Zad.3 Zbada¢ krotno±¢ zer funkcji: a) g(z

Analiza zespolona 2019/2020

Zadania domowe - cz¦±¢ 2

Caªkowanie na pªaszczy¹nie zespolonej, twierdzenie i wzory Cauchy, szeregi Taylora i funkcje caªkowite

Zad.1 Obliczy¢:

a) R_γ|z|zdz, gdzie γ jest górnym póªokr¦giem |z| = 1 zorientowanym dodatnio b) R_γzdz, gdzie γ jest ªukiem paraboli y = x³ ª¡cz¡cym punkt (0, 0) z punktem 1 + i

c) R_γ^z_z, gdzie γ jest brzegiem górnej poªowy pier±cienia 1 < |z| < 2 zorientowanym dodatnio.

Zad.2 Korzystaj¡c ze wzoru caªkowego Cauchy obliczy¢:

a) H_C+(4,5) cos z

z⁵ dz, b) H_C+(0,3)

1 z²+4dz, c) H_C⁺_(i,2)

e^z

z²+¹₄ + _(z−i)^{sin z}3 + z cos z dz, d) H_C+(0,2)

e^z (z²−4)²dz. e) H_C+(0,¹₂)

sinh z z²⁰²⁰dz.

gdzie C⁺(a, r) oznacza okr¡g o ±rodku w a i promieniu r > 0 zorientowanym dodatnio.

Zad.3 Zbada¢ krotno±¢ zer funkcji:

a) g(z) = ^sin_{sinh z}^2(z) dla z ∈ C \ {z = kπi, k ∈ Z}.

b) h(z) = ^sinh_{sin z}^2(z) dla z ∈ C \ {z = kπ, k ∈ Z}.

korzystaj¡c:

1) z denicji krotno±ci zer funkcji holomorcznych, 2) z zadania 11 z zestawu 4 z ¢wicze«.

Zad.4 Znale¹¢ szereg Taylora f(z) = sinh²(z)o ±rodku w punkcie z0 = 0. Nast¦pnie wy- kaza¢, »e funkcja g(z) = z³sinh²(z)jest caªkowita. Zbada¢ krotno±¢ zera z0 = 0funkcji g.

Zad.5 Znale¹¢ szereg Taylora f(z) = sinh(z) o ±rodku w punkcie z0 = 0. Nast¦pnie wykaza¢, »e funkcja g(z) = ^√1_z sinh(√

z) jest caªkowita. Zbada¢ krotno±c zera z0 = 0 funkcji h(z) = z³² sinh(√

z).

Zad.6 Znale¹¢ szereg Taylora gaª¦zi gªównej funkcji f(z) w punkcie z0 = 0. Znale¹¢

promie« koªa zbie»no±ci.

a) f(z) = arcsin z, b) f(z) = arccos z, c) f(z) = arctgz, d) f(z) = arcctgz,

1

2

e) f(z) = arsinhz (area sinus hiperboliczny), f) f(z) = artghz (area tangens hiperboliczny).

Zad.7 Czy funkcja g(z) =√

zartgh(√

z)jest holomorczna w dysku D(0, 1). Czy z0 = 0 jest zerem funkcji g(z)? Je±li tak, to poda¢ jego krotno±¢.

ODPOWIEDZI

Zad.1 (a) πi, (b) ⁵₆ −₂₀⁹ⁱ, (c) 8.

Zad.2 (a) ₁₂^π, (b) 0, (c) 4π sin(i/2) − πi sin i, (d) 0, (e) _2019!^2πi . Zad.3 Funkcje g(z) i h(z) s¡ meromorczne w C.

(a) W punkcie z0 = 0funkcja g ma zero jednokrotne, w punktach zk= kπ, k ∈ Z\{0}

ma zero dwukrotne.

(b) W punkcie z0 = 0funkcja h ma zero jednokrotne, w punktach zk = kπi, k ∈ Z\{0}

ma zero dwukrotne.

Zad.4 Dla funkcji f(z) = sinh²(z)pochodne s¡ odpowiednio równe f^(2k+1)(z) = 2^2ksinh(2z) f^(2k)(z) = 2^2k−1cosh(2z). St¡d f^(2k+1)(0) = 0, f^(2k)(0) = 2^2k−1oraz sinh²(z) =P∞

n=1 2²ⁿ⁻¹

(2n)! z²ⁿ dla z ∈ C. Zatem f(z) ma w z0 = 0 zero rz¦du 2 (skorzysta¢ z zad. 11 z zestawu 4 z

¢wicze«).

Zad.5 g(z) = P^∞_n=0(2n+1)!^zn dla z ∈ C. Funkcja h(z) ma w z0 = 0zero rz¦du 2 (skorzysta¢

z zad. 11 z zestawu 4 z ¢wicze«).

Zad.6

a) f(z) = arcsin z = z + P^∞_n=1^(2n−1)!!_(2n)!! ^z_2n+1²ⁿ⁺¹, , r = 1 b) f(z) = arccos z = ^π₂ − z +P∞

n=1

(2n−1)!!

(2n)!!

z²ⁿ⁺¹ 2n+1

, r = 1.

c) f(z) = arctgz = P^∞_n=0(−1)^{n z}_2n+1²ⁿ⁺¹, r = 1.

d) f(z) = arcctgz = ^π₂ −P∞

n=0(−1)^{n z}_2n+1²ⁿ⁺¹, r = 1.

e) f(z) = arsinhz = z + P^∞_n=1(−1)^{n (2n−1)!!}_(2n)!! ^z_2n+1²ⁿ⁺¹, r = 1.

f) f(z) = artghz = ¹₂ln ^1+z_1−z
= P^∞_n=0 ^z_2n+1²ⁿ⁺¹, r = 1.

Zad.7 g(z) = √

zartgh(√

z) = P∞ k=0

z^k+1

(2k+1) ∈ H(D(0, 1)). Funkcja ma w z0 = 0 zero krotno±ci 1. (skorzysta¢ z zad. 11 z zestawu 4 z ¢wicze«).