’utilisation d’un crit`ere de Weyl [1], [7], la g´en´eralisation des premiers r´esultats de Weyl [2], [3], du th´eor`eme de Koksma [7], ou du th´eor`eme de Vinogradov [8]. Il est bien connu que la suite ( √

n ) est ´equir´epartie modulo 1. Il est donc naturel de poser la question de l’´equir´epartition modulo 1 de la suite (H

), H d´ecrivant la suite des polynˆomes de F

[T ] admettant une racine carr´ee H

dans le corps F

((T

)), et, plus g´en´eralement, celle de la suite (H

), H d´ecrivant la suite des polynˆomes de F

[T ] admettant une racine l-i`eme H

dans le corps F

((T

)). C’est ce qui est fait dans ce qui suit, o` u l’on pr´ecise ce que l’on entend par racine l-i`eme. On d´emontre que pour l ≥ 2, la suite (H

) est ´equir´epartie modulo 1, et que pour l ≥ 3, la suite (P

) est

´equir´epartie modulo 1, P d´ecrivant la suite des polynˆomes irr´eductibles de F

[T ] admettant une racine l-i`eme dans le corps F

((T

)).

I. Pr´ eliminaires

I.1. Notations et rappels. On pose R = F

[T ], K = F

(T ). La valuation

`a l’infini sur le corps K est l’application ν de K dans Z ∪ {∞} d´efinie par ν(0) = ∞ et ν(A/B) = deg B−deg A, si A et B sont des polynˆomes non nuls.

Le compl´et´e de K pour la valuation ν est le corps K

= F

((T

)) des s´eries de Laurent formelles

[229]

(I.1.1) y = X

y

T

,

o` u y

∈ F

, les coefficients y

´etant tous nuls pour n assez grand. On prolonge la valuation ν `a K

en posant pour y 6= 0,

(I.1.2) ν(y) = − sup{n ∈ Z | y

6= 0}.

Soit P l’id´eal de valuation de K

. Le corps K

est localement compact, un syst`eme fondamental de voisinages compacts de l’origine ´etant fourni par les puissances de l’id´eal P. A constante multiplicative pr`es, il existe une seule mesure de Haar sur K

. On choisit la mesure de Haar µ = dt normalis´ee `a 1 sur l’id´eal de valuation, c’est-`a-dire telle que

(I.1.3) R

P

dt = 1.

Tout y ∈ K

s’´ecrit de fa¸con unique comme somme (I.1.4) y = [y] + {y}, [y] ∈ R, y ∈ P.

Si y ∈ K

s’´ecrit y = P

n=−∞

y

T

, on pose

(I.1.5) Res(y) = y

,

si de plus y 6= 0, on pose

(I.1.6) sgn(y) = y

.

Soit ψ : F

7→ C un caract`ere additif non trivial. Pour tout y ∈ K

, on pose

(I.1.7) E(y) = ψ(Res(y)).

Alors E est un caract`ere additif non trivial de K

. Pour tout a ∈ K

et tout r ∈ Z, soit

(I.1.8) B(a, r) = {y ∈ K

| ν(y − a) > r}.

Alors, on a (cf. [4])

(I.1.9) µ(B(a, r)) = q

.

On notera F

, R

, K

, K

l’ensemble des ´el´ements non nuls de F

, R, K, K

respectivement.

I.2. ´ Equir´epartition modulo 1. Soit Θ = (θ

), une suite `a valeurs dans K

. Pour tout entier N > 0, tout b ∈ P et tout r ∈ Z, soit A(Θ, N, b, r) le nombre d’entiers n ∈ {1, . . . , N } tels que {θ

} ∈ B(b, r). Soit alors,

(I.2.1) ∆(Θ, N, b, r) = A(Θ, N, b, r)

N − µ(B(a, r)) = A(Θ, N, b, r)

N − q

, et

(I.2.2) D(Θ, N ) = sup

b∈P,r∈Z

|∆(Θ, N, b, r)|.

D´ efinition I.2.1 (Carlitz). Une suite Θ `a valeurs dans K

est dite

´equir´epartie modulo 1 si la suite (D(Θ, N )) tend vers 0 lorsque N tend vers ∞.

On a alors le crit`ere de Weyl (cf. [1], [7]) :

Th´ eor` eme I.2.2. Une suite Θ `a valeurs dans K

est ´equir´epartie modulo 1 si et seulement si pour tout H ∈ R

non nul, la suite ((1/N ) P

n=1

E(Hθ

)) tend vers 0 lorsque N tend vers ∞.

I.3. Les racines l-i`emes dans K

. Soit un entier l ≥ 2 non divisible par la caract´eristique p du corps F

. Dans F

il y a exactement

(I.3.1) r = q − 1

p.g.c.d.(l, q − 1)

puissances l-i`emes. Soit L l’ensemble de ces r puissances l-i`emes.

Lemme I.3.1. Soient a =

X

a

T

, b = X

b

T

des ´el´ements de K

. Alors a = b

si et seulement si les trois conditions suivantes sont r´ealis´ees :

(i) N = ln, (ii) a

= b

,

(iii) pour tout entier k ≥ 1, on a

(I.3.2) a

= lb

b

+ X

i1+...+i_l=N −k n−k<i1≤n ...

n−k<il≤n

b

. . . b

.

D ´e m o n s t r a t i o n. Imm´ediate.

Proposition I.3.2. Soit a ∈ K

. Alors, il existe b ∈ K

tel que a = b

si et seulement si ν(a) ≡ 0 mod l et sgn(a) ∈ L. Dans ce cas il y a exactement r ´el´ements b ∈ K

tels que a = b

.

D ´e m o n s t r a t i o n. Les conditions (i) et (ii) du lemme ci-dessus mon- trent la n´ecessit´e des conditions. Soit a = P

j=−∞

a

T

un ´el´ement de K

tel que ν(a) = −ln et tel que sgn(a) = a

soit une puissance l-i`eme dans F

. Soit β ∈ F

tel que sgn(a) = β

. On pose b

= β. Ensuite, on d´etermine b

, b

, . . . , b

, . . . `a l’aide des relations (I.3.2). On pose b = P

j=−∞

b

T

. Alors, a = b

. De plus, toute solution β de l’´equation sgn(a) = β

d´etermine une et une seule solution b de l’´equation a = b

.

Nous pouvons maintenant d´efinir la fonction racine l-i`eme.

Soit L = {α

, . . . , α

}. Pour chaque indice i ∈ {1, . . . , r}, on choisit β

∈ F

tel que α

= β

. Si a ∈ K

est tel que ν(a) ≡ 0 mod l et sgn(a) ∈ L, on d´esigne par a

l’unique ´el´ement de K

tel que

(I.3.3) (a

)

= a, sgn(a

) = β

si sgn(a) = α

.

I.4. L’ordre sur R. On consid`ere une bijection i 7→ X

de {0, . . . , q−1} sur F

telle que X

= 0. On peut aussi supposer, mais ce n’est pas indispensable, que X

= 1. On ordonne F

en posant X

< X

pour tout i ∈ {0, . . . , q−1}.

Soit un entier positif n. On ´ecrit n en base q :

(I.4.1) n = n

+ n

q + . . . + n

q

, n

∈ {0, . . . , q − 1}, et on pose

(I.4.2) H

= X

+ X

T + . . . + X

T

. L’application n 7→ H

est une bijection de N sur R telle que (I.4.3) m ≤ n ⇒ deg H

≤ deg H

.

On ordonne R en posant, pour tout entier naturel n,

(I.4.4) H

< H

.

II. Le th´ eor` eme. Soit un entier l ≥ 2 non divisible par la caract´eristique p du corps F

. L’ensemble L = {α

, . . . , α

} des puissances l-i`emes de F

introduit au paragraphe pr´ec´edent est maintenant index´e suivant l’ordre croissant de F

.

Un polynˆome K ∈ R

admet une racine l-i`eme dans K

si et seulement si deg K ≡ 0 mod l et sgn(K) ∈ L. Soit L l’ensemble de ces polynˆomes. Soit (L

) la suite de ces polynˆomes, index´ee suivant l’ordre croissant de R. Soit I l’ensemble des polynˆomes irr´eductibles de F

[T ] et soit (P

) la suite form´ee par les polynˆomes de L ∩ I, index´ee suivant l’ordre croissant de R.

Dans ce qui suit, `a l’aide du crit`ere de Weyl, on d´emontre le th´eor`eme suivant.

Th´ eor` eme. La suite (L

) est ´equir´epartie modulo 1. De plus, pour l ≥ 3, la suite (P

) est ´equir´epartie modulo 1.

II.1. Le lemme fondamental

Lemme II.1.1 (Lemme pr´eliminaire). Soit k un entier naturel et soit H ∈ R

. Soit L ∈ L de degr´e lk. Alors, pour tout Z ∈ R tel que deg Z <

(l − 1)k − deg H − 1, on a (i) (L + Z) ∈ L,

(ii) Res(HL

) = Res(H(L + Z)

).

D ´e m o n s t r a t i o n. On a sgn(L) ∈ L. Soit Z ∈ R tel que deg Z <

(l − 1)k − 1 − deg H. Alors, deg(L + Z) = deg L = lk et sgn(L + Z) =

sgn(L), d’o` u le (i). De plus, d’apr`es la d´efinition de la fonction racine l-i`eme, sgn(L

) = sgn((L + Z)

). D’autre part, on a

Z = L + Z − L = ((L + Z)

)

− (L

)

, d’o` u

(1) Z = ((L + Z)

− L

)

 X

j=0

((L + Z)

)

(L

)

 .

Pour tout j ∈ {0, . . . , l − 1}, on a

ν(((L + Z)

)

(L

)

) = −(l − 1)k, sgn(((L + Z)

)

(L

)

) = (sgn(L

))

, d’o` u

ν

 X

j=0

((L + Z)

)

(L

)



= −(l − 1)k, et, avec (1), il vient

ν((L + Z)

− L

) = − deg Z + (l − 1)k ≥ 2 + deg H, d’o` u

ν(H((L + Z)

− L

)) ≥ 2.

On conclut avec (I.1.5).

Lemme II.1.2 (Lemme fondamental). Soit H un polynˆome non nul, et soit h son degr´e. Soit k un entier tel que (l − 1)k ≥ h. Alors, pour tout α ∈ L, tout ζ ∈ F

, tout Y ∈ R de degr´e < k + h, il existe un et un seul ´el´ement η = η(α, Y ) dans F

tel que pour tout Z ∈ R de degr´e < (l − 1)k − h − 1, on ait

ζ = Res(H(αT

+ Y T

+ ηT

+ Z)

).

D ´e m o n s t r a t i o n. Posons H = a

+. . .+a

T

. Soient α ∈ L, β = α

, ζ ∈ F

et (y

, . . . , y

) ∈ F

. Si u = P

j=−∞

u

T

est un ´el´ement de K

, on a

(1) Res(Hu) = a

u

+ a

u

+ . . . + a

u

. Pour s = 1, . . . , k + h, on consid`ere la relation (e

) suivante : (e

) y

= lβ

u

+ X

i1+...+il=lk−s k−s<i₁≤n ...

n−k<il≤n

u

. . . u

.

On d´etermine u

, . . . , u

`a l’aide des relations (e

), . . . , (e

). Le coef-

ficient a

´etant non nul, il existe un unique ´el´ement u

∈ F

tel que

(2) ζ = a

u

+ a

u

+ . . . + a

u

.

Il existe alors un unique ´el´ement η = y

∈ F

solution de l’´equation (e

) suivante :

y

= lβ

u

+ X

i₁+...+i_l=(l−1)k−h−1 k−s<i1≤n ...

n−k<i_l≤n

u

. . . u

.

Soit

(3) K = αT

+ y

T

+ . . . + y

T

+ ηT

. Avec (1), (2) et (I.3.2), il vient ζ = Res(HK

), et, d’apr`es le lemme pr´ec´edent, pour tout Z ∈ R de degr´e < (l − 1)k − h − 1, on a ζ = Res(H(K + Z)

).

Corollaire II.1.3. Soit H un polynˆome non nul. Soit k un entier tel que (l−1)k ≥ deg H. Pour tout sous-ensemble A ⊂ R et pour tout i ∈ {1, . . . , r}, soit

σ(A; k, i) = X

deg A=lkA∈A sgn(A)=αi

ψ(Res(HA

)).

Alors,

(a) si A = L, σ(A; k, i) = 0,

(b) si A = L ∩ I, |σ(A; k, i)| ≤ (k + deg H + 2)q

. D ´e m o n s t r a t i o n. Posons h = deg H. Pour ζ ∈ F

, soit ω(ζ) le nombre de A ∈ A tels que

(i) deg A = lk, (ii) sgn(A) = α

, (iii) Res(HA

) = ζ.

Alors,

(1) σ(A; k, i) = X

ζ∈ q

ψ(ζ)ω(ζ).

Pour Y ∈ R de degr´e < k + h, soit

(2) K(α

, Y, ζ) = α

T

+ Y T

+ ηT

, o` u η = η(α

, Y ) est l’´el´ement d´efini au lemme fondamental tel que

Res(HK(α

, Y, ζ)

) = ζ.

Soit aussi a(lk; Y, ζ) le nombre de A ∈ A tels que

(3) deg(A − K(α

, Y, ζ)) < (l − 1)k − h − 1.

Alors

ω(ζ) = X

deg Y <k+hY ∈R

a(lk; Y, ζ).

Si A = L, a(lk; Y, ζ) = q

, et σ(A; k, i) = q

X

ζ∈ _q

ψ(ζ).

Le caract`ere ψ ´etant non principal, σ(A; k, i) = 0.

On suppose A = L ∩ I. Alors a(lk; Y, ζ) est le nombre de polynˆomes irr´eductibles P tels que

deg(P − K(α

, Y, ζ)) < (l − 1)k − h − 1.

D’apr`es [8], th´eor`eme 4,

a(lk; Y, ζ) = q

lk + e(lk; Y, ζ), avec

|e(lk; Y, ζ)| ≤ (k + h + 2)q

, d’o` u

σ(A; k, i) = q

lk

X

ζ∈ _q

ψ(ζ) + X

ζ∈ _q

ψ(ζ) X

deg Y <k+hY ∈Z

e(lk; Y, ζ),

|σ(A; k, i)| ≤ q

(k + h + 2)q

.

II.2. D´emonstration du th´eor`eme. On d´esigne par A l’un de deux en- sembles L ou L ∩ I, (A

) d´esigne la suite (L

) si A = L, la suite (P

) si A = L ∩ I. Dans R, il y a q

polynˆomes unitaires de degr´e m. Soit π

le nombre de polynˆomes irr´eductibles unitaires de R. On a (cf. [6], p. 82) (II.2.1) q

− 2q

≤ mπ

≤ q

.

Dans A, il y a donc a

polynˆomes de degr´e lm, avec

(II.2.2) a

=

 rq

si A = L, rπ

si A = L ∩ I, et il y a b

polynˆomes de degr´e ≤ s, avec

(II.2.3) b

= a

+ . . . + a

. La suite (b

) est strictement croissante. De plus, (II.2.4) b

= r(q

− q

)

q

− 1 si A = L,

et il existe deux constantes strictement positives κ

= κ

(q, l) et κ

= κ

(q, l) telles que

(II.2.5) κ

q

s ≤ b

≤ κ

q

s si A = L ∩ I.

Soit H ∈ R

. Soit

(II.2.6) h = deg H.

Soit N un entier assez grand pour que les conditions suivantes soient satis- faites :

(II.2.7) N > b

, N > N

,

dxe d´esignant le plus petit entier ≥ x, N

´etant ´egal `a 0, si A = L, et tel que l’implication suivante soit vraie :

(II.2.8) κ

q

lt ≥ N

⇒ q

t

≥ 4lq

et t ≥ h + 2

si A = L ∩ I. Notons que cette implication ne peut avoir lieu que si l ≥ 3.

Dans le cas o` u A = L ∩ I, on supposera donc l ≥ 3.

Soit

(II.2.9) W (N ) =

X

E(H(A

)

).

Dans ce qui suit, une somme portant sur l’ensemble vide sera suppos´ee nulle.

Il existe un et un seul entier t tel que (II.2.10) b

≤ N < b

. On pose

(II.2.11) S

=

b

X

n=1

E(H(A

)

).

Si N > b

, il existe un unique entier s ∈ {0, . . . , r − 1} tel que (II.2.12) 1 + b

+ sa

≤ N ≤ b

+ (s + 1)a

. On pose

(II.2.13) S

= X

bt−1+(j+1)a

X

n=1+b_t−1+ja_t

E(H(A

)

) si N < b

+ (s + 1)a

,

(II.2.14) S

= X

bt−1+(j+1)a

X

n=1+bt−1+jat

E(H(A

)

) si N = b

+ (s + 1)a

.

Enfin, si N < b

+ (s + 1)a

, on pose

(II.2.15) S

=

X

E(H(A

)

).

Trivialement, on a

(II.2.16) W (N ) = S

+ S

+ S

. Proposition II.2.1. (a) Si A = L, on a

S

= 0, |S

| ≤ q

. (b) Si A = L ∩ I, on a

|S

| ≤ r(t + h + 1)q

+ q

, |S

| ≤ r(t + h + 2)q

. D ´e m o n s t r a t i o n. La somme S

porte sur les polynˆomes A ∈ A de degr´e ≤ l(t − 1), la somme S

, lorsqu’elle n’est pas vide, porte soit sur les polynˆomes A ∈ A de degr´e lt tels que sgn(A) ∈ {α

, . . . , α

} si N <

b

+ (s + 1)a

, soit sur les polynˆomes A ∈ A de degr´e lt tels que sgn(A) ∈ {α

, . . . , α

} si N = b

+ (s + 1)a

. Donc

S

= X

(l−1) deg A≤hA∈A

E(HA

) + X

k≤t−1 (l−1)k>h

X

X

deg A=lkA∈A sgn(A)=α_i

E(HA

).

La premi`ere somme est major´ee par q

. D’apr`es le corollaire au lemme fondamental, si A = L, la deuxi`eme somme vaut 0 et, si A = L ∩ I, la deuxi`eme somme est major´ee par

X

k≤t−1

X

(k + h + 2)q

≤ r(t + h + 1)q

.

La somme S

se traite de mˆeme.

Proposition II.2.2. (a) Si A = L, on a

|S

| ≤ q

. (b) Si A = L ∩ I, on a

|S

| ≤ 2q

+ (t + h + 2)q

.

D ´e m o n s t r a t i o n. Nous supposerons N < b

+ (s + 1)a

, car, sinon, il n’y a rien `a d´emontrer. Posons

(1) j = 1 + sa

+ b

.

Alors, avec (II.2.15),

S

= X

E(H(A

)

), d’o` u

(2) |S

| ≤ N − j + 1.

Les polynˆomes A

intervenant dans S

s’´ecrivent A

= α

T

+ H

, j ≤ i ≤ N,

la suite (H

) ´etant strictement croissante dans R. On ´ecrit n

en base q : (3) n

= c

+ c

q

+ . . . + c

q

.

On distingue deux cas.

P r e m i e r c a s : m ≤ (l − 1)t − h − 1. La suite (H

) ´etant index´ee suivant l’ordre croissant, la suite (n

) est aussi strictement croissante, d’o` u

N − j ≤ n

− n

≤ n

≤ q

− 1, et, avec (2),

(4) |S

| ≤ q

.

D e u x i `e m e c a s : m > (l − 1)t − h − 1. On a H

= X

+ X

T + . . . + X

T

.

Les polynˆomes H

intervenant dans la somme S

sont de la forme H

= y

+ y

T + . . . + y

T

≤ X

+ X

T + . . . + X

T

. Soit Y l’ensemble des polynˆomes

Y = y

+ y

T + . . . + y

T

tels que pour tout polynˆome W ∈ R de degr´e < (l − 1)t − h, on ait

Y T

+ W ≤ H

.

Soit µ le plus grand des indices i ∈ {j, . . . , N } pour lesquels A

s’´ecrive A

= α

T

+ Y T

+ W,

avec Y ∈ Y et W ∈ R v´erifiant deg W < (l − 1)t − h. On pose alors S

=

X

E(H(A

)

), (5)

S

= X

E(H(A

)

).

(6)

On a

(7) S

= S

+ S

.

On proc`ede comme pour le corollaire au lemme fondamental. On a S

= X

ζ∈ q

ψ(ζ)ω(ζ),

o` u, pour ζ ∈ F

, ω(ζ) d´esigne le nombre de couples (Y, W ) tels que (i) Y ∈ Y,

(ii) W ∈ R, deg W < (l − 1)t − h, (iii) (α

T

+ Y T

+ W ) ∈ A,

(iv) Res(H(αT

+ Y T

+ W )

) = ζ.

Ici encore

ω(ζ) = X

Y ∈Y

a(lt; Y, ζ),

o` u a(lt; Y, ζ) d´esigne toujours le nombre de A ∈ A tels que deg(A − K(α

, Y, ζ)) < (l − 1)t − h − 1, avec

K(α

, Y, ζ) = α

T

+ Y T

+ η(α

, Y )T

, η(α

, Y ) ´etant l’´el´ement d´efini au lemme fondamental. On obtient

(8) S

= 0 si A = L.

On suppose A = L ∩ I. Alors,

|S

| ≤ #(Y)(t + h + 2)q

, d’o` u

(9) |S

| ≤ (t + h + 2)q

si A = L ∩ I.

Trivialement, si S

n’est pas la somme vide,

(10) |S

| ≤ N − µ.

Dans l’´ecriture de n

en base q, soit τ le plus petit indice > (l − 1)t − h tel que c

6= 0. En fait,

n

= c

q

+ c

q

+ . . . + c

q

+ c

q

+ . . . + c

. Tout polynˆome

A = α

T

+ y

T

+ y

T

+ . . . + y

q

+ y

q

+ . . . + y

, dont les coefficients (y

) v´erifient les conditions (C) suivantes :

(C) y

≤ X

, y

≤ X

, . . . , y

≤ X

, y

< X

,

appartient `a l’ensemble L et est inf´erieur `a A

. Dans le cas o` u A = L, on a donc

n

≥ c

q

+ c

q

+ . . . + (c

− 1)q

+ (q − 1)q

+ . . . + (q − 1), n

≥ n

− q

.

Supposons A = L ∩ I. D’apr`es [8], th´eor`eme 4, pour tout polynˆome Y = α

T

+ y

T

+ y

T

+ . . . + y

q

+ . . . + y

T

dont les coefficients (y

) v´erifient les conditions (C), il existe

Π(lt; Y, (l − 1)t − h) = q

lt + %(lt; Y, (l − 1)t − h) polynˆomes irr´eductibles P ∈ R tels que deg(P − Y ) < (l − 1)t − h avec

|%(lk; Y, (l − 1)t − h)| ≤ (t + h + 2)q

.

De tels polynˆomes P appartiennent `a L ∩ I = A. On a suppos´e N > N

. On a donc

q

lt ≥ 4tq

≥ 2(t + h + 2)q

, Π(lt; Y, (l − 1)t − h) ≥ q

/(2lt) ≥ 1.

Ici,

n

≥ c

q

+c

q

+. . .+(c

−1)q

+(q −1)q

+. . .+(q −1)q

, n

≥ n

− 2q

+ 1.

D’o` u

N − µ ≤

 q

si A = L, 2q

− 1 si A = L ∩ I.

On conclut avec (4), (7)–(10).

Proposition II.2.3. On a (II.2.17)

    1

N X

E(H(A

)

)  

   N

si A = L,

(II.2.18)     1

N X

E(H(A

)

)  

   (log N )

N

si A = L ∩ I et si 3 ≤ l ≤ 4,

(II.2.19)     1

N X

E(H(A

)

)  

   (log N )

N

si A = L ∩ I et si l > 5,

les constantes impliqu´ees par le symbole  ne d´ependant que de q et de l.

D ´e m o n s t r a t i o n. On se place d’abord dans le cas A = L. Avec (II.2.9), (II.2.16), les propositions II.2.1 et II.2.2, il vient

    1

N X

E(H(A

)

)     ≤ 1

N (q

+ q

), puis, avec (II.2.10) et (II.2.4), on a

    1

N X

E(H(A

)

)  

  ≤ (q

+ q

)(q

− 1) r(q

− q

) ,  

  1 N

X

E(H(A

)

)  

   q

 N

, d’o` u (II.2.17).

On se place maintenant dans le cas A = L ∩ I. Il vient alors  

  1 N

X

E(H(A

)

)    

≤ 1

N (q

+ (2r + 1)(t + h + 2)q

+ 2q

).

Les relations (II.2.10) et (II.2.5) donnent alors  

  1 N

X

E(H(A

)

)  

   t

q

+ tq

q

.

Pour l ≤ 4,

    1

N X

E(H(A

)

)  

   t

q

,  

  1 N

X

E(H(A

)

)  

   (log N )

N

, d’o` u (II.2.18). Pour l > 4,

    1

N X

E(H(A

)

)  

   tq

 (log N )

N

, d’o` u (II.2.19).

Le crit`ere de Weyl, th´eor`eme I.2.2, nous donne alors le r´esultat annonc´e.

Dans le cas A = L ∩ I, la restriction l ≥ 3 provient du fait suivant.

Dans la d´emonstration intervient en fait le nombre I(lk; y

, y

, . . . ,

y

) de polynˆomes irr´eductibles P de degr´e lk,

P = y

T

+ y

T

+ . . . + y

T

+ . . .

. . . + y

T

+ . . . + y

, dont les coefficients y

, y

, . . . , y

sont fix´es. Aucune ap- proximation de ce nombre n’´etant connue, on utilise un th´eor`eme de r´epar- tition des polynˆomes irr´eductibles qui donne le nombre Π(lk, Y, lk − h − 1) de polynˆomes irr´eductibles P de degr´e lk, de la forme

P = Y + y

T

+ . . . + y

,

dont les coefficients y

, y

, . . . , y

, . . . , y

sont fix´es. Ceci introduit un terme d’erreur d’ordre kq

plus grand que l’ordre du terme principal lorsque l = 2.

On pourrait penser ´etablir pour le nombre I(lk; y

, y

, . . . . . . , y

) un th´eor`eme analogue aux th´eor`emes ´etablis dans [8] ou [5] pour les nombres Π(lk; Y, lk − h − 1). Mais cela semble ˆetre un probl`eme tr`es difficile.

Bibliographie

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Math. Soc. 3 (1952), 187–208.

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France M´em. 21 (1970).

[8] G. R h i n, R´epartition modulo 1 dans un corps de s´eries formelles sur un corps fini, Dissertationes Math. 95 (1972).

LABORATOIRE DE MATH´EMATIQUES CASE 322

FACULT´E DES SCIENCES DE SAINT-J´ER ˆOME AVENUE ESCADRILLE NORMANDIE-NIEMEN 13397 MARSEILLE CEDEX 20, FRANCE

Re¸cu le 19.7.1993

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