Tablica ważniejszych całek

GiS

Tablica ważniejszych całek

• ^Z x ^α dx = x ^{α +1}

α + 1 + C, α 6= 1 ^{• Z} dx

x = ln |x| + C

• ^Z a ^x dx = a ^x

ln a + C • ^Z e ^x dx = e ^x + C

• ^Z sin x dx = − cos x + C ^{• Z} cos x dx = sin x + C

• ^Z dx

sin ² x = − ctg x + C ^{• Z} dx

cos ² x = tg x + C

• ^Z dx

a ² + x ² = 1

a arc tg x

a + C • ^Z dx

√ 1 − x ² = arc sin x + C

• ^Z sinh x dx = cosh x + C • ^Z cosh x dx = sinh x + C

Użyteczne całki (niekoniecznie do zapamiętania)

• ^Z sin ² x dx = x

2 − sin 2x

4 + C • ^Z cos ² x dx = x

2 + sin 2x 4 + C

• ^Z dx

sin x = ln

tg x 2

+ C • ^Z dx

cos x = ln

tg x 2 + π

4

!    

+ C

• ^Z tg x dx = − ln |cos x| + C ^{• Z} ctg x dx = ln |sin x| + C

• ^Z xe ^x dx = (x − 1)e ^x + C • ^Z ln x dx = x (ln x − 1) + C

Twierdzenia o całkach nieoznaczonych

• ^Z (f (x) ± g(x)) dx = ^Z f (x) dx ± ^Z g(x) dx

• ^Z af (x) dx = a ^Z f (x) dx, a ∈ R

• ^Z f (x)g ^′ (x) dx = f (x)g(x) − ^Z f ^′ (x)g(x) dx (całkowanie przez części)

• ^Z f (x) dx





x = ϕ(t) dx = ϕ ^′ (t) dt



 = ^Z f (ϕ(t)) ϕ ^′ (t) dt (całkowanie przez podstawienie)

Metody rozwiązywania typowych zadań z Algebry z geometrią analityczną oraz Analizy matematycznej 1 są omówione w skryptach

z serii „Matematyka dla studentów politechnik”.