Ciągłe i stochastyczne układy dynamiczne z zastosowaniami

Ciągłe i stochastyczne układy dynamiczne z zastosowaniami

Andrzej Tomski

11 grudnia 2017

Chatka Puchatka (Alan Milne)

„A Tygrys z Kłapouchym poszli i to razem, ponieważ Kłapouchy chciał powiedzieć Tygrysowi, jak wygrać w misie-patysie, co się łatwo osiąga za pomocą pewnego szarpnięcia...”

Ta dziecinna zabawa to w istocie prosty przykład (ciągłego) układu dynamicznego.

Cel

Chcemy opisać własności rozwiązań (układów) równań różniczkowych lub zbiorów zawierających (ewentualnie dostatecznie bliskich) te rozwiązania, gdy nie potrafimy ich rozwiązać (a zazwyczaj nie potrafimy).

Definicja

Ciągłym układem dynamicznym nazwiemy parę (X , π), gdzie X jest przestrzenią metryczną, a odwzorowanie π : R × X → X spełnia następujące warunki:

π jest ciągłe,

∀x ∈ X : π(0, x) = x,

∀x ∈ X , t, s ∈ R : π(s, π(t, x)) = π(t + s, x).

X nazwiemy wtedy przestrzenią fazową.

Definicja

Trajektorią π(x ) punktu x ∈ X nazwiemy π(R × {x}). Ograniczając się, odpowiednio do dodatniej lub do ujemnej półosi rzeczywistej, otrzymamy półtrajektorię dodatnią lub półtrajektorię ujemną.

Przykłady

Twierdzenie (o zadawaniu układu dynamicznego)

Definicja

Niech n ­ 1, Q ⊂ Rⁿoraz f : Q → Rⁿ. Autonomicznym równaniem różniczkowym nazywamy równanie postaci:

x⁰ = f (x ).

Twierdzenie

Autonomiczne równania różniczkowe zadają ciągłe układy dynamiczne, pod warunkiem, że mają jednoznacznie określone rozwiązanie, które można przedłużać w czasie do nieskończoności.

Atraktory

Definicja

Punkt x jest stacjonarny, jeżeli ∀t : π(t, x ) = x .

Definicja

Definicja. Zbiór A ⊂ X jest niezmienniczy, jeżeli z tego x ∈ A wynika, że π(x ) ⊂ A. Najmniejszy niepusty i domknięty zbiór o tych własnościach nazywamy zbiorem minimalnym.

Atraktory - c.d.

Definicja

Zbiór domknięty A nazywamy atraktorem (inaczej: zbiorem przyciągającym), jeżeli istnieje U ⊃ A o własności:

∀t : π(t, U) ⊂ U oraz \

t­0

π(t, U) = A.

Uwaga

Będą nas interesować układy dynamiczne losowo przełączające się i zadamy pytanie, czy zbiory niezmiennicze, minimalne, atraktory istnieją również dla tego typu układów?

Przykłady - punkt

Przykłady - punkt (polskie nazewnictwo)

Przykłady - cykl graniczny w modelu Van der Pola

Układ równań

(_dx

dt = ^dy_dt

dy

dt = (1 − x²)y − x

Przykłady - atraktor fraktalny (Lorentza)

Układ równań







dx

dt = 10(y − z)

dy

dt = x (28 − z) − y

dz

dt = xy −⁸₃z

Stochastyczne układy dynamiczne

Uwaga

Zauważmy, że w przypadku zwykłego układu dynamicznego, startując z punktu, po upływie pewnego czasu też znajdziemy się w punkcie. Za to w przypadku stochastycznych układów dynamicznych, startując z punktu, po upływie pewnego czasu otrzymamy rozkład położenia absolutnie ciągły względem miary Lebesgue’a λ, czyli pewien rozkład µ, że istnieje funkcja borelowska f : Rⁿ→ [0, ∞) taka, że:

µ(X ) = Z

Xf (x )d λ(x ), X ∈ B(Rⁿ).

Idea naszego podejścia

Badamy zależności pomiędzy pewnymi typami substancji (cząsteczkami, molekułami, itd.).

Dynamika tych zmian jest opisywana przez układy dynamiczne, które przełączają się losowo.

Chcemy wiedzieć, czy istnieje atraktor dla takiego procesu.

Możemy to rozwiązać, używając technik z teorii półgrup operatorów (co zostanie zdefiniowane później).

Znajdziemy atraktor i pokażemy, że rozkłady procesu są na nim skoncentrowane.

Ekspresja genów: trzy fazy

Po lewej stronie schemat ekspresji genów w oparciu o translację i transkrypcję. Po prawej stronie schemat ekspresji genów w oparciu dodatkowo o produkcję pre-mRNA.

Modele oparte o Piecewise Deterministic Markov Process

(PDMP, M.H.A. Davis, 1984)

Model

Interpretacja

∀i > 0 : stałe Ai> 0 to tempa przyrostu molekuł kolejno: pre-mRNA, mRNA i białek, podobnie ∀i > 0 : stałe di > 0 to tempa biologicznej degradacji molekuł kolejno: pre-mRNA, mRNA i białek.

Modele ekspresji z udziałem pre-mRNA



















0−^q−−−−−−^0(x1,x2,x→ 1, 0³⁾ ←^q−−−−−−^1(x1,x2,x3− 1⁾ dx1

dt = A1γ(t) − d1x1

dx₂

dt = A2x1− d2x2

dx₃

dt = A₃x₂− d₃x₃,

(1)

z A_i > 0 i d_i > 0. Po dokonaniu prostych podstawień:







dx1

dt = γ(t) − x1 dx₂

dt = a(x₁− x2)

dx3

dt = b(x2− x3),

(2)

gdzie a, b > 0.

Czym jest γ(t)?

Definicja

Niech i0∈ {0, 1}, T0= 0, x = (x1, x2, x3), wtedy:

γ(t) =

(i0, t ∈ [T0, T1) 1 − i0, t = T1

T1jest nazywane „czasem pierwszego skoku procesu” i to jest zmienna losowa o rozkładzie:

F_{x ,i0}(t) = Prob(T₁6 t) = 1 − exp



− Z t

0

q_i0(π_i0(s, x ))ds

 .

Uwaga

Jeżeli qi₀ jest stałą, ten rozkład to po prostu rozkład wykładniczy z parametrem qi₀. Podobnie, zmienne losowe: Ti, i = 2, ..., są nazywane

„czasami n-tego skoku procesu”.

Model z udziałem pre-mRNA - układy dynamiczne

Narzędzia: półgrupy Markowa indukowane przez PDMP

Niech (X, Σ, m) be a σ−skończoną przestrzeń mierzalną z miarą m.

Przez D oznaczamy podzbiór L¹:= L¹(X, Σ, m) która jest zbiorem gęstosci; to znaczy:

D = {f ∈ L¹: f > 0, ||f ||L¹ = 1}

Definicja

Odwzorowanie liniowe zachowujące zbiór D P : L¹→ L¹, (P(D) ⊂ D) jest nazywane operatorem Markowa.

Półgrupy Markowa

Definicja

Rodzinę {P(t)}_t>0operatorów Markowa, która spełnia następujące warunki:

P(0) =Id (I),

P(t + s) = P(t)P(s) dla s, t > 0 (II),

dla każdego f ∈ L¹funkcja t → P(t)f jest ciągła ze względu na normę L¹(silna ciągłość) (III),

nazywamy półgrupą Markowa.

Asymptotyczna stabilność

Asymptotyczna stabilność (w sensie Liapunowa)

Półgrupa Markowa {P(t)}_t>0 jest asymptotycznie stabilna, jeżeli istnieje gęstość niezmiennicza dla {P(t)}_t>0, czyli f^∗∈ D taka, że P(t)f^∗= f^∗ dla każdego t > 0,

dla każdej f ∈ D :

t→∞lim ||P(t)f − f^∗|| = 0. (3)

Wniosek

Półgrupa Markowa generowana przez PDMP jest asymptotycznie stabilna

⇒ rozkłady procesu zmierzają do stacjonarnej gęstości.

Stochastyczny atraktor

W zastosowaniach, mamy X = X × I , gdzie X ⊂ R^d, I = {0, 1, ..., n}

i konstruujemy półgrupę Markowa {P(t)}_t­0, w przestrzeni

L¹(X × I , B(X × I ), dx × di). Zawężamy jej analizę do zbioru o nazwie stochastyczny atraktor, czyli mierzalny podzbiór zbioru S of X , taki że:

t→∞lim Z

S×I

P(t)f (x , i )dx di = 1 (4)

dla każdej funkcji f ∈ L¹(X × I ). To pozwoli nam zacieśnić dziedzinę {P(t)}t­0 tylko do funkcji f ∈ L¹(S × I ). Co więcej, chcemy znaleźć atraktor, który zagra rolę nośnika gęstości niezmienniczej.

Model z udziałem pre-mRNA: atraktor

Twierdzenie

Niech q_i(x) > 0, i = 0, 1 dla x ∈ [0, 1]³. Wtedy półgrupa Markowa {P(t)}_t>0 jest asymptotycznie stabilna oraz nośnikiem gęstości niezmienniczej jest A = A × {0, 1}, gdzie A jest wyrażone w bazie wektorów własnych:

A = {(x − y + z, x^a− y^a+ z^a, x^b− y^b+ z^b) : 1 > x > y > z > 0}. (5)

Idea dowodu(1)

Idea dowodu(2)

Idea dowodu(3)

Projekcje na płaszczyznę

Komunikacja między stanami

Komunikacja między stanami w A

Dało to odpowiedź na następujące pytanie: czy jest możliwe, by połączyć każde 2 punkty we wnętrzu A łącząc trajektorie obydwu układów?

Trajektorie (w R

)

Estymacja gęstości niezmienniczej

Rozważamy szczególnie interesujące zachowanie modelu, gdy obie intensywności q0 and q1zmierzają do nieskonczoności, w przeciwieństwie do ich stosunku. Wtedy możemy zastąpić the proces stochastyczny γ(t) przez jego wartość oczekiwaną Γ := Eγ = q₀^q+q⁰ ₁m by otrzymać stan o nazwie granica deterministyczna lub adiabatyczna. Stąd, układ transformuje się do deterministycznego układu trzech ODEs:













 dx1

dt = Γ(x3) − x1

dx₂

dt = a(x₁− x2) dx3

dt = b(x2− x3).

(6)

W zależności od wartości parametrów a i b, badamy pewne specyficzne typy zachowań [2]. Rozważamy przypadek negatywnej autoregulacji, to znaczy gdy Γ jest malejącą funkcją x3.

Cykl graniczny w granicy adiabatycznej i negatywnej

autoregulacji (a=1, b=1)

Bistabilność w granicy adiabatycznej i pozytynwej

autoregulacji(a=1, b=1)

Inne modele

Nieliniowy model różnicowania komórek macierzystych (Paździorek).