1. Kilka całek.

1. Kilka całek.

24 marca 2017

Proponuję przećwiczenie kilku prostych całek, podobnych do tych, które pojawią się na kolokwium.

1. Rozkład na sumę całek i korzystanie z prostych podstawień liniowych (wzór: jeśliR f (x)dx = F (x) + c to R f (ax + b)dx = _a¹F (ax + b) + c)

a) R cos(3x + 5) + _5x−2¹ +√³

x⁵dx b)R ₂

x²−5x+6dx c)R _x²

8x²+2dx Odp. a) ¹₃sin(3x + 5) + ¹₅ln |5x − 2| + ³₈x^8/3+ c b)= R ₂

(x−2)(x−3)dx = 2R ₁

x−3−_x−2¹ dx = 2(ln |x − 3| − ln |x − 2|) + c, c) =R ₁

8(^8x_8x²2⁺²+2−_(2x)¹₂₊₁)dx =

1

8x +₁₆¹ arctan(2x) + c

2.Przykłady na całkowanie przez podstawienie i zamianę zmiennych:

a) R _3x²₊₃

x³+3x+5dx b) R (cos(3x − 1) + 5)⁴sin(3x − 1)dx, c) R cos(ln(x)+7)

x dx

d)R e^{sin x}cos xdx e)R √5

3x²+ 4xdx f*)R sin⁵xdx

Wskazówki podstawień: a) t = x³ + 3x + 5, b) t = cos(3x − 1) + 5 c) t = ln x + 7 d) t = sin x e) t = 3x² + 4, f*) przedstawiamy sin⁵x = sin⁴x sin x = (1 − cos²x)²sin x i stosujemy podstawienie t = cos x

3. Całkowanie przez części ( wzórR f (x)g(x)dx = F (x)g(x)−R F (x)g⁰(x)dx, gdzie F⁰(x) = f (x))

a)R x ln(x+2)dx b) R ln(x²+1)dx, c)R e^3x+2cos(2x+3)dx d)R cos(ln x)dx, e)R √₆

x ln²xdx f)R x²e^3xdx g)R x²sin(3x + 4)dx .

Wskazówki: a) f (x) = x, g(x) = ln(x + 2) czyli F (x) = x²/2, b) f (x) = 1, g(x) = ln(x² + 1) czyli F (x) = x, c) dwukrotnie stosujemy całkowanie przez części przyjmując f (x) = e^3x+2 czyli F (x) = ¹₃e^3x+2 i powracając do tej samej całki, d) podobnie jak c) przyjmując f (x) = 1, F (x) = x, e) całkujemy dwukrotnie przez części przyjmując ln²x i ln x jako g(x), f) dwukrotnie stosujemy całkowanie przez części, przyjmując x² i x jako g(x), g) podobnie jak f).

1