Modele odpowiedzi do arkusza próbnej matury z OPERONEMMatematykaPoziom rozszerzony

Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl

1. Wyznaczenie ilorazu ciàgu

^ h a

_n ^:

^{q = 2}

i wzoru ogólnego:

a 6 2

n

n 1

$

=

^- . 1

Obliczenie drugiego i piàtego wyrazu ciàgu:

a

₂

= 12 , a

₅

= 96

. 1

U∏o˝enie równaƒ wynikajàcych z treÊci zadania: 2

x x x

2 12 1 3 2

4 96

2 12 1 4

96

3 2

2 4

96 3 2

12 1

0 0

+ + +

=

+ +

= +

+ +

= +

.

Rozwiàzanie równania:

x = 11 0 x = 5 5 , 0 x = 0

. 1

2. Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dok∏adnie opisanych 1 oznaczeƒ:

a b c , ,

– kàty odpowiednio przy wierzcho∏kach

A B C , ,

,

AC = 10

,

BC = 10 2

,

R = 10

.

Obliczenie sinusów kàtów (np. z twierdzenia sinusów):

sin , sin 2

2

2

= = 1

a b

. 1

Wyznaczenie kàtów trójkàta:

a = 45 c 0 a = 135 c , b = 30 c 0 b = 150 c

. 1 Wyznaczenie szukanego kàta trójkàta:

c = 105c

lub

c = 15c

. 1

3. Przekszta∏cenie wzoru funkcji do postaci:

f x ( )

x x

x x x

2 1

1 1 2

= + -

- + +

^ ^

^ ^ ^

h h

h h h

_{. 1}

Zapisanie wzoru funkcji w postaci:

f x ( ) = x + 1 / x ! R [ " - 2 1 , ,

^{. 1} Narysowanie wykresu funkcji

f

: prosta o równaniu

y = x + 1

bez punktów 1

, , , 2 1 1 2 - -

^ h ^ h

^.

Wyznaczenie wzoru funkcji

g

:

( ) ,

g x x ,

x x

0 1 1

2 2 1 2

dla dla

3 3

[ [

!

= - ! +

+ ^ - h - -

" h

"

( ,

,

^{. 1}

Narysowanie wykresu funkcji

g

. 1

Podanie zbioru wartoÊci funkcji

g : D

^-1

= - ^ 3 , 0 [ " , - 2

^{. 1}

4. Obliczenie wspó∏czynnika

b

:

b = - 16

. 1

Obliczenie wspó∏czynnika

c

:

c = 24

. 1

Przekszta∏cenie wyra˝enia

x

₁²

+ x

₂²do postaci umo˝liwiajàcej zastosowanie 1 wzorów Vi¯te’a:

x x 2 x x

1 2

2

1 2

+ -

^ h

^.

Obliczenie wartoÊci wyra˝enia

x

₁²

+ x

₂²:

x x 40

1 2

2

+

2

=

. 1

1

w w w. o p e r o n . p l

Modele odpowiedzi do arkusza próbnej matury z OPERONEM Matematyka

Poziom rozszerzony

Grudzieƒ 2007 Numer

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania Liczba

zadania punktów

Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl

5. Zapisanie d∏ugoÊci kolejnych boków czworokàta za pomocà wyrazów ciàgu 1 arytmetycznego:

a a , + r a , + 2 r a , + 3 r

.

Wykorzystanie twierdzenia o czworokàcie opisanym na okr´gu do zapisania 1 równania:

a + a + 2 r = a + + r a + 3 r

.

Rozwiàzanie równania i zapisanie wniosku:

r = 0

, wi´c boki majà równe d∏ugoÊci, 1 czyli czworokàt jest rombem.

6. Przekszta∏cenie równania do postaci:

x a ^ + 7 h = a

²

- 49

^{. 1} Zapisanie warunków, które muszà byç spe∏nione, aby równanie mia∏o 1 nieskoƒczenie wiele rozwiàzaƒ:

a + 7 = 0 / a

²

- 49 = 0

.

Rozwiàzanie równania:

a

²

- 49 = 0

:

a = - 7 0 a = 7

. 1 Rozwiàzanie równania

a + 7 = 0

i wyznaczenie wartoÊci parametru

a

, dla którego 1 równanie ma nieskoƒczenie wiele rozwiàzaƒ:

a = - 7

.

7. Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dok∏adnie opisanych 1 oznaczeƒ, np:

ABCD -

dany trapez,

AB = a CD , = b K L , ,

– Êrodki przekàtnych

odpowiednio

AC BD ,

,

M N ,

– punkty przeci´cia prostej

KL

odpowiednio z ramionami

AD BC ,

.

Wyznaczenie d∏ugoÊci odcinka

KN

:

KN a

= 2

. 1

Wyznaczenie d∏ugoÊci odcinka

LN

:

LN b

= 2

. 1

Wyznaczenie d∏ugoÊci odcinka

KL

:

KL a b

= - 2

. 1

8. Obliczenie odleg∏oÊci

d

Êrodka okr´gu

S

od prostej

y 4 x

3 2

= - +

:

d = 2

. 1

Zapisanie warunku stycznoÊci prostej i okr´gu i podanie d∏ugoÊci promienia

okr´gu

r

:

d = r

,

r = 2

. 1

Zapisanie równania okr´gu:

^ x - 10 h

²

+ ^ y + 3 h

²

= 4

^{. 1} 9. Podanie dziedziny równania:

D , 2

2

= r r & 3 r 0

^{. 1}

Przekszta∏cenie równania trygonometrycznego do postaci: 1

x

tg cos x ^ 2 sin x + 1 h = 0

^.

Zapisanie alternatywy równaƒ:

tg x = 0 0 cos x = 0 0 2 sin x + 1 = 0

. 1 Rozwiàzanie w wyznaczonej dziedzinie równania

tg x = 0 : x ! " r r , 2 ,

^{i równania 1}

cos x = 0 : x ! Q

.

Rozwiàzanie w wyznaczonej dziedzinie równania

2 sin x + 1 = 0

:

x 6 , 7

6

! & r 11 r 0

^{. 1}

Zapisanie zbioru rozwiàzaƒ równania

tg x ^ 2 sin cos x x + cos x h = 0

^{: 1}

, , ,

x 6

7 6 11 2

! r & r r r 0

^.

2

w w w. o p e r o n . p l

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Numer Modelowe etapy rozwiàzywania zadania Liczba

zadania punktów

Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl

10. Wyznaczenie mocy zbioru

X

:

2 n 1

= 2 +

X c m

^{. 1}

Wyznaczenie liczby zdarzeƒ sprzyjajàcych zdarzeniu

A

– wylosowanie liczby 1 parzystej i nieparzystej:

A n 1 n

1 1

= +

c m m c

^.

Obliczenie prawdopodobieƒstwa zajÊcia zdarzenia

A

:

P A ( ) n n

2 1

= 1 +

+

. 1

Zapisanie nierównoÊci:

>

n n

2 1

1 13

7 +

+

. 1

Rozwiàzanie nierównoÊci w

N

⁺:

n ! " 1 2 3 4 5 , , , , ,

^{. 1} 11. Wykonanie rysunku z oznaczeniami i zaznaczenie na nim odpowiedniego kàta 1

dwuÊciennego (podstawa ostros∏upa –

ABCD

, kàt dwuÊcienny –

BED

).

Obliczenie d∏ugoÊci kraw´dzi bocznej:

b = a 5

. 1

Obliczenie d∏ugoÊci

h

:

h a 5 4 5

=

. 1

Wyznaczenie d∏ugoÊci przekàtnej podstawy:

DB = 2 a 2

. 1 Zastosowanie twierdzenia cosinusów dla trójkàta

DBE

: 1

a a a a cos

5 4 5

5 4 5

2 5

4 5 5 4 5

2 2

+ - a

e o e o e o e o 2 a 2

2

= _ i

^.

Obliczenie szukanego cosinusa:

cos 4

= - 1

a

. 1

3

w w w. o p e r o n . p l

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Numer

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania Liczba

zadania punktów

Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl