Twierdzenie Titchmarsha o splocie i teoria Dufresnoy

J . Mi k u s i ń s k i (Warszawa), S. Św i e r c z k o w s k i (Wiocław)

Twierdzenie Titchmarsha o splocie i teoria Dufresnoy

W roku 1926 udowodnił E. C. Titchmarsh [9] następujące twier­

dzenie :

(I) Jeżeli f i g są funkcjami sumowalnymi w [0, T] i

to istnieją takie liczby nieujemne tl i t2, spełniające nierówność t1~ir t2 > T, że f = 0 p.w. w [0 , i g = 0 p. w. w [0 , t2].

Do twierdzenia tego doszedł Titchmaish na marginesie swoich badań dotyczących rozmieszczenia zer całki Fouriera

Pierwotny dowód był trudny i skomplikowany. Inny dowód, pole­

gający na badaniu szybkości wzrostu funkcyj typu (1) podał uczeń Titchmarsha M. M. Crum [1]. Dowód jego jest znacznie prostszy, ale także wymaga subtelnych rozważań w zakresie funkcyj analitycznych i jest trudny do zapamiętania. W roku 1947 L. Schwartz, nie znając wyników Titchmarsha i Cruma, wypowiedział twierdzenie (I) jako hipo­

tezę, która nasunęła mu się w związku z pewnymi zagadnieniami z teorii dystrybucyj. W tymże roku J. Dufresnoy [2], również nie znając wyników Titchmaisha i Cruma, potwierdza hipotezę Schwartza i dowód publikuje w paryskich Comptes Bendus. Jest to raczej szkic dowodu i zawiera trudną do uzupełnienia lukę. W następnym roku 1948 J. Dufresnoy publikuje nową pracę [3] pod dziwnym trochę tytułem Autom du theoreme de Phragmen-Lindelóf, co znaczy dosłownie „Około twierdzenia Phra- gmena-Lindelófa” . Jak wynika z odsyłacza „C1)” tej pracy, uzupełnia ona

/ fLt— T)g'{r)dr = 0 p. w .i1) w [0, T], o

T

(1) o

(x) p. w. = prawie wszędzie.

60 J. Mikusiński, S. Świerczkowski

lukę dowodu, podanego w Comptes Eendus. Choć geneza pracy jest związana niewątpliwie z tym dowodem, głównym j^j tematem są pewne twierdzenia o funkcjach podharmonicznych. Teoria tam przedstawiona jest prosta i elegancka. Nie jest jednak bezpośrednio widoczne w jaki sposób wynika z niej twierdzenie Titchmarsha. Pracę Dufresnoy przeana­

lizował S. Świerczkowski i zauważył, że twierdzenie Titchmarsha daje się z niej wysnuć już znacznie wcześniej niż to robi autor. W ten sposób droga dowodu znacznie się skiaca i pozwala pominąć bardziej skomplikowaną część teorii Dufresnoy.

W roku 1953 J. Mikusiński i C. Ryll-Nardzewski ([7], [8]) podali nowy dowód twierdzenia Titchmarsha, posługując się wyłącznie metodami funkcyj zmiennej rzeczywistej. Dowód ten opiera się na pewnym twier­

dzeniu o momentach.

Twierdzenie Titchmarsha znalazło zastosowanie jako podstawa rachunku operatoiów [4]. Gra tutaj rolę wariant twierdzenia Titchmarsha, gdzie zamiast przedziału skończonego [0, T] rozważa się przedział nie­

skończony [0, oo). Wariant ten daje się trywialnie wyprowadzić z twier­

dzenia (I), ale można go też bezpośrednio wyprowadzić stosunkowo łatwym sposobem ([4], str. 15-23). Oparcie rachunku operatorów na twierdzeniu Titchmarsha (zamiast na transformacji Laplace’a) pozwo­

liło uzyskać wiele nowych twierdzeń o równaniach różniczkowych cząst­

kowych. Dla uzyskania mocniejszych twierdzeń z tej dziedziny poży­

teczna jest także ogólna postać (I) twierdzenia Titchmarsha [5].

• Z pośród dotychczasowych dowodów twierdzenia Titchmarsha naj­

prostszy wydaje się dowód Dufresnoy-Świerczkowskiego oraz dowód Mikusińskiego-Nardzewskiego. Obydwa dowody można zresztą przepro­

wadzić jednakowo aż do miejsca, gdzie w jednym dowodz'e stosuje się funkcje podharmoniczne a w drugim twierdzenie o momentach. Funkcje podharmoniczne są aparatem pojęciowo trudniejszym, udowodnienie zaś twierdzenia o momentach jest rachunkowo żmudniejsze.

W tym artykule zamierzamy zapoznać Czytelnika w sposób przy­

stępny z teorią Dufresnoy i pokazać, jak z niej wynika twierdzenie Titch­

marsha.

Dalsza część artykułu jest podzielona na 3 części. W pierwszej przy­

pominamy i uzupełniamy potrzebne wiadomości o funkcjach harmoni­

cznych i podharmonicznych. W drugiej przedstawiamy teorię Dufresnoy.

Wreszcie w trzeciej podajemy dowód twierdzenia Titchmarsha. Dla jak najbardziej przejrzystego przedstawienia teorii Dufresnoy, przenieśliśmy do ogólnej części pierwszej wyprowadzenie pomocniczego wzoru (2), będącego konsekwencją klasycznego wzoru Poissona. Dzięki temu część druga stała się bardzo krótka.

C z ę ś ć I . P r z y p o m n i e n i e i u z u p e ł n i e n i e p o t r z e b n y c h w i a d o m o ś c i o f u n k c j a c h h a r m o n i c z n y c h i p o d h a r m o n i c z n y c h

1. Funkcje harmoniczne. Funkcję U (z) nazywamy harmoniczną w pewnym obszarze zmiennej zespolonej z, jeżeli jest częścią rzeczywistą pewnej funkcji analitycznej

f{z) = U{z) + i V( z),

holomorficznej w tym obszarze. Istnieją też inne definicje równoważne.

Część urojona V(z) jest także funkcją harmoniczną ponieważ jest częścią rzeczywistą funkcji analitycznej —i f {z).

Część rzeczywista funkcji zespolonej

jest funkcją harmoniczną w każdym obszarze nie zawierającym punktu zot bo jest to jedyny punkt płaszczyzny, gdzie f(z) nie jest holomorficzna.

Wprowadzając oznaczenia z = гвгв, z0 — г0егв° , mamy гегв + г0егв° (гегв + г0егв° ) (ге~гв — г0е~гв° )

^ гегв — г0 егв° (гегв — г0 егв° ) (ге~гв — г0 е~гв° ) г2 — Го + i2rr0 sin (в — б0)

r2_ 2rrocos(0 —0o) + rJ 1

wobec tego rozważana funkcja harmoniczna może być przedstawiona w postaci

U(z) = r2 — rl

r2 — 2 rr0 cos ( в — в0) + Го

Jeżeli f{z) jest funkcją całkowitą, a więc holomorficzną w całej płaszczyźnie zmiennej z, to U (z) jest funkcją harmoniczną również w całej płaszczyźnie zmiennej z. Logarytm tej funkcji

log/(z)

jest również funkcją analityczną, ale na ogół nie całkowitą, gdyż po­

siada punkty logarytmiczne tam, gdzie f(z) staje się zerem. Jeżeli punkty takie istnieją, to funkcja nie jest nawet jednoznaczna, jest mianowicie

logf{z) = \og\f{z)\ + i9irgf(z) + i-21cn {Tc całkowite)

i liczba Tc zmienia się przy każdym okrążeniu punktu logarytmicznego.

Tylko część rzeczywista tej funkcji lo g i/И i

62 J. Mikusiński, S. Świerezkowski

jest jednoznacznie określona; jest to funkcja harmoniczna w każdym obszarze nie zawierającym zer funkcji całkowitej f(z). Zera funkcji f(z) są jedynymi punktami nieciągłości funkcji log|/(s)|.

Jeżeli z0 jest zerem funkcji całkowitej / ( 2), to można napisać

gdzie f0(z) jest funkcją całkowitą różną od zera w punkcie z0. Wtedy

Ponieważ log|/0(,2)| jest funkcją ciągłą w otoczeniu punktu z0, widać stąd, że funkcja log ]/(2)| jest w otoczeniu z0 całkowalna wzdłuż każdej krzywej regularnej przechodzącej przez ten punkt. Stąd wynika, że funkcja log|/(г)| jest całkowalna wzdłuż każdego skończonego łuku regularnego, także w przypadku, gdy ten łuk przechodzi przez jej punkty nieciągłości.

Funkcje typu log|/(2)| będą grały szczególną rolę w dowodzie twier­

dzenia Titchmarsha.

Funkcje harmoniczne mają następującą własność:

W każdym punkcie 2, gdzie U (z) jest określona, zachodzi dla dosta­

tecznie małych g równość:

Własność ta wyraża, że średnia po okręgu z funkcji harmonicznej jest równa wartości funkcji w środku okręgu. Może być ona przyjęta także za definicję funkcji harmonicznej. Taka definicja prowadzi w sposób naturalny do pojęcia funkcji podharmonicznej.

2. Funkcje podharmoniczne. Funkcję rzeczywistą zmiennej zespo­

lonej P(z) nazywamy podharmoniczną w pewnym obszarze, jeżeli

1) jest ciągła w tym obszarze z wyjątkiem co najwyżej izolowanych punktów, w których ma granicę — 00;

2) w każdym punkcie ciągłości 2 zachodzi dla dostatecznie małych g nierówność

Jeżeli przyjmiemy? co jest naturalne, że w punktach nieciągłości P(z) przyjmuje wartość — oo, to nierówność ta będzie spełniona dla wszystkich punktów obszaru.

Wobec tej definicji każda funkcja harmoniczna jest zarazem podhar- moniczna, ale nie na odwrót. Przykładem funkcji podharmonicznej ale

/ ( 2) = (z — z0)nf0{z) (n naturalne)

log|/(«)| = n\og \z 20| -f- log |/0(2) I.

o

o

nie harmonicznej jest funkcja log\f(z)\ w obszarze zawierającym zera funkcji holomorficznej f(z).

Jeżeli funkcja+ P(s) jest podharmoniczna, to podharmoniczna jest również funkcja P(s), która jest równa P(z) tam, gdzie P(z) jest do­

datnia, a poza tym jest równa zeru.

Dla funkcyj podharmonicznych zachodzi następujące twierdzenie zwane zasadą majoranty harmonicznej:

Jeżeli P(z) jest funkcją podharmoniczną, a U (z) funkcją harmoniczną w pewnym obszarze regularnym ograniczonym, i jeżeli różnica P(z) — U(z) jest ograniczona z, góry w tym obszarze, a we wszystkich jego punktach brze­

gowych z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby takich punktów ma gra­

nicę niewiększą od 0, to w całym obszarze zachodzi nierówność P(z) ^ U{z).

Na przykład funkcja podharmoniczna log^l ma na okręgu |я|*= 1 te same wartości co funkcja harmoniczna U (z) = 0 ; wewnątrz koła zachodzi nierówność log |z| < 0.

3. Całka Poissona. Klasyczne jest twierdzenie:

Jeżeli U (z) jest funkcją rzeczywistą, całkowalną wzdłuż okręgu \z\ = P i jest, z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów tego okręgu, funkcją ciągłą, to całka Poissona

1

2tz

f

gdzie Z — Ret@ i r < P przedstawia funkcję zmiennej z = гегв, która jest harmoniczna w kole \z\ < P i ma granicę U (Z) w każdym punkcie okręgu, gdzie U jest ciągła.

Wyprowadzimy stąd następujący wniosek:

Niech U (Z) będzie funkcją rzeczywistą, całkowalną wzdłuż pólokręgu

\Z\ = P, Im Z ^ 0, i ciągłą z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, gdzie ma granicę - o o . Jeżeli P(z) jest funkcją podharmoniczną w półkolu \z\ < P, Im z > 0, której wartości graniczne na ograniczającym pólokręgu są niewiększe od U {Z), a na ograniczającej średnicy niewiększe od 0, to wewnątrz półkola zachodzi nierówność

P(z) 1 *K ( z , Z ) U ( Z ) d e , 0

P 2 — r2 P 2 — r2

P 2 — 2Pr cos ( 0 — Q) + r2 P 2 — 2Pr cos ( 0 + в) + r2 {z = reid, Z = Bei@).

(2⁾

gdzie

К (z, Z) =

64 J. Mikusiński, S. Świerczkowski

D o w ó d . Niech V(Z) będzie dowolną funkcją rzeczywistą, ciągłą i ograniczoną na półokręgu i spełniającą na nim nierówność U {Z) < V (Z).

Funkcję tę przedłużamy na cały okrąg, zakładając, że V(Z) = — V{Z) dla \Z\ = 1, Im Z < 0 ,

gdzie Z oznacza liczbę sprzężoną do Z. Przedłużona funkcja jest ciągła na całym okręgu z wyjątkiem być może punktów Z = —1 i Z = 1. Wpro­

wadźmy jeszcze oznaczenie

7 ? 2 __

J{z, Z) --- v ’ ' В1 2- 2 В г с о 8 { в - в ) + г*

Można wtedy napisać

K { z , Z ) = J ( z , Z ) - J { Z , Z ) = J(z, Z) - J(z, Z).

Całka Poissona

У {z) J J ( z , Z ) V ( Z ) d e

—7Г

przedstawia funkcję harmoniczną i ograniczoną(2) w kole \z\ < R, która ma granicę V(Z) w każdym punkcie okręgu z wyjątkiem być może punktów Z — —1 i Z = 1. Funkcję tę można przedstawić jako sumę dwóch całek

Zastępując w pierwszej z tych całek 0 przez —0 i — konsekwentnie — Z przez Ź, otrzymujemy

1 r _ _

—

J

i wobec tego

1 n

V(z) = —- Г K ( z , Z ) V ( Z ) d 0 .

2 tz J

o

Ponieważ dla każdego rzeczywistego x jest K ( x , Z) = J ( x , Z) — J { x, Z) —

= 0, więc widać stąd, że

F(a?) = 0 dla — 1 < x < 1 .

Eóżnica P(z) — V(z) jest więc ograniczona z góry w rozważanym półkolu i ma wartości graniczne niewiększe od 0 we wszystkich punktach

1 n

(a) Z \V(Z)\ < M wynika \V{z)\ < f J(z,Z)M dd = M.

ograniczającego półokręgu i średnicy, z wyjątkiem co najwyżej punktów z = 1 i z — —1. Stąd wynika na podstawie twierdzenia o majorancie harmonicznej, że w całym wnętrzu półkola zachodzi nierówność

P ( 0) < F ( 0).

Niech teraz Vn{Z) będą funkcjami ciągłymi i ograniczonymi na pół­

okręgu, spełniającymi nierówność U (Z) < Fn(Z) i malejącymi monoto- nicznie do U {Z) przy n -> oo. Wtedy wewnątrz półkola będzie

1 "

P(H) < 2^ J Щ г , Z)V„(Z)d@.

Przechodząc do granicy, otrzymujemy stąd nierówność (2).

4. Rozwinięcie jądra К w szereg. Zgodnie z § 2 funkcja J(z, Z) jest częścią rzeczywistą funkcji

ZĄ-z 2zjZ z

— — = 14--- 4 — = 1 + 2 — + 2

Z - z 1 - z / Z Z

Ш '

= l + 2 ^ « “ e- e) + 2 + wobec tego —J ( ż , Z ) jest częścią rzeczywistą funkcji

Z + z ^ 22/Z

Z - г = ~ 1 _ 1 - 2 / Z - 4 + . . . =

= - 1 - 2— e~4e+@)

R 2 r

~R

2

i e -2i(e+© >

Stąd wynika, że К (z, Z) jest częścią rzeczywistą funkcji

= 4 — sinćMe г® + 4 ( — ) sin20ne 2г® + ...

Z - z Z - ź R \R)

Zatem

(3) K ( z , Z ) = 4-^-sin0sin0+f-ć-1 sin20sin20 + ...

Z równości tej znajdujemy z łatwością związek TC

(4) — f # ( z , Z)sin0d0 =; 4 sin 0 ^

2n J o R

który będzie dalej potrzebny.

Z rozwinięcia К (z, Z) widać też, że gdy R jest duże w stosunku

Roczniki P.T.M. Prace Matematyczne IV. 5

66 J. Mikusiński, S. Świerczkowski

do r, to K ( z , Z ) jest w przybliżeniu równe 4 — sin0 sin O. Okażemy, żer

(5) K ( z , Z ) = 4^sin0sin6>+-^-sin(9-.A,

R R 2

gdzie \A\ < 2 4 dla R > 2r.

Przez indukcję łatwo udowodnić nierówność

|sinw<9| < wsin<9 (0 < 0 < 7Г, n naturalne).

Istotnie, jest ona oczywista dla n — 1. Gdy zaś zachodzi dla pewnego ustalonego n, to

|sin(n+l)<9| < |sinw<9cos0| +|cosw<9sin<9|<

< nsin(9-l+l*sin<9 = (w + l)s in 0 , przez co dowód nierówności jest zakończony.

Wobec tego, jeżeli po prawej stronie wzoru (3) odrzucimy pierwszy wyraz, to pozostała reszta będzie bezwzględnie mniejsza od

r \2 / r \3

— 1 •2sm(9 + 4l — I -3sin0 + ...

Korzystając z tożsamości

2ж2 + 3я3+... = ^{— - ~ r} (|®|<1), (1 —a?)2

możemy sumę ostatniego szeregu napisać w postaci r2 . 4:{2-r/R )

sm0 --- R 2 ( l - r / J ?)2

Stąd widać, że liczba A w (5) jest dla R > 2r bezwzględnie mniejsza od 24.

Część II. Teoria Dufresnoy

5. Definicja funkcji Dufresnoy. Niech R{z), gdzie z = x-\-iy, będzie dowolną funkcją o wartościach rzeczywistych w półpłaszczyźuie у > 0, całkowalną wzdłuż każdego półokręgu \z\ — г, у > 0. Przez funkcją Dufresnoy rozumiemy funkcję

Dp(r) = ^ / -P(»)<*» (0 < r < o o ),

*r

gdzie całka krzywoliniowa jest wzięta wzdłuż półokręgu Lr{\z\— r, у > 0) w kierunku dodatnim (przeciwnym ruchowi wskazówek zegara).

Przy oznaczeniu z = гега, x = rcos0 funkcję Dufresnoy można napisać w postaci

л W

BP(r) = — 2 r

I

0 Z definicji wynikają wzory:

Dqp = «Dp (a dowolna liczba rzeczywista),

D p + Q = T>^p_^q = ^{Dp — Dq,} Dp < dla P < ф .

6. Trzy twierdzenia Dufresnoy.

Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja P jest podłiarmoniczna w półpłasz- czyźnie у > 0, całkowalna wzdłuż każdego półokręgu \z\ = г, у > 0, i jej wartości graniczne na prostej у = 0 są niewiększe od 0, to funkcja DP(r) jest niemalejąca w całym przedziale (0 < r < oo).

D o w ód. Wobec przyjętych założeń można w równości (2) zastąpić TJ(Z) przez P{Z):

1 "

(6) P(z) < — J K ( z , Z)P(Z)d@.

0

Mnożąc teraz obie strony przez sin0 i całkując względem 0 w granicach od 0 do тс, mamy stąd po przestawieniu z prawej strony kolejności całko­

wania i uwzględnieniu równości (4)

n n

JP (z )s m6d6 < — J P ( Z ) s i n 0 d 0

o o

i wobec tego BP(r) < DP(P) (r < R).

Funkcja BP(r) jako niemalejąca ma granicę (skończoną lub oo) BP( oo). Jeżeli P spełnia założenia twierdzenia 1, to spełnia je również funkcja P, istnieje więc granica (skończona lub oo) + B£(oo). Natomiast moduł |P| nie jest na ogół funkcją podharmoniczną i granica P|Pj(oo) a priori nie musi istnieć.

Twierdzenie 2. Jeżeli P spełnia założenia twierdzenia 1 i istnieje granica skończona DP( oo) to również istnieją skończone granice B P (oo) i D|p,(oo).

f +

D o w ó d . Ponieważ P < P , więc BP < Bfc i wobec monotoniczności

. +

Bp istnieje BP(oo) ^ B £ (oo). Z równości zaś |P| = 2P —P wynika D|Pi = 2Bfr—Bp i wobec tego Р (р)(оо) = 2DP(oo)—DP(oo).

68 J. Mikusiński, S. Świerczkowski

T w i e r d z e n i e 3. Jeżeli P spełnia założenia twierdzenia 1 oraz m oo) < O O , to

P(z) < y-Dp(oo).

D o w ó d . Podstawiając (5) do (6), mamy

2 г г r2 Г

P (.) < ^ g S i n 6

I

o o

Uwzględniając, że dla В > 2r jest \A\ < 24, widzimy, że ostatnia całka jest niewiększa od

7t

24 J|P(Z)|sin(9d<9 ( B > 2 r ) . o

Stąd wynika

P { z)

przy В -> oo otrzymujemy żądaną nierówność.

7. Uwagi o teorii Dufresnoy. Przeczytanie tego paragrafu jest naj­

zupełniej zbędne, gdy chodzi wyłącznie o dowód twierdzenia Titchmarsha.

U w aga 1. Założenie całkowalności P na półokręgach można pominąć.

Wtedy jednak funkcja JDP{r) może nie być zdefiniowana dla pewnych wartości r, nie tworzących punktów skupienia. Mimo to nierówność Dp{r) < Dp{B) w dowodzie twierdzenia 1 zachowuje się dla okręgów wymijających punkty nieciągłości funkcji P. Funkcja Pp(r) pozostaje więc monotoniczna w całym przedziale (0 , oo) z wyłączeniem punktów r, gdzie nie jest zdefiniowana. W tych punktach można dodatkowo przyjąć Dp(r) = DP{r-\~). Wszystkie twierdzenia zachowują się wówczas bez zmian.

U w aga 2. Analogicznie do twierdzenia 2 można udowodnić, że jeżeli Dp{r) — o(r), to również Dp{r) = o(r). Wtedy twierdzenie 3 można wzmocnić, zastępując w nim założenie D p ( o o ) < oo przez założenie słabsze Dp{r) = o(r).

U w a ga 3. Wobec oczywistej nierówności Dp(oo) <D|P|(oo) można by w twierdzeniu 3 zamiast D £ ( o o ) < oo założyć, że D iP|(oo) < oo,

co byłoby równoważne dzięki twierdzeniu 2. Jednakże w zastosowaniach wygodniejszy jest pierwszy warunek, gdyż łatwiej go można sprawdzić, zwłaszcza wtedy, gdy funkcja P jest od góry ograniczona, a od dołu nie­

ograniczona.

U w aga 4. Z całej teorii funkcyj podharmonicznych Dufresnoy wykorzystuje tylko nierówność (6), która ma zachodzić zarówno dla P(z) jak i dla P{z). Teoria jego przenosi się więc na klasę wszystkich funkcyj+

F(z) o wartościach rzeczywistych, określonych dla у > 0 i spełniających wraz z F(z) warunek (6). Warunek (6) wyróżnia punkt z — 0, który + oczywiście jest zupełnie nieistotny dla całej teorii. Można by wziąć ana­

logiczne warunki dla dowolnych innych punktów osi a? i w ten sposób rozszerzyć jeszcze klasę rozważanych funkcyj. Interesujące też może byłoby rozstrzygnąć, czy występujące w teorii półokręgi można by za­

stąpić przez inne drogi całkowania?

Część III. Dowód twierdzenia Titchmarsha

8. Inna postać twierdzenia Titchmarsha. Twierdzenie (I) można wypowiedzieć w następującej, równoważnej postaci:

(II) Jeżeli funkcje f i g spełniają założenia twierdzenia (I); to przynaj­

mniej jedna z nich jest równa zeru p. w. w [o, ł n

Jest widoczne, że (II) wynika z (I). Aby udowodnić wynikanie w odwrotną stronę, oznaczmy odpowiednio przez [0 , <x] i [0 , t2] największe przedziały, w których / i g są równe zeru p. w. Wtedy

t t — u

W ) = / / ( * — r)g[r)dt =

J

o o

dla t — <i + <2 + u, u > 0. Jeżeli zachodzi (II), to funkcja h nie może znikać p. w. w żadnym prawostronnym otoczeniu punktu + Stąd wynika

^ T.

9. Wprowadzenie transformat Fouriera. Z założenia

t

J f ( t — r)g(t)dr = 0 p. w. w [0 ,T ] o

wynika

t t

I(z) = j е~1г{Т~1)dt j f(t — r)g(r)dr = 0 .

o o

Całkę iterowaną I{z) można napisać jako całkę podwójną

A

obszarem całkowania jest tu trójkąt A, określony nierównościami 0 < r <

< t < T. Przez podstawienie t = T + u + v , t = \T-\-v, otrzymujemy stąd I(z) = f f ei« “+v>f ( i T + u ) g ( i T + v ) d u d v ,

70 J. Mikusmski, S. Świerczkowski

gdzie obszar całkowania В jest trójkątem określonym nierównościami

— < u, — < V, u-\-v ^ 0* Można napisać

я -//+//,

B + C в o

gdzie G jest trójkątem u < v < %T, 0 < u + v, B + C zaś kwadratem

— \T + - £ T < v < \T.

Wobec równości JJ = I(z) — 0 mamy

в

f § e%euf(\ T + u )e X!m g{\ T +v)dudv = f j e lz(‘u+v^f{:kT + u )g{^ T + v)dudv.

B+O c

Jeżeli Im z > 0, to czynnik et0(tł+t,), występujący w ostatniej całce, jest co do modułu niewiększy od 1. Wobec tego mamy nierówność

Т / 2 T/2

(7) | / е*"1{ЪТ + и)Ли f eU№g{%T+v)dv\ +

- T /2 - T /2

< J J | /(£ T + u )g {\ T + v) | dudo (Imz > 0).

o

10. W prowadzenie fu n kcyj Dufresnoy. Wprowadźmy funkcje

T/2

F{z) = l ° g ^ r J e ^ f W + u W u

(8) ^T/2

T/2

G(z) = log77-

gdzie (r0 J

-T/2

F n

Tl 2 272

= J |/(рч-«)|ж », e„ = ^f

- T ( 2 ^{- T / 2}

W przypadku .F0 = 0 lub G0 = 0 wzory (8) tracą sens, ale wtedy jest / = 0 lnb g = 0 p. w. w [0, T] i nic nie ma do dowodzenia. Przyjmijmy więc w dalszym ciągu, że F 0 > 0 i G0 > 0.

T Ъ definicji funkcji F(z) widać, że dla у = Im s ^ 0 jest F(z) < — у

+ T 2

i wobec tego także F{z) < — y. Stąd wynika u i

T T r T r T

Щ + —Dy = J ydx = — J sin26d6 = у i dalej

Dla funkcji F(z) są więc spełnione założenia twierdzenia 3. Wobec tego jest

(9) F(z) < yDF{oo) (y > 0).

Zupełnie tak samo dochodzimy do nierówności G{z) < уВв (ос) (у ^ 0).

Ponieważ prawa strona nierówności (7) jest niewiększa od F 0G0, więc po podzieleniu tej nierówności przez F 0G0 i zlogarytmowaniu otrzy­

mujemy

1(г) + 0( г ) < О.

Dla odpowiednich funkcyj Dufresnoy otrzymujemy stąd nierówność

— -Djf +Q 0 .

Ale na podstawie twierdzenia 1 funkcje B F i T>a są niemalejące, z ostatniej więc nierówności można łatwo wywnioskować, że zachodzi co najmniej jedna z nierówności

(10) B F < 0 lub < 0.

li. Zakończenie dowodu. Przypuśćmy, że zachodzi pierwsza z nie­

równości (10). Wtedy mamy w granicy D (oo) ^ 0 i wobec (9) jest F(z) < 0 dla Im z > 0. Wobec definicji funkcji F(z) otrzymujemy stąd dla z = iy nierówność

Т /2

| / < Г ' " 7 ( * Г + « ) * * | < П ( y > 0 ) .

-TJ2

Bozbijmy całkę pod znakiem modułu na sumę dwóch całek:

0 T /2

f + J >

- Т / 2 0

ponieważ druga z tych całek jest ograniczona liczbą

T/ 2

j \l(\T+u)\du = F „

0

więc pierwsza z nich musi być ograniczona liczbą F 0Ą-Fl . Można to na­

pisać, wykonując podstawienie u = — v:

T/ 2

f evvf{\ T -v )d v | ^ F 0+ F 1 { y > 0).

( U )

72 J. Mikusiński, S. Świerczkowski

Dalej wystarczy się oprzeć na następującym twierdzeniu o momen­

tach ([6], [4] str. 18):

Jeżeli funkcja f(t) jest sumowalna w przedziale [0 , T] i istnieje taka liczba Nj że

T

|J enłf{t)dt\ ^ N dla n = 1 , 2 , . . . , o

to /00 = 0 p. w. w przedziale [O, Tj.

Na podstawie tego twierdzenia wynika z nierówności (11), że f(%T — v) = O dla prawie każdego v z przedziału [0 , \T~\ czyli f(t) = 0 p. w. w [О, 1Т]. Eówność tę otrzymaliśmy w przypuszczeniu, że zachodzi pierwsza z nierówności (10). Gdyby zachodziła druga z nierówności (10), to w podobny sposób otrzymalibyśmy g(t) = 0 p. w. w [0 , Tym samym dowód twierdzenia Titchmarsha jest zakończony.

Literatura

[1] M. M. C ru m , On the resultant of two functions, The Quarterly Journal of Mathematics, Oxford Series 12, № 46 (1941), str. 108-111.

[2] J. D u f r e s n o y , Sur le produit de composition de deux fonetions, Comptes Rendus de l ’Academie des Sciences 225 (1947), str. 857-859.

[3] — Autour du theoreme de Phragmen-Lindeldf, Bulletin des Sciences Mathó- matiques 72 (1948), str. 1 7-22.

[4] J. M ik u s iń s k i, Bachunek operatorów, Warszawa 1957.

[5] — Le ealcul operationnel d'intervalle fini, Studia Mathematica 15 (1956), str. 2 25-25 1.

[6] — Bemarks on the moment problem and a theorem of Picone, Colloquium Mathematicum 11,2 (1951), str. 138-141.

[7] — A new proof of Titchmarsh's theorem on convolution, Studia Mathematica 13 (1953), str. 5 6 -5 8 .

[8] J. M ik u s iń s k i and C. R y l l- N a r d z e w s k i , A theorem on bounded mo­

ments, Studia Mathematica 13 (1953), str. 5 1-55.

[9] E . C. T i t c h m a r s h , The zeros of certain integral functions, Proceedings of the London Mathematical Society 25 (1926), str. 283-302.

Ян Минусинский (Варшава) С. Сверчковский (Вроцлав)

У Т В Е Р Ж Д Е Н И Е ТИ ТЧ М АРШ А О С В Ё Р Т К Е И ТЕ О Р И Я Д Ю Ф Р ЕН УА РЕЗЮМЕ

В настоящей работе дается доказательство утверждения Э. С. Титчмарша о свёртке [9]:

Если Т ^ 0 и функции f u g суммируемые в [0, Т] и t

J f(t — T)g[r)dT = 0 почти везде в [0, Т], (I) о

то существуют такие неотрицательные чусла tlt <2 удовлетворяющие неравенству что 1 = 0 почти везде в [О, ij] и g = О почти везде в [О, <2].

В общих чертах наше доказательство протекает аналогично доказательству Дюфренуа, данному в работах [2] и [3], с той лишь разницей, что некоторые наши рассуждения проще. В первой части статьи излагаем некоторые хорошо известные свойства гармонических и субгармонических функций. Во второй части излагаем некоторые результаты Дюфренуа (см. [3]), касающиеся следующей функции с действительными значениями

Dp (г) = J P(z)dx

Lr

(О < г < оо),

где P(z) произвольная субгармоническая функция комплексной переменной z = x-\-iy при у ^ 0. Принимаем, что P(z) интегрируема вдоль каждой полу­

окружности

Lr = {z: \z\ = г, у > 0}.

В третьей части статьи доказываем утверждение о свёртке. В начале ограни­

чиваем свою задачу и доказываем, что по меньшей мере одна из функций f,g обращается в ноль почти всюду в [О, Т/2]. Тогда видим, в силу (I):

j j e iz^T~ ^ f(t—x)g(r)drdt =•• О, Л

где Л — |<^ ł,T У: О ^ т t ^ 21}. Отсюда, если определим новые переменные и, v посредством соотношений t = т = TJ2-\-v, то

(II) где

Пусть

f j e ie(w+v)f{T /2-\-u )g(T I2+v)d ud v = О, В

В — {< « , т > : и, v ^ —Т /2 , и -\-v ^ 0}.

О — {<м, v > : и, v < ; Т /2 , u-\-v ^ 0 }.

Тогда множество В ^ О будет квадратом и, благодаря (II), получим

Tl 2 Т/2

(III) f eizuf{T /2-{-u )du f e ^ g l T f i ^ d v =

- T i a -Ti 2

= f f eiz<u+v)/(T/2-l-u)g(T/2-\-v)dudv.

Определяем

Ti 2

F(z) = log— I f eizuf(T/2-[-u)du\,

F0 \ J I

-Г /2

T/2

0{z) = lo g -J -l f eis!Vg(T/2Ą-v)dv\,

Cr° - Г / 2

T 12 TJ 2

F 0 = / | /(Г /2 + « )| < * м , <?o= / \g(T /2+v)\dv.

- T [ 2 - T / 2

а также

74 J. Mikusiński, Б. JŚwierczkowski

При F 0 = О или G0 — О такое определение не является законным, но в этом случае наше утверждение становится тривиальным.

В силу (III) имеем для Im z ;> О

Р ( г ) + < ? (* ) < О и, следовательно,

D p ( r ) -f- F>a{r) < 0 (0 < г < оо).

Из теории Дюфренуа (см. [3]) вытекает, что D p (г) и А ? (г ) неопределённые и, следовательно, неравенства D p ^ 0 или Dq ^ 0 выполняются для всех г. Напри­

мер возьмём для определённости D p 0 (в случае Dq ^ 0 рассуждения анало­

гичны). Тогда

D p ( o o ) = U m D p ( r ) ^ 0 . Г— мэо

В силу результатов Дюфренуа, имеем: F(z) < yDp(oo) для y = l m « > 0 . Сле­

довательно ^ ( г ) 0 для и, в силу определения функции F(z), получаем для z — г у

Таким образом

Г/2

/ ^ j»0.

- Г / 2

Т /2 Т /2

/ e - v / ( ! r / 2 + « ) d * | ^ J P 0 4 - / | /(T /2 + «)|dtt = А < оо.

Этого уже достаточно для применения следующего утверждения о свёртке (см. [4] и [6]).

Если функция / является суммируемой в [О, Т] и для некоторого N < оо имеем У

| J entf( t ) d t \ ^ N при w = l , 2 , . . . , о

то /(f) = 0 почти всюду в [О, Т ] .

J. Mikusiński (Warszawa) and S. Świerczkowski (Wrocław)

T IT C H M A R S H ’S T H E O R E M ON C O N V O L U T IO N A N D T H E T H E O R Y OF D U F R E S N O Y

SUMMARY

In our article we give a proof of E . C. Titchmarsh’s theorem on convolution [9 ]:

I f T ^ 0 and the functions f and g are integrable in [0, T] and

t

(I) J f{ t — r)g(r)dr — 0 a. e. in [ 0 , T ] ,

о

then there are non-negative numbers f i , f 2 satisfying fx+ f2 ^ T and such that f = 0 a. e. in [0, fx] and g = 0 a. e. in [0, f2].

In the outlines we follow the proof of J. Dufresnoy given in [2] and [3] but some of our argumentations seems to be simpler than his. In the first part of our article we show certain well known properties of harmonic and subharmonio functions. In the socond part we give an exposition of some results of J. Dufresnoy (see [3]) con­

cerning the real function

Dp (r) = --- 2 rP(z)dx (0 < r < oo) ,

7ГГ2 /L,r

which is considered for any subharmonic function P(z) of the complex variable z = x + i y and for у ^ 0 only. P{z) is assumed to be integrable along each half-circle

Lr = {z: \z\ = г, у > 0 }.

In the third part we derive the theorem on convolution. First we reduce our task to the proof that at least one of the functions / , g vanishes a. e. in [0, Т/2].

Then we observe that, by (I),

f(t— r)g(r)drdt — 0,

Л

where A = {<£, r>: 0 т ^ < T }. Hence, if we define the new variables u, v by t — T + u + v , x — T /2 + v , then

( И ) f f e iz(u+v)f(T/2-\- u)g{T/2 + v)dudv = o>

в

where В = { < « , « > : u, v ^ — T/2, u + v ^ 0}. W e define G = v ) : u, v ^ T/2, Then the set В v^(7 is a square and, by (II),

T/2 _ T/2

(III) J еъги f (T/2 + u) du J ei!SVg(T/2-\-v)dv

—T/2 - T / 2

= f j e iz^u+v)f(T /2 + u)g{T/2-\-v)dudv.

W e define

T/2 T/2

F(z) = log ~zż~I j eisfUf(T /2 + ii)d uj , G(z) = l o g - U j e*** g {T/2 + v) dv |

To _nf44t - T / 2 G0

and

T/2 T/2

F 0 = f \f{T/2+u)\du, G0 = J \g(T/2 + v)\dv

—T/2 - T /2

(if F 0 = 0 or G0 — 0, then this definition is incorrect but in that case our thesis follows trivially). B y (III) we have for 1 т г ^ 0

F(z) + G { z ) ^ 0 and hence

D p (r)=D o{r) < 0 (0 < r < oo).

It is a consequence of Dufresnoy’s theory (see [3]) that Dp(r) and Da{r) are non-decreasing and thus D p ^ 0 or Dq 0 holds for all r. Assume for example Dp 0 (for Dq 0 the argument is similar). Then Dp(oo) = limDp(r) 0. Again, by

Г—ЮО

Dufre^noy’s results we have F(z) yDp(oo) for у — 1 т г ^ 0. Hence F(z) ^ 0 for

76 J. Mikusiński, В. Świerczkowski

у ^ 0 and, by the definition of F (z), we obtain for z = iy

Tl 2

| J e~vuf{T /2+u )d u\ < F 0.

- Т/ 2 Henoe

T/2 Tl 2

|J e~yuf(T/2-{- u)du [ -^ o + J |/(21/ 2 + w) |du = < oo.

o o

It suffices now to apply the following result on the moment problem (see [4]

and [6]):

If / is integrable in [0 , T] and for some J < oo we have T

|Jen</(ż)efó| ^ N for w = l , 2 , ...»

о

then f(t) — 0 a. e. in [0, Т].