Zad.1. Określ monotoniczność funkcji:

Nauczyciel: Marzena Mrzygłód Przedmiot: matematyka Klasa: 1 TAp

Temat lekcji: Monotoniczność funkcji - definicja Data lekcji: 27.04.2020

Wprowadzenie do tematu:

Przypomnienie poznanych już własności funkcji na ostatniej lekcji.

Zad.1.

Narysuj wykres funkcji 𝑦 = 2𝑥 − 4.

Podaj:

a) dziedzinę;

b) zbiór wartości;

c) miejsce zerowe;

d) wartość dla argumentu 45;

e) dla jakiego argumentu wartość wynosi 208;

f) czy punkt P=(-4;-12) należy do wykresu funkcji?

Odp.: a) D=R b) ZW=R c) x=2;

d) 𝑓(45) = 2 ∙ 45 − 4 = 90 − 4 = 86;

e) x=? ; f(x)=208 2x-4=208 2x=212 x=53

f) 𝑓(−4) = 2 ∙ (−4) − 4 = −8 − 4 = −12;

Instrukcje do pracy własnej:

Patrząc na wykres funkcji można zauważyć, że większym argumentom odpowiadają większe wartości funkcji. Jeśli 𝑥1< 𝑥₂ to 𝑥1< 𝑥₂/∙ 2 nie zmieni znaku nierówności

2𝑥1 < 2𝑥₂/−4 odjęcie od obu stron 4 też nie

2𝑥₁− 4 < 2𝑥₂− 4 co daje wartości funkcji w punktach x1 i x2

f(𝑥₁) < 𝑓(𝑥₂) więc funkcja jest rosnąca.

DEFINICJA

Funkcję 𝑓: 𝑋 → 𝑅 nazywamy rosnącą jeśli dla dowolnych argumentów 𝑥₁ ; 𝑥₂ ∈ 𝑋 spełniony jest warunek: 𝒋𝒆ś𝒍𝒊 𝒙_𝟏 < 𝒙_𝟐 , 𝒕𝒐 𝐟(𝒙_𝟏) < 𝒇(𝒙_𝟐) .

(Funkcję nazywamy rosnącą jeśli wraz ze wzrostem argumentów jej wartości również rosną.)

x 0 1

Y=2x-4 -4 -2

Przykłady funkcji rosnących:

DEFINICJA

Funkcję 𝑓: 𝑋 → 𝑅 nazywamy malejącą jeśli dla dowolnych argumentów 𝑥₁ ; 𝑥₂ ∈ 𝑋 spełniony jest warunek: 𝒋𝒆ś𝒍𝒊 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 , 𝒕𝒐 𝐟(𝒙𝟏) > 𝒇(𝒙_𝟐) .

(Funkcję nazywamy malejącą jeśli wraz ze wzrostem argumentów jej wartości maleją.) Przykład: 𝑓: 𝑅 → 𝑅 ; 𝑓(𝑥) = −¹

2𝑥 + 1.

Jeśli 𝑥1< 𝑥2 to 𝑥1< 𝑥2/∙ (−¹₂) zmieni znak nierówności −¹₂𝑥₁> −¹

2𝑥₂/+1 dodanie do obu stron 1 nic się nie zmieni −¹

2𝑥₁+ 1 > −¹

2𝑥₂+ 1 co daje wartości funkcji w punktach x1 i x2

f(𝑥₁) > 𝑓(𝑥₂) więc funkcja jest malejąca.

Przykłady funkcji malejących:

DEFINICJA

Funkcję 𝑓: 𝑋 → 𝑅 nazywamy stałą jeśli dla dowolnych argumentów 𝑥1 ; 𝑥2 ∈ 𝑋 prawdziwa jest równość: 𝐟(𝒙𝟏) = 𝒇(𝒙_𝟐) .

(Funkcję nazywamy stała jeśli różnym argumentom odpowiadają te same wartości.) Przykład: 𝑓: 𝑅 → 𝑅 ; 𝑓(𝑥) = −2.

Przykłady funkcji stałych:

DEFINICJA

Funkcję 𝑓: 𝑋 → 𝑅 nazywamy niemalejącą jeśli dla dowolnych argumentów 𝑥₁ ; 𝑥₂ ∈ 𝑋 spełniony jest warunek: 𝒋𝒆ś𝒍𝒊 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 , 𝒕𝒐 𝐟(𝒙𝟏) ≤ 𝒇(𝒙_𝟐) .

(Funkcję nazywamy niemalejącą jeśli wraz ze wzrostem argumentów jej wartości rosną lub są stałe.)

Przykłady funkcji niemalejących:

Funkcję nazywamy niemalejącą kiedy jest rosnąca lub stała.

DEFINICJA

Funkcję 𝑓: 𝑋 → 𝑅 nazywamy nierosnącą jeśli dla dowolnych argumentów 𝑥₁ ; 𝑥₂ ∈ 𝑋 spełniony jest warunek: 𝒋𝒆ś𝒍𝒊 𝒙_𝟏 < 𝒙_𝟐 , 𝒕𝒐 𝐟(𝒙_𝟏) ≥ 𝒇(𝒙_𝟐) .

(Funkcję nazywamy nierosnącą jeśli wraz ze wzrostem argumentów jej wartości maleją lub są stałe.)

Przykłady funkcji nierosnących:

Funkcję nazywamy nierosnącą kiedy jest malejąca lub stała.

DEFINICJA

Funkcję, która w całej swojej dziedzinie jest rosnąca, malejąca, stała, nierosnąca albo niemalejąca nazywamy monotoniczną.

Nie o każdej funkcji da się powiedzieć, że jest monotoniczna. Są funkcje niemonotoniczne lub przedziałami monotoniczne.

Praca własna:

Zad.1. Określ monotoniczność funkcji:

a) Funkcja, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje liczbę przeciwną.

b) Funkcja, która każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje jej sześcian.

c)

d)

e) f) x -4 8 0 2 -2 -1 10 3

y -8 6 1 4 -5 -2 7 5

x -5 -3 0 2 6 -1 5 1

y 10 6 1 -1 -5 4 2 0

g) h)

i) 𝑓(𝑥) =

dla 𝑥 ∈ (0; ∞);

j) 𝑓(𝑥) = (

)

dla 𝑥 ∈ 𝑅.

Informacja zwrotna:

Osoby, które się jeszcze nie logowały na platformie, proszę o kontakt przez komunikator na dzienniku w celu podania linku do logowania.

Rozwiązane zadania, wszelkie pytania i wątpliwości do zadań, tematu proszę przesyłać na adres:

matmaxmm121@gmail.com do dnia 29.04.2020 r.

Opracowała: Marzena Mrzygłód