lim n→∞|xn

Niech lim

n→∞x_n= x oraz lim

n→∞y_n= y. Wówczas,

• lim

n→∞|x_n| = x,

• lim

n→∞(x_n± y_n) = x ± y,

• lim

n→∞x_n· y_n= x · y,

• lim

n→∞

xn

y_n = x

y, (y 6= 0, ∀_nyn6= 0),

• lim

n→∞x_n^yn = x^y.

Przykłady ciągów zbieżnych.

• ∀_n∈N x_n= a ⇒ lim

n→∞x_n= a,

• ∀_n∈N xn= _n¹ ⇒ lim

n→∞xn= 0,

• lim

n→∞

log_an

n = 0, a > 1

• lim

n→∞

√n

a = 1, a > 0

• lim

n→∞

√n

n = 1

• lim

n→∞

n^k

aⁿ = 0, k ∈ N, |a| > 1

• lim

n→∞

aⁿ

n! = 0, a > 0

• lim

n→∞

n!

nⁿ = 0

• lim

n→∞

 1 + 1

n

n

= e

• lim

n→∞

 1 +m

n

n

= e^m Przykłady ciągów rozbieżnych

• ciąg a_n= ±n jest rozbieżny do ±∞,

• podciągi ciągu a_n= (−1)ⁿ zbiegają do różnych granic.

Wyrażenia nieoznaczone

0

0, ^∞_∞, 0 · ∞, ∞ − ∞, 0⁰, ∞⁰, 0^∞, 1^∞, 0⁰, 0^∞ Wyrażenia oznaczone

∞ + ∞ = ∞, ∞ · ∞ = ∞ (z grą znaków), ₀¹₊ = ∞, ₀¹− = −∞, _∞¹ = 0.